精品解析：吉林省实验繁荣学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题

学情调研（一） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，判断一个方程是否为二元一次方程关键看它是否同时具备：（1）含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都为1；（2） 方程是整式方程．只含有两个未知数（元），并且含未知数的项的最高次数都是1（次）的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是2，故不是二元一次方程，故A不符合题意； B、，是二元一次方程，故B符合题意； C、，只含有一个未知数，故不是二元一次方程，故C不符合题意； D、，左边不是整式，故不是二元一次方程，故D不符合题意． 故选：B． 2. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 3. 下列各式是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有A符合题意． 故选：A． 4. 下面各数中，是不等式的解的是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是熟练掌握不等式解的定义，根据解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是不等式的解的， 故选：A． 5. 下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边． A、，不能构成三角形，此项不符题意； B、，不能构成三角形，此项不符题意； C、，能构成三角形，此项符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符题意． 故选：C． 6. 若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴表示不等式的解集，运用数形结合的思想是解答此题的关键． 根据不等式组的解集在数轴上表示就即可． 【详解】根据题意可得， 这个不等式组的解集为． 故选：D． 7. 用一种正多边形镶嵌平面，下列图形可以选择的是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之不能，由此即可得出答案． 【详解】A．正五边形内角为，不能被整除，不符合题意； B．正六边形内角为，可以被整除，符合题意； C．正七边形内角为，不能被整除，不符合题意； D．正八边形内角为，不能被整除，不符合题意； 故选：B． 8. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形内角的计算及三角形内角和定理，正确理解正多边形的内角计算公式是解题的关键． 根据正多边形的内角计算公式和多边形的外角知识，推出，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示： 正五边形的每一个内角都等于， ， 正六边形的每一个内角都等于， ， ． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知，那么______（填“＞”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 若是方程的解，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程解的含义，根据使方程成立的未知数的值，是方程的解，把代入方程，计算即可． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：； 故答案为：3． 11. 已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 12. 不等式的最小整数解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查解不等式的方法步骤，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．先将不等式进行求解，然后根据解集即可得出最小整数解． 【详解】解： ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 13. 如图，三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，，则图中阴影部分的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形重心的性质证明图中个小三角形的面积相等即可得到答案． 【详解】解： 三边的中线AD、BE、CF的公共点为G， 图中阴影部分的面积是 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中线的性质，三角形重心的性质，掌握以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键． 14. 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点E在上，点F在上，把长方形纸带沿折叠，若，则_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算． 根据折叠的性质可知，再由周角以及可求出，再根据平行线的性质即可求． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：40． 三、解答题（共78分） 15. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①+②得：3x=3，即x=1， 把x=1代入①得：y=−1， 则方程组的解为 . 【点睛】此题考查解二元一次方程组，掌握运算法则是解题关键 16. 若一个n边形的内角和的比它的外角和少，求n的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的外角和是，内角和为，列方程求解即可． 【详解】解：一个n边形的内角和的比它的外角和少， ， 解得：． 17. 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得， ， 由②得， ， 在数轴上表示为 故答案为. 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为_________． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【小问1详解】 解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； 【小问2详解】 解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）用割补法求解； （2）①作出的三个顶点关于直线对称的对应点，依次连接即可； ②连接交于点P，则点P为满足条件的点． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略； ②连接交于点P，则， ∴， ∴点P为满足条件的点． 20. 为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 （1）求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ （2）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 【答案】（1）基本价为2元，市场价为元 （2）70元 【解析】 【分析】（1）设每吨水的基本价为元，市场价为元，根据小明家3、4月份的用水量及收费费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据应交水费基本价月份用水量市场价，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设每吨水的基本价为元，市场价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每吨水的基本价为2元，市场价为元． 【小问2详解】 （元）． 答：他家应交水费70元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用；（2）根据数量关系，列式计算． 21. 如图，是的角平分线，，点在延长线上且于. （1）若，求的度数. （2）若，求的度数. 【答案】(1)105°;(2)20°. 【解析】 【分析】(1)根据三角形外角的性质可得∠ADC=75°,再根据垂直的定义可得∠EHD=∠AHE=90°,再根据三角形的内角和定理可求出∠E=15°,再根据三角形外角的性质即可得到的度数; (2)先根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数,再根据角平分线的性质求出∠CAD=25°,又因为,有∠AHE=90°,再利用三角形的外角及对顶角相等,可得∠E=∠ACB-(180°-∠AHE-∠CAD),把各角的度数代入即可求出∠E的度数. 【详解】解:∵是的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=30°. ∵∠B=45°, ∴∠ADC=75°. ∵, ∴∠EHD=∠AHE=90°, ∴∠E=15°. ∵∠E+∠ACE=∠AHE+∠CAD, ∴∠ACE=90°+30°-15°=105°. (2)∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°, ，， ∴∠BAC=50°, ∵是的角平分线， ∴∠CAD=∠BAC=25°, ∵∠E+∠ACE=∠CAD+∠AHE, ∴∠E=∠CAD+∠AHE-∠ACE ∵∠ACE=180°-∠ACB=95°, ∴∠E=25°+90°-95°=20°. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的外角的性质,三角形的角平分线等知识,综合运用知识进行转化是解题的关键. 22. 学校决定购买A，B两种型号小音箱，若购买A型小音箱3台，B型小音箱6台共需480元；若购买A型小音箱2台，B型小音箱3台共需270元． （1）求A，B两种型号小音箱每台多少元？ （2）若用不超过1700元去购买A，B两种型号小音箱共32台，则最多可购买A型小音箱多少台？ 【答案】（1）A，B两种型号小音箱每台分别为元，元． （2）10台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题关键． （1）设A，B两种型号小音箱每台分别为x元，y元，根据题目意思列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买A型小音箱m台，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号小音箱每台分别为x元，y元， 由题意可列： 解得： 答：A，B两种型号小音箱每台分别为元，元． 【小问2详解】 设购买A型小音箱m台，则购买B型小音箱台 由题意可列： 解得： 答：最多可购买A型小音箱10台． 23. 如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． （1）若是的高，且，则的度数为 ； （2）若是的角平分线，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，由三角形高的定义得，进而根据三角形外角性质即可求解； （）由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形的角平分线，三角形的高，三角形的外角性质和内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 24. 我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】 如图2，点E在线段上，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】 如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大，求的度数是__________； （3）【拓展提高】 如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点． ①若，则的度数是__________． ②设，则的度数是__________．（结果用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵在“对顶三角形”与中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴； （2） （3）①，② 【解析】 【分析】（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论； （2）设， ，则，，可得，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解； （3）①先求解，设，，可得，结合，即可得到结论．②设，，可得，结合，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵比大，， ∴设， ，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴设，， ∴，即：， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴． ②∵，是的角平分线， ∴设，， ∴，即：， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ 即：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学情调研（一） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 3. 下列各式是不等式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面各数中，是不等式的解的是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 用一种正多边形镶嵌平面，下列图形可以选择的是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 8. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知，那么______（填“＞”或“”）． 10. 若是方程的解，则__________． 11. 已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是__________． 12. 不等式的最小整数解是__________． 13. 如图，三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，，则图中阴影部分的面积是 ________． 14. 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点E在上，点F在上，把长方形纸带沿折叠，若，则_______． 三、解答题（共78分） 15. 解方程组 16. 若一个n边形的内角和的比它的外角和少，求n的值． 17. 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为_________． 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个． （1）求的面积； （2）请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点P，使得最短． 20. 为了鼓励居民节约用水，临湘市政府决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超14吨（含14吨）时，则采用基本价收费；当每月用水量超过14吨时，超过部分每吨采用市场价收费． 小明家3、4月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 3 20 49 4 18 42 （1）求每吨水的基本价和市场价分别是多少？ （2）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 21. 如图，是的角平分线，，点在延长线上且于. （1）若，求的度数. （2）若，求的度数. 22. 学校决定购买A，B两种型号小音箱，若购买A型小音箱3台，B型小音箱6台共需480元；若购买A型小音箱2台，B型小音箱3台共需270元． （1）求A，B两种型号小音箱每台多少元？ （2）若用不超过1700元去购买A，B两种型号小音箱共32台，则最多可购买A型小音箱多少台？ 23. 如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． （1）若是的高，且，则的度数为 ； （2）若是的角平分线，，求的度数． 24. 我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】 如图2，点E在线段上，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】 如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大，求的度数是__________； （3）【拓展提高】 如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点． ①若，则的度数是__________． ②设，则的度数是__________．（结果用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $