2.4 点到直线的距离-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 2.4 2.4 点到直线的距离 刷基础 2 1.［北京大兴区2025高二期中］过点，的直线的斜率为，则 ( ) B A.2 B. C.4 D. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 3 解析 过点，的直线的斜率，解得， ， , .故选B. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 4 2.［江苏扬州2025高二期中］已知的顶点为，，，则 边上的中线 长为( ) B A.4 B.5 C. D. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 5 解析 设的中点为，因为，，所以,所以 边上的中线长 .故选B. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 6 3.［湖北黄冈2024高二月考］已知,，从点射出的光线经轴反射到直线 上， 又经过直线反射到点 ，则光线所经过的路程为( ) C A. B.6 C. D. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 7 解析 由题可得直线的方程为，设点关于直线 的对 称点为 ， 则得 即 . 点关于轴的对称点为 . 由题意可知，如图，点,都在光线 上，并且利用对称性可知， ， ，所以光线经过的路程 .故选C． 题型1 平面上两点间距离公式的应用 8 4.［河北衡水2025高二月考］已知点，，点在轴上，则 的最小值为 ( ) B A. B.5 C.4 D. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 9 解析 已知，，点在 轴上，如图， 取关于轴的对称点为，连接交轴于点 ， .所以 的最小值为5.故选B. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 10 规律方法 图① 求直线上一点到两定点，距离之和的最小值，若两定点在直线 的同侧， 则可取点关于直线的对称点，如图①，则 ， ;若两定点在直线的两侧，则 即为所求. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 11 图② 求直线上一点到两定点，距离之差的最大值，若两定点在直线 的同 侧，则；若两定点在直线的两侧，则可取点 关 于直线的对称点，如图②，则 ， . 这类最值问题，可以由对称性及平面几何知识转化，利用（1）三角形任 意两边之和大于第三边；（2）三角形任意两边之差的绝对值小于第三边； （3）两点之间线段最短求解. 题型1 平面上两点间距离公式的应用 12 5.［山东菏泽2024高二期中］已知点，点在直线上，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D.4 题型2 点到直线的距离公式的应用 13 解析 因为点不在直线上，所以当时， 最小，故 ,故选C. 题型2 点到直线的距离公式的应用 14 6.已知实数，满足，那么 的最小值为( ) C A. B. C.2 D.4 题型2 点到直线的距离公式的应用 15 解析 求的最小值，就是求 上的点到原点的距离平方的最小值，转化为求坐 标原点到直线距离的平方，即 .故选C. 题型2 点到直线的距离公式的应用 16 7.［甘肃武威2025高二期中］若点到直线的距离为，则 ( ) C A.5 B. C.5或 D. 或15 题型2 点到直线的距离公式的应用 17 解析 若点到直线的距离为，则，解得或 . 故选C. 题型2 点到直线的距离公式的应用 18 8.点到直线 距离的最大值为( ) D A. B. C.1 D. 题型2 点到直线的距离公式的应用 19 解析 点到直线 的距离为 其中，当 时，等号成立. 故点到直线距离的最大值为 .故选D. 题型2 点到直线的距离公式的应用 20 9.［辽宁省实验中学等五校2025高二期末联考］直线与直线 之间的距离为( ) B A. B. C. D. 题型3 两条平行直线间的距离的应用 21 解析 直线化为，所以直线 与直线 之间的距离为 .故选B. 题型3 两条平行直线间的距离的应用 22 10.［重庆江北区2025高二期中］若直线与 平行，则 两直线间的距离为( ) C A. B. C. D. 题型3 两条平行直线间的距离的应用 23 解析 因为直线与 平行， 所以，解得或 ， 当时，两直线方程都为 ，此时两直线重合，不符合题意. 当时，直线，直线，即 ，所以两直线间 的距离为 .故选C. 题型3 两条平行直线间的距离的应用 24 11. ［甘肃多校2025高二联考］已知直线与直线 之间 的距离为，则 ( ) B A.23 B.23或 C.17 D. 或17 题型3 两条平行直线间的距离的应用 25 解析 由题意可知，直线，平行，直线与 之间的距离为 ，则，解得或 .故选B. 题型3 两条平行直线间的距离的应用 26 链接教材 本题是教材第86页例5的变式，考查两条平行直线间的距离公式，利用公式 时，一定 先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中， 的系数分别相同，才能使用此公式. 题型3 两条平行直线间的距离的应用 27 12.［浙江多校2025高二联考］已知的顶点在直线上运动，点为 ， 点为 . （1）求直线 的方程. 【解】由，得，由点斜式方程得直线 的方程为 ，化简得 . 题型3 两条平行直线间的距离的应用 28 （2） 的面积是否为定值？若是，求出该值;若不是，说明理由. [答案] 的面积为定值. 因为，所以.又点在直线上运动，所以点到直线 的距离为 定值，即为两平行直线间的距离，所以点到直线的距离 ， ，所以 . 题型3 两条平行直线间的距离的应用 29 13.直线过点，过点，若，且与间的距离为5，则与 的方程分别是 ______________________________，________________________________. 或 或 易错点 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 30 解析 若直线,的斜率不存在，则的方程为,的方程为 ，它们之间的距离为5，符 合题意. 若直线,的斜率存在，设直线的斜率为，则的方程为，即， 的方 程为，即 . 因为直线与直线间的距离,解得，所以的方程为, 的方程为 . 综上所述，符合题意的直线方程有两组，,或 , 易错点 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 31 易错警示 解决此类问题时，一定要考虑全面，尤其是设直线的方程时，一定要考虑直线斜率存在和不存在 两种情况，不要想当然地认为直线的斜率存在而造成漏解. 易错点 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 32 2.4 2.4 点到直线的距离 刷能力 33 建议用时：30分钟 1.［广东汕头2025高二期中］点到直线为任意实数 距离的最 大值是( ) B A.5 B. C.4 D. 34 解析 将直线变形为，令解得 则直 线恒过点，不妨设为，所以点到直线的最远距离为，此时直线 . 又，所以点到直线的距离的最大值是 .故选B. 35 2.［云南师大附中2025月考］若两平行直线与 之间的距离是1， 则 ( ) C A.或11 B. 或16 C.1或11 D.1或16 36 解析 因为直线与平行，所以，解得 ，则直线 ，即为.又与之间的距离是1，所以，解得 或 ，所以或 .故选C. 37 3.若，满足，则 的最小值为( ) B A.2 B. C.3 D.4 38 解析 原多项式可化为，其几何意义为点和点 间距离的平方.已 知点在直线上，设为点到直线的距离，由 ,得 ，即.故所求的最小值为 . 39 4.［湖南岳阳2025高二期中］已知直线经过定点且与直线 平行，若点 和到直线的距离相等，则实数 的值为( ) C A. B. C.或 D. 或2 40 解析 因为直线经过定点且与直线平行，所以可设直线 的方程为 ，由点和到直线的距离相等，可知，解得 或 .故选C. 41 5.设，过定点的动直线和过定点的动直线 交 于点，则 的最大值为( ) B A. B.6 C. D.12 42 思路导引 根据直线方程求出定点,的坐标，利用直线垂直的条件可证两直线垂直，再对 进行分类讨论， 从而求得 的最大值. 43 解析 对直线，当时,，则直线过定点 . 对直线，即,当时, ，则直线 过定点 . 图① 当时，如图①，直线，直线，则交点 ，此时 ，， . 44 当时，如图②，直线的斜率，直线的斜率 . 图② ，，则 是直角三角形， ， 又 ，且 ， 45 ，当且仅当,即 时等号成立, . 的最大值为6.故选B. 6.（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐 标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点, 的曼哈顿距 离 ，则下列结论正确的是( ) ACD A.若点,，则 B.若点,，则在轴上存在点，使得 C.若点，点在直线上，则 的最小值是3 D.若点在上，点在直线上，则 的值可能是4 47 解析 对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知 ，则A正确. 对于B选项，设，则 从而 ，故B错误. 图① 对于C选项，作轴，交直线于，过作 ，垂足 为 ，如图①所示. 由曼哈顿距离的定义可知 . 当不与重合时，因为直线的斜率为，所以 ，所 以 ； 当与重合时， . 综上，，则 .故 C正确. 48 对于D选项，如图②所示,若,，则，故D正确.故选 . 图② 49 7.设直线，则直线 恒过定点______;若过原点作直线 ，则当直线与间的距离最大时，直线 的方程为__________. 50 解析 直线 ,可整理为 ,解得 直线恒过定点 . 过原点作直线,则直线的方程为 . 由直线与间距离, ， 得,当且仅当 时，等号成立. 故直线的方程为 . 51 8.［甘肃兰州一中2025高二月考］两平行直线，分别过点，，它们分别绕 ， 旋转，但始终保持平行，则， 之间的距离的取值范围是______. 52 解析 设，之间的距离为 ， 若平行直线，分别过点，，则 ， 当且仅当，与直线垂直时，等号成立，所以，之间的距离的取值范围是 . 53 9.［河南省实验中学2025高二期中］已知直线 . （1）若直线与平行，且,之间的距离为，求 的方程； 【解】由直线与平行可设直线的方程为 ， 由，之间的距离为，得，解得或 ， 所以直线的方程为或 . 54 （2）为上一点，点，，求取得最大值时点 的坐标. [答案] 设点关于直线的对称点为 ， 则解得即 . 55 而，当且仅当,, 三点共线时取等号， 直线的方程为，即 ， 由解得 所以取得最大值时点的坐标为 . 56 10.（多选）［清华大学2024强基计划］直线，， ， ，则下列选项中正确的有( ) AB A.若，则与射线相交 B.若，则与射线 平行 C.若，则与射线垂直 D.若存在，则在 上 57 解析 若，则或 ， 即点,在直线的同侧，且直线与射线 不平行，故A正确. 若，则，即 ， 若，则，过,两点的直线与直线 的斜率都不存在，故平行； 若，则，所以，即过,两点的直线与直线平行，综上，直线 与射线 平行，故B正确. 因为，所以为,两点到直线 的距离之比， 若，则，即,两点到直线的距离相等，且在直线的两侧，但与射线 不一定垂 直，故C不正确. 若点在直线上，则有 ， 结合题设及分母不为0可知，不存在实数，使点在直线上，故D不正确.故选 . 58 $$