3.2.1基本不等式的证明（2）学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

灌南二中高一年级数学学科导学案 3.2.1　基本不等式的证明（2） 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 例1. (1)已知x>0，求x＋ 的最小值； (2)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值. 最值定理（利用基本不等式求最值）：对于正数a，b，和a+b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a+b有最小值. 变式1. 已知x>2，求的最小值； 问题1. 求和式的最小值，观察 x与的乘积不是定值，怎样构造凑出乘积是定值呢？ 变式2. 已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值； 问题2 求积式的最大值，观察x与1-2x的和不是定值，怎样构造凑出和是定值呢？ 变式3. 求的最小值. 问题3 你能将x2+12x+20用x+1表示吗？即x2+12x+20=a(x+1)2+b(x+1)+c,求a，b，c的值？ 问题4 你能将这个函数改写成和式吗？ 变式4. 求的最大值. 变式5. 已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值. 变式6 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 规律方法　（1）一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及其变形的应用． （2）在利用基本不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 当堂检测 5 学科网（北京）股份有限公司 $$