3.4.不等式章末复习课学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

3.4.1章末复习课 [网络构建] [核心归纳] 1.不等式的性质 (1)a>b⇔b<a； (2)a>b，b>c⇒a>c； (3)a>b⇔a＋c>b＋c； (4)a>b，c>0⇒ac>bc； (5)a>b，c<0⇒ac<bc； (6)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (7)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (8)a>b>0，n∈N*⇒an>bn. 2.基本不等式 利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型. 由公式a2＋b2≥2ab和≥可得出以下结论： (1)＋≥2(a，b同号)； (2)≤≤≤(a，b∈(0，＋∞))； (3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2； (4)ab≤. 3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)(其中a>0)的解集. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不等的实根(x1<x2) 有两个相等的实根(x1＝x2) 没有实根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 要点一　不等式的性质 不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解. 【例1】　(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a－c)<0 (2)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围. (1)解析　因为c<a，且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0，所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立. D成立，因为c<a，所以a－c>0，所以ac(a－c)<0. 答案　C (2)解　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6，所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<，所以<<2. 【训练1】　(1)下列结论正确的是(　　) A.若a<b，则ac2<bc2 B.若a2>b2，则a>b C.若a>b，c<0，则a＋c<b＋c D.若<，则a<b (2)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 解析　(1)A中，当c＝0时不符，所以A错误； B中，当a＝－2，b＝－1时，符合a2>b2，不满足a>b，B错误； C中，a＋c>b＋c，所以C错误； D中，因为0≤<，由不等式的可乘方性，()2<()2，即a<b.故选D. (2)因为x>y>z，x＋y＋z＝0， 所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0， 所以x>0，z<0. 所以由可得xy>xz. 答案　(1)D　(2)C 要点二　基本不等式的应用 运用基本不等式求最值时把握三个条件 ①“一正”——各项为正数； ②“二定”——“和”或“积”为定值； ③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 利用基本不等式求最值，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常用变形技巧如下： (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值. (3)配——配式、配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 【例2】　(1)已知x>0，求y＝的最大值； (2)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值. 解　(1)∵x>0，∴y＝＝， ∵x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1(x＝－1舍去)时等号成立. ∴y≤＝1，故y的最大值为1. (2)∵＋＝3，∴＝1. ∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)× ＝≥ ＝＋＝. 当且仅当＝， 即y＝2x时，取等号. 又∵＋＝3，∴x＝，y＝. ∴2x＋y的最小值为. 【训练2】　(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则y＝a的最大值为________. 解析　(1)法一　依题意得x＋1>1，2y＋1>1，易知(x＋1)(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4. 法二　由题意得x＝＝＝－1＋， ∴x＋2y＝－1＋＋2y＝－1＋＋2y＋1－1≥2－2＝4， 当且仅当2y＋1＝3，即y＝1时，等号成立. (2)∵a2＋＝1，∴2a2＋b2＝2. 又∵a是正数，b也是正数， ∴y＝a＝ ＝·≤·＝， 当且仅当即时，y＝a有最大值. 答案　(1)B　(2) 要点三　一元二次不等式的解法 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 【例3】　解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. 解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0， 解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}. (2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0， 对应方程的两个根为x1＝，x2＝2. ①当0<a<1时，>2， 所以原不等式的解集为； ②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}； ③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为 . (3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为. 综上，a<0时，原不等式的解集为； a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}； 0<a≤1时，原不等式的解集为； a>1时，原不等式的解集为. 【训练3】　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是， (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集. 解　(1)依题意，可得ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2， 由根与系数的关系，得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式，得>3，即－3>0，整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1，则不等式的解集为(－2，－1). 要点四　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法： 将参数分离转化为求解最值问题. (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. 【例4】　求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，－1≤a≤1恒成立的x的取值范围. 解　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.设关于a的一次函数为 y＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因为y>0，当－1≤a≤1时恒成立，所以 (1)若x＝3，则y＝0，不符合题意，应舍去. (2)若x≠3，则由一次函数的图象， 可得 解得x<2或x>4. 所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}. 【训练4】　已知函数y＝对于任意x≥1有y>0恒成立，求实数a的取值范围. 解　x≥1时，y＝>0恒成立， 等价于x2＋2x＋a>0恒成立， 即a>－(x2＋2x)恒成立， 即a>[－(x2＋2x)]max. 令y1＝－(x2＋2x)，则 当x≥1时，y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1 ＝－(x＋1)2＋1≤－3. ∴实数a的取值范围为{a|a>－3}. 学科网（北京）股份有限公司 $$