1.4 数学归纳法课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦数学归纳法，从数列问题计算前几项猜想通项切入，通过归纳法局限性引出证明需求，借助多米诺骨牌效应类比，抽象出“奠基-递推”两步证明步骤，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实模型（多米诺骨牌）和问题驱动（数列、立方和公式猜想证明）培养数学眼光（抽象、几何直观）与数学思维（推理、运算）。如类比骨牌原理理解递推思想，自主探究中通过计算比值归纳规律，助力学生掌握逻辑推理方法，教师使用可提升教学效率与学生探究能力。

数学归纳法 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 自主探究 PART 01 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 已知数列 满足 计算 , ， , 猜想该数列的通项公式， 怎样证明你的猜想? 已知数列通过对 n=1,2,3,4 进行归纳，可以猜想数列的通项公式是： 我们可算得： 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 像这样由特殊到一般的推理方法，称为归纳法. 用归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律. 但是，仅根据有限的特殊事例归纳得出的结论有时是不正确的. 例如“n2+n+11是质数”这个命题对于n=1，2，3，···，9都成立，但当n=10时，102+10+11=121=112是一个合数。 对于上述数列的通项公式问题，很自然地想到从n=5开始，逐一往下穷举，但很显然，这个过程无穷无尽，根本无法实施. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 思考：我们遇到类似的问题，很自然的想到逐一往下穷举，但是这个过程无穷无尽，根本无法实施。因而，我们希望寻找到一种方法：通过有限步骤的推理，来证明 n 取所有正整数都成立。 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 多米诺成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 多米诺骨牌效应 如果把骨牌想象为一系列多个编了号的命题p1,p2,p3, …,  假定能够证明： (1)（奠基） 最初第一个命题正确, (2)（递推）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题正确性, 那么便证明了这一系列命题的正确性. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 骨牌原理 数学证明步骤 ①第一张骨牌倒下 ①证明最初的一个命题正确 ②证明“如果前一张骨牌倒下，则后一张也跟着倒下”这句话是真的 ②证明“由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性”这个命题是真命题 根据①②，所有骨牌都能倒下 根据①②，这个系列无限多个有序命题都成立 将现实模型的原理转化为证明无限多个有序命题的证明方法需要类比. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 上述事例启发我们，在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： （1）证明n=n0（n0∈N+）时命题成立; （2）假设n=k （k∈N+，k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0 开始的正整数n，命题成立. 这种证明方法叫作数学归纳法. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 据此，我们来证明本节开头提出的数列的通项公式是 这个猜想. 证明过程如下：   (1) 当 时， 显然成立. (2) 假设当 时，该公式成立，即 ，那么，当 时， 这表明，当 时，公式也成立. 由(1)和(2)可以断定，对于任意的正整数 ，通项公式都成立. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 由(1)和(2)可以断定，对于任意的正整数n，通项公式都成立. 上述结论是容易理解的： 由步骤(1)，可知通项公式对n=1成立； 由n=1成立及步骤(2)，可知对n=1+1=2也成立； 再n=2成立及步骤(2)，可知对n=2+1=3也成立. 这样递推下去，可以知道当n=4,5,6,····时通项公式都成立，即 对任何 都成立.   感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 课堂练习 PART 02 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 11 证明 (1) 当n=1时，左边a1，右边 a1+0·d=a1，等式成立. (2) 假设当n=k时，等式成立，即 ak=a1+(k-1)d 那么，当n=k+1时， 这表明，当n=k+1时，等式也成立. 由(1)和(2)可知，等式对一切n∈N+都成立. 例 1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an=a1+(n-1)d 对一切n∈N+都成立. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 例 2 用数学归纳法证明： （*） 证明 （1）当时，左边，右边，等式成立. （2）假设当时，等式成立，即 ， 那么，当时， . 这表明，当时，等式也成立. 由（1）和（2）可知，等式对任何正整数都成立. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 自主探究 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 对于例 2 的（*）式，等号右边的式子是如何猜想出来的? 设，则，，，， ，…，. 又设，分别计算在，2，3，4，5，…的值，我们发现：，，，…， 由此可猜想. 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 1 2 3 4 5 … 1 3 6 10 15 … 1 5 14 30 55 … ? … 于是可得下表： 进一步，我们可以猜想： 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 类似地，设 ，则可列出下表： 1 2 3 4 5 ... 1 3 6 10 15 ... 1 9 36 100 225 ... ? 由表中数据，我们发现：。 于是，可以猜出：。 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 课堂小结 PART 03 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 生产、生活中遇到的问题 归纳、猜想 证明猜想是否正确？ 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 1、 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种； 2、数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想． 小结 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 再见！ 数学归纳法 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com $