第1章 第3节 等比数列 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.3 1.3 等比数列 2 1.3 第1.3节综合训练 刷能力 3 建设用时:55 分钟 1.［山东聊城2024高二期末］已知数列满足，若，则 ( ) B A.4 B.3 C. D.2 4 解析 由可得，由,可知 , 所以，则 是公比为2的等比数列， 所以，所以 . 故选B. 5 2.［安徽六校2025联考］在公差的等差数列中，,,成等比数列，则 ( ) A A. B. C. D. 6 解析 因为公差的等差数列中，,, 成等比数列， 所以，即，解得 ， 所以 .故选A. 7 3.5个数依次组成等比数列，且公比为 ，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) C A. B. C. D. 8 解析 由题意可设这5个数依次为，，，，，其中 ,故奇数项和与偶数项和 的比值为 ,故选C. 9 4.［江苏镇江中学2025高二月考］在正项等比数列中，, ，则满足 的最大正整数 的值为( ) D A.12 B.11 C.9 D.10 10 解析 设正项等比数列的公比为，则，由题意可得 解得故 . 则的前项和，的前 项积 . 由题意可得，化简得 ， 因为为增函数，所以①式成立时必有成立，解得，由于 为正整数，当为的整数部分，即时，①式成立，故满足题意的最大整数 的值为10. 故选D. 11 5.［湖南衡阳2025高二期中］已知数列是等差数列，且,，将,, , 去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则 ( ) C A. B. C. D. 12 解析 在等差数列中，，解得，而 ，则有公差 ，因此等差数列的通项，则, , , ，显然去掉后，,,成等比数列，则数列的首项为 ，公比 ，所以 .故选C. 13 6.［江西上饶余干中学2025期中］复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、 系列、 系列，其中系列的幅面规格为，，， ，，所有规格的纸张的长度（以 表示）和 幅宽（以表示）的比例关系都为，将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 规 格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格； ，如此对开至规格.现有 ， ，， ，纸各一张，若纸的幅宽为 ，则这9张纸的面积之和为( ) D A. B. C. D. 14 解析 设纸的幅宽为，由题可知，，，， ，纸的幅宽构成以为首项， 为 公比的等比数列，由，得，则纸的面积为 ，依题意， 9张纸的面积是首项为，公比为 的等比数列，所以这9张纸的面积之和为 .故选D. 15 7.若数列的前项和为，且满足，，则 ( ) B A.61 B.253 C.1 021 D.4 092 16 解析 由题得，即， 数列 是首项为，公比为的等比数列， ，即 ， ，故选B. 17 8.已知等比数列的前项的乘积记为，若，则 ( ) C A. B. C. D.8 192 18 解析 设等比数列的公比为.由可知，即 ，所 以，即 . 又因为，所以，即,所以，所以 , 所以 . 19 9.［福建宁德2025高二月考］已知数列满足， ，记数列 的前项和为.若对于任意，不等式恒成立，则实数 的取值范围为 ( ) C A., B., C., D., 20 解析 由已知可得，，又，则，所以数列 是首项 为2，公比为2的等比数列，则，即 . 所以 ， 所以，所以实数 的取值范围 是， .故选C. 21 10.（多选）［甘肃庆阳2024月考］设,，在数列中，,, ， 数列的前项和为 ,则下列说法正确的是( ) CD A.当,时， B.当,时， C.当,时， D.当,时， 22 解析 对于A：当，时，，即 ， 又，则，所以，又，则，所以 ， 即数列的奇数项都为，偶数项都为，所以 ，故A错误； 对于B：当，时，，即，又因为 ， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则，所以 ，故B错误； 对于C：当，时，，所以 ， 又因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，故C正确； 对于D：当，时，，则，即 ， 又因为，所以，所以 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即 ，故D正确. 故选 . 23 11.（多选）［四川成都2025高二月考］已知在等比数列中，，公比，是 的前 项和，则下列说法正确的是( ) AC A.数列 是等比数列 B.数列 是递增数列 C.数列{ 是等差数列 D.数列中，，， 仍然构成等比数列 24 解析 等比数列中，，，所以 . 对于选项A，，数列 依然是等比数列，A正确； 对于选项B，，显然数列 是递减数列，B错误； 对于选项C，，显然数列{ 是等差数列，C正确； 对于选项D，，， ，显然这三项 不构成等比数列，D错误.故选 . 25 12.［天津海河中学2025质量检测］已知数列是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则 的值是______. 26 解析 由题意得，解得 ， ，解得 ， 所以 . 27 13.［上海浦东新区2025高二期中］在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷 款8 000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月月初投入资金的 ，每月底扣除生活 费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并 还贷后，他大约剩余_________元.（参考数据： ） 32 000 28 解析 设，从2024年10月起每月底用于下月进货的资金依次记为，， ， ， ，同理可得 ，所以 ，而，所以数列 是等比数列， 公比为，首项为,所以，即 ， 所以 ，故该摊主预计在2025年9月底 扣除生活费并还贷后，他大约剩余 （元）. 29 14.［甘肃兰州一中2024高二期中］已知数列与 满足： ，若是各项为正数的等比数列，且， . （1）求数列与 的通项公式； 30 【解】由题知， ，① 当时， ，② 可得，结合已知得 ， ，，设的公比为 ， ，得（ 舍去）， . ， . 31 （2）若数列满足，为数列的前项和，证明： . 【证明】由题得 ， ， 当时,，有 ， ，故 ，得证. 32 15.已知数列满足,，数列为等比数列，且满足 . （1）求数列 的通项公式； 【解】因为,,，令得，又数列 为等比数列， 所以，则，所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 . 33 （2）已知数列的前项和为，且，记数列满足 求数列 的前项和 . [答案] 由（1）知数列是公比为2的等比数列，由 得 ，解得，则，所以 数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列,偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以 . 34 16.（多选）［清华大学2024强基计划］已知，，为数列 的前 项和，下列选项中正确的有( ) ABD A. B. C.是等比数列 D. 35 解析 由题可知，则等式可化为，则，又，则 ， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则,则 ， 故 ，A选项正确； 数列中，,, ,不是等比数列，C选项错误； 分析知数列单调递增且有极限，故，D选项正确；又因为 ,所以B 选项正确.故选 . 36 17.［中国科学技术大学2023强基计划］已知正整数数列和满足，且 是 等差数列，是等比数列，数列满足.若存在正整数满足， ， 求数列 的通项公式. 37 【解】设等差数列的公差为，则，等比数列的公比为，则 ，此时 ，则 ， . 情形一：当时， ，矛盾. 情形二：当时，则 ， 所以，此时 . 情形三：当时，则（舍去， 应为正整 数）. 情形四：当时，则， ，此时 38 ，不满足题意. 情形五：当时，则， ，此时 ，不满足题意. 情形六：当时，则,，此时 ，则 ，不满足题意.综上所述， . $$