２.４ 点到直线的距离（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.4　点到直线的距离 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　两点间的距离 1.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上的中线的长为(　　) A.　　B.2　　C.11　　D.3 2.已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m等于(　　) A.1　　B.3　　C.1或3　　D.-1或3 3.已知点P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为(　　) A.　　B.2　　C.4　　D.2 题组二　点到直线的距离 4.已知直线l1:ax+y-1=0与l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为(　　) A.1　　B.2　　C.　　D.2 5.若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　.  6.若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为　　　　　.  题组三　两条平行直线间的距离 7.若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则它们之间的距离为(　　) A.2　　B.　　C.　　D. 8.设P,Q分别是直线3x+4y-10=0与直线6x+8y+5=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为(　　) A.3　　B.6　　C.　　D. 9.若直线l与其平行直线x-2y+4=0之间的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是　　　　.  题组四　距离公式的综合应用 10.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 11.已知直线l1:ax+by+a=0,l2:x+ay+b=0,若l1∥l2,且这两条直线间的距离为1,则点P(a,b)到坐标原点的距离为(　　) A.2　　B.3　　C.12　　D.27 12.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　) A.x-2y-13=0　　　　B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0　　　　D.x-2y-6=0 13.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(2,3),C(3,-2). (1)求BC边所在直线的方程; (2)求△ABC的面积. 能力提升练 题组　距离公式的综合应用 1.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,5]　　　　B.(0,5) C.(0,+∞)　　　　D.(0,] 2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-6=0和l2:x+y-2=0上,则AB的中点M与坐标原点之间的距离的最小值为(　　) A.　　B.2　　C.3　　D.4 3.已知点A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为(　　) A.2　　B.6　　C.　　D.2 4.已知直线l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,则原点到直线l的距离的最大值等于　　　　.  5.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中,是“切割型直线”的有　　　　.(填序号)  ①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1. 6.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉,形少数时难入微”,事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)之间的距离,结合上述观点,可得+的最小值为　　　　.  7.已知△ABC的顶点分别为A(1,1),B(m,),C(4,2),1<m<4.当m为何值时,△ABC的面积S最大? 8.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点的坐标;若不能,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.B　设BC边的中点为D(x,y),则x==4,y==-2,即D(4,-2), 所以|AD|==2,故选B. 2.C　因为|MN|==,所以=2,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3,故选C. 3.B　∵P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β), ∴|PQ|= = = =. ∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2]. 故选B. 4.C　∵l1⊥l2,∴a×1+1×(-1)=0,解得a=1. 此时直线l1的方程为x+y-1=0, ∴点(1,2)到直线l1的距离d==. 5.答案　4x-y-2=0或x=1 解析　当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,显然点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,根据题意,得=,即|k-1|=|7-k|,可得k-1=±(7-k),解得k=4,∴直线l的方程为4x-y-2=0. 综上,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1. 6.答案　(1,2)或(2,-1) 解析　设点P的坐标为(x,5-3x), 则由点到直线的距离公式,得=, 即|4x-6|=2,∴4x-6=±2,∴x=1或x=2, ∴点P的坐标为(1,2)或(2,-1). 7.C　∵直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行, ∴m≠0,且=≠,解得m=-1,故直线x-y+1=0与直线x-y+4=0之间的距离为=,故选C. 8.D　根据题意,知=≠,所以两直线平行,直线方程6x+8y+5=0可化为3x+4y+=0,所以两平行直线间的距离即为|PQ|的最小值,即|PQ|min==,故选D. 9.答案　x-2y+2=0 解析　根据题意,设直线l的方程为x-2y+c=0(c≠4),则=,解得c=2, 故直线l的方程为x-2y+2=0. 10.C　由解得即直线l过点Q(1,2).因为|PQ|==>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C. 11.A　∵l1∥l2,∴a2=b,若a=0,则b=0,不符合题意,∴a≠0,∴直线l2的方程可化为ax+by+ab=0,∴l1与l2之间的距离d==1,解得b=3或b=0(舍去),∴P(a,b)到坐标原点的距离为==2,故选A. 12.A　因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又因为l1与l2之间的距离是2,所以=2,又因为m>0,所以m=7,即直线l1:x-2y+7=0,设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7),则2=,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0,故选A. 13.解析　(1)由题可知,直线BC过点B(2,3),C(3,-2),∴BC边所在直线的方程为=,化简得5x+y-13=0, ∴BC边所在直线的方程为5x+y-13=0. (2)由题可知|BC|==,A(1,1)到直线BC的距离d==,∴S△ABC=·|BC|·d=××=. 能力提升练 1.A　易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|==5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5]. 2.B　根据题意,可得M的集合为与直线l1和l2距离都相等的直线,则中点M与坐标原点之间的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m≠-2,m≠-6),由=,可得|m+6|=|m+2|,解得m=-4,故l:x+y-4=0,所以中点M与坐标原点之间的距离的最小值为=2.故选B. 3.C　直线AB的方程为x+y=3,点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2), 设点P1(0,-2)关于直线AB的对称点为P2(a,b),在x轴上的反射点为点Q,在直线AB上的反射点为点M,如图, 则kAB·=-1·=-1①,且线段P1P2的中点在直线x+y=3上, 所以+=3②,联立①②,解得a=5,b=3, 即P2(5,3), 根据反射原理,知光线所经过的路程为 |PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|==.故选C. 4.答案　 解析　根据题意,设原点到直线l的距离为d.直线l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,即m(x-y+1)+x+y-3=0,则有解得即直线l恒过定点(1,2),记为M. 则d≤|OM|==,故原点到直线l的距离的最大值等于. 5.答案　②③ 解析　可通过求点M到直线的距离d来分析.①d==3>4,④d==>4,故①④中直线上不存在点P使|PM|=4,故①④不是“切割型直线”;②d=2<4,所以在该直线上可以找到两个不同的点,使其与点M之间的距离等于4,故②是“切割型直线”;③d==4,所以该直线上存在一点,使其与点M之间的距离等于4,故③是“切割型直线”. 6.答案　5 解析　设f(x)=+, 则f(x)=+,∴f(x)的几何意义为点M(x,0)与两定点A(2,4),B(1,3)之间的距离之和.如图所示: 设点A(2,4)关于x轴的对称点为A',则A'的坐标为(2,-4).要求f(x)的最小值,可转化为求|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA'|+|MB|≥|A'B|==5,即f(x)=+的最小值为5. 7.解析　根据题意,得|AC|==,直线AC的方程为=,即x-3y+2=0. 因为点B(m,)到直线AC的距离d=,所以△ABC的面积S=|AC|·d=|m-3+2|=. 因为1<m<4,所以1<<2, 所以0<≤,所以0<S≤. 所以当=,即m=时,△ABC的面积S最大. 8.解析　(1)l2的方程即为2x-y-=0, ∴l1与l2之间的距离d==, ∴=.∵a>0,∴a=3. (2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上, 且=×,解得c=或c=. ∴l':2x-y+=0或2x-y+=0. 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得 =·, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵点P在第一象限,∴3x0+2=0不符合题意. 联立方程 解得x0=-3,y0=,应舍去. 联立解得x0=,y0=. ∴P即为同时满足三个条件的点. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$