专题3 轴对称 专题复习 2025-2026学年人教版八年级（2024）数学上册

专题3 轴对称 题型归类 题型一 轴对称及轴对称图形 例1 [2023重庆模拟］下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 变式跟进 1．如图，已知和关于直线对称，小明观察图形得出下列结论：;;③直线垂直平分线段.其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点均在方格的顶点上. （1） 点关于轴对称的点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，点关于轴对称的点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ ; （2） 画出与关于轴对称的; （3） 画出与关于轴对称的. 题型二 折叠与轴对称 例2 如图，对折长方形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平，再一次折叠，使点落到上的点处，并使折痕经过点，展平纸片后的度数为（ ） A． B． C． D． 变式跟进 3．如图，将折叠，使点与的中点重合，折痕为.若，，则的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 题型三 线段的垂直平分线的性质 例3 如图，已知的周长是14，，线段的垂直平分线交于点，交于点.求和的长. 变式跟进 4．如图，在中，，， ，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接. （1） 求的度数; （2） 求的周长. 题型四 等腰三角形的性质 例4 如图， ， ， ，，，四点共线，，.求，，的度数. 变式跟进 5．如图，在中， ， ，以点为圆心，的长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 6．如图，在中，是边上一点，连接，已知， ，则的度数是 . 题型五 等腰三角形的判定 例5 [2024长沙模拟］如图，在中，，是边的中点，连接，平分交于点. （1） 若 ，求的度数； （2） 过点作交于点，求证：是等腰三角形; （3） 在（2）的条件下，若平分的周长，的周长为15，求的周长. 变式跟进 7．如图，在和中， ， ，则图中等腰三角形的个数是_ _ _ _ _ _ _ _ . 8．如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于点，交于点，且. （1） 求证：是等腰三角形; （2） 若，，求的长. 题型六 等边三角形的性质与判定 例6 [2024长沙模拟］如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，与相交于点，连接. （1） 判断的形状，并说明理由； （2） 若，求的长. 变式跟进 9．[2024长沙模拟］如图，在中，， ，，垂足为，且 ，其两边分别交边，于点，.求证： （1） 是等边三角形； （2） . 10．如图，在中，，点在边上，，，是的延长线上一点，. （1） 求的度数; （2） 求证：是等边三角形. 题型七 含 角的直角三角形的性质 例7 如图，在中， ， ，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接. （1） 求证：; （2） 若，求的长. 变式跟进 11．已知等腰三角形的顶角是 ，底边上的高是3，则腰长是_ _ . 12．如图，已知 ，平分，为上任意一点，交于点，于点.若，求的长. 过关训练 A组·基础达标 逐点击破 1．如图，在中，， ，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．若，则以，为边长的等腰三角形的周长为_ _ _ _ _ _ . 3．已知是等腰三角形,若 ，则的顶角度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 4．如图，在中，，于点，于点，于点，，则_ _ . 5．如图，在四边形中，，， ， ， ，求的长. 6．如图，在中，，，的面积为12，线段的垂直平分线交于点.若为边的中点，为线段上的一动点，求的周长的最小值. 7．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接，交于点，. （1） 求证：是等腰三角形; （2） 若 ，，求的度数. B组·能力提升 强化突破 8．如图，在中， ， ，.动点,同时从,两点出发，分别在,边上匀速移动，它们的速度分别为,.当点到达点时，,两点同时停止运动，设点的运动时间为. （1） 当为何值时，是等边三角形？ （2） 当为何值时，是直角三角形？ 9．[2025长沙模拟］如图，已知，都是等边三角形，，相交于点，，分别是线段，的中点. （1） 求证：； （2） 求的度数； （3） 求证：是等边三角形. 专题3 轴对称 题型归类 题型一 轴对称及轴对称图形 例1 A 变式跟进 1．A 2．（1） ； （2） 解：如答图，即为所求作. 变式跟进2答图 （3） 如答图，即为所求作. 变式跟进2答图 题型二 折叠与轴对称 例2 C 变式跟进 3．A 题型三 线段的垂直平分线的性质 例3 解:是线段的垂直平分线， . 的周长是14， ，即， 则 ，. 【点悟】（1）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;（2）欲证明线段相等，可通过证明三角形全等或用线段的垂直平分线的性质得到. 变式跟进 4．解：（1）， ， . 又是线段的垂直平分线， ， ， . （2） ， ， 的周长为. 题型四 等腰三角形的性质 例4 解：，. ， . ， . ， ， . 变式跟进 5． 或 6．【解析】， . ， . ， . 又是的一个外角， ， ， . 题型五 等腰三角形的判定 例5 （1） 解：， . ， . ，为的中点， ， ， . （2） 证明：平分， . 又， ， ， ， 是等腰三角形. （3） 解：的周长为15， . ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长为. 变式跟进 7． 8．（1） 证明：， ，. 平分， ， ， ， 是等腰三角形. （2） 解：是的中点， . ， . 在和中， , . ， . 题型六 等边三角形的性质与判定 例6解： （1）是等边三角形.理由如下： 是等边三角形，且，， ，，，, ，是等边三角形. （2） 是等边三角形，,， 平分,平分， , ， . ， , ， ， . 变式跟进 9．证明：（1），， . ， . 又， 是等边三角形. （2） 是等边三角形， ，. ， ， ， . 在和中， ， . 10．（1） 解：， ， . ， . . 又， ， , , . （2） 证明：，， 是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形. 由（1）知 , 是等边三角形. 题型七 含 角的直角三角形的性质 例7 （1） 证明:是线段的垂直平分线， ， . ， ， ， , , 是的平分线. ，， . （2） 解:， , , , . 变式跟进 11．6 12．解：如答图，过点作于点. 变式跟进12答图 ，平分， . ， ， ， . ， ， 在中，. 平分，，， . 过关训练 A组·基础达标 逐点击破 1．A 2．11或13 3． 或 4．6 5．解：如答图，延长，交于点. 第5题答图 ， ， . ， ， ， 是等边三角形. 设. ，， ,. 由 , ， 得， 解得， 的长为2. 6．解：如答图，连接，. 第6题答图 是等腰三角形，是边的中点， ， ， 解得. 是线段的垂直平分线，且点在线段上， ， ， 当点，，在同一直线上时，的长度最小，即为的长. 的周长最小值为. 7．（1） 证明：，，， ， ， . , ， 即，, 是等腰三角形. （2） 解：， ， . 由（1）知， ， , 是等边三角形， ， ， . B组·能力提升 强化突破 8．解:（1）在中， ， ， . ， ，,. 当时，是等边三角形, 即, 解得. 当的值为2时，是等边三角形. （2） 若是直角三角形，有以下两种情形: ①当 时，， 即, 解得; ②当 时，， 即， 解得. 综上所述，当的值为1.5或2.4时，是直角三角形. 9．（1） 证明：，都是等边三角形， ，， ， ， . 在和中, ， . （2） 解：， . 是等边三角形， ， ， . （3） 证明：， ，，. 又,分别是线段,的中点， ，， . 在和中, ， ，. 又 ， ， ， ， 是等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$