第1章 第2节 等差数列 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（湘教版）

数学 选择性必修 第一册 XJ 1 1.2 1.2 等差数列 2 1.2 第1.2节综合训练 刷能力 3 建议用时:60分钟 1.［甘肃白银2025月考］已知公差大于0的等差数列的前6项和为，，则 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 4 解析 设等差数列的公差为，前项和为 ， 则，，，所以 又，解得 所以 ， 所以 .故选C. 5 2.若数列，，，与，，，，均为等差数列（其中），则 ( ) B A. B. C. D. 6 解析 设数列，，，的公差为，数列,，，，的公差为 ， 则有，即，且，即， ，故选B. 7 3.若数列是公差为1的等差数列，则数列 是( ) C A.公差为3的等差数列 B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列 D.公差为9的等差数列 8 解析 因为数列 是公差为1的等差数列，所以 .所以 是公差为6的等差数列.故选C. 9 4.在项数为的等差数列 中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为950， 则 ( ) C A.16 B.17 C.19 D.21 10 解析 由题意知, ，由等差数列的性质可得 ，所以，所以 . 因为，所以 .故选C. 11 5.设等差数列的前项和为，若，，则 ( ) D A. B. C. D. 12 解析 由等差数列的性质可知，，，， 成等差数列， 且该数列的公差为，则 ，所以 ， 因此 .故选D. 13 6.［江苏徐州三中等校2025联考］若等差数列的前项和为，则“且 ” 是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 14 解析 由且，得等差数列 为递减数列， 且, ， 则, ， 即,，所以 . 由，当,时，等差数列 为递增数列， 则不能满足且 ， 因此“且”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 15 7.［甘肃天水2025高二月考］南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》商功一卷中出现了如图所 示的形状，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角垛），“三角垛”最上层有1个球， 第二层有3个球，第三层有6个球， ，设第层有个球，从上往下层球的总数为 ，则下列 结论正确的是( ) D A. B. C. D. 16 解析 由题意得当时，，，， ，，以上 个 式子累加可得，又满足上式，所以 ，所 以 ，故A错误； 由题得，，，，，， ，得 ，故B错误； ，故C错误； 由 ，得 ，故D正确.故 选D. 17 8.已知数列中，，当时，，设，则数列 的通 项公式为( ) A A. B. C. D. 18 解析 在数列中，，当时，， . ， 当时，，且， ， 也符合此式， .故选A. 19 9.（多选）［甘肃白银2024高二期中］在数列中，若, ，则下列结论正确的 有( ) ABC A.为等差数列 B.的前项和 C.的通项公式为 D.的最小值为 20 解析 因为，易知，所以 ， 所以是首项为 ，公差为3的等差数列，故A正确； 由A知，，所以的前项和 ，故B正确； 由B可知，所以 ，故C正确； 因为,，所以的最小值不为，故D错误.故选 . 21 10.（多选）［四川成都树德中学2025月考］等差数列中，，前项和为 ，则下列说 法正确的是( ) ABD A.若，则 B.若，，则 C.若,则 D.若，则 22 解析 在等差数列中，，设其公差为，若 ，则 ，A正确； 若，，则，得 ， 则 ，B正确； 若,则 ，C错误； 若，则 ， 因为，所以公差,，所以，D正确.故选 . 23 11.［甘肃兰州一中2024高二期中］定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项 的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和.已知数列 是 等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2 023项和 ________. 1 010 24 解析 由等和数列的概念可得,,, ， ， 所以 . 25 12.若数列是正项数列，且，则 __________. 26 解析 令，得 ， . 当时， ,与已知式相减得 ， . 又 当时，满足上式，， . . 27 13.［江苏苏州五中2025高二月考］记为等差数列的前项和，已知, ,则数 列 的前20项和为_____. 218 28 解析 设等差数列的公差为 ， 由题意可得 即解得 ，可得当时，，当时， ， 设数列的前20项和为 ， 则 . 29 14. 在；； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的 横线上，并作答. 设等差数列的前项和为， ，________. （1）求数列 的通项公式； 30 【解】选①，设等差数列的公差为 . 由题意得解得 所以数列的通项公式为 . 选②，设等差数列的公差为 . 由题意得 解得所以数列的通项公式为 . 选③，设等差数列的公差为 . 由题意得 解得所以数列的通项公式为 . 31 （2）求 的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. [答案] 由，得 ，所以当 时， 取得最大值49. 32 链接教材 本题是教材第21页练习第4题的变式，主要考查利用二次函数的性质求等差数列前 项和的最值. 首先要求出首项与公差，再写出 ,利用配方法或二次函数的图象、单调性等求出最值，但需注意, 由于取正整数,所以 不一定是在抛物线的顶点处取得最值,而可能是在离顶点最近的横坐标取整 数的点处取得最值. 33 15.［甘肃武威2024高二月考］已知数列满足， （1）记，写出,，并求数列 的通项公式； 【解】因为数列满足，所以 ， ， ，即，所以数列 是首项为2，公差为3的等差数列，因此 . 34 （2）求的前项和 . [答案] 当为偶数时，设，则， ， 所以 ，此时 ； 当为奇数时，设，则 ，则 . 综上所述， 35 16.［河北沧州沧县中学等校2025高二联考］已知 是各项都为正数的递增数列，给出两个性质： ①对于中任意两项,，在中都存在一项，使得 ； ②对于中任意一项，在中都存在两项,，使得 . （1）若，判断 是否满足性质①，并说明理由； 【解】不满足性质①，理由如下：因为,,，而6不是 中的项， 所以 不满足性质①. 36 （2）若，判断 是否同时满足性质①和性质②，并说明理由； 【解】同时满足性质①和性质②，理由如下：对,, ，所以 ，所以 满足性质①； 对,，,,使得 ， 所以 满足性质②. 综上， 同时满足性质①和性质②. 37 （3）若同时满足性质①和性质②，证明：,,, 成等差数列. 【证明】由性质②，取，则，所以，此时，, ，所以 . 由性质②，取，则，所以，若,，则 ， 不符合题意，舍去. 若,，则 , 因为 ， 所以不是 中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去. 所以,，则 ， 所以，故,,, 成等差数列. 38 17.［北京大学2022强基计划］若的三边长为等差数列，则 的取值范 围是______. 39 解析 不妨设的内角,,所对应的边长分别为,,,其中 . 此时 , . 40 $$