第四章一次函数单元练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 单元练习 一、单选题 1．若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（   ） A． B． C． D． 2．若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 3．已知点，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点A的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的边在轴上，的中点与原点重合，，过定点和动点的直线与矩形的边有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 7．正比例函数（）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．一次函数的图象如图所示，则的值可能为（   ） A． B．0 C．0.5 D．2 9．如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 10．如图，已知点的坐标为，点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点，设点的横坐标为的长为，且与之间满足关系：，则结论：①；②；③；④，正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．③④ 二、填空题 11．直线与x轴的交点坐标为 ．与y轴的交点坐标为 ． 12．如果点，在同一正比例函数的图象上，那么m的值为 ． 13．一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：）与所挂重物质量（单位：）的函数解析式是 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为 ． 三、解答题 16．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 17．随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； (2)当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 18．如图，直线与轴、轴分别相交于点，点的坐标为，点是直线上一个动点． (1)在点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； (2)当点运动到什么位置时，的面积为9，求此时点的坐标； 19．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他离家距离与骑车所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是___________，函数是___________； (2)小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了___________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 20．已知一次函数，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与轴、轴的交点分别是点，点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上的动点，连接交线段于点，若，求点的坐标； (3)如图3，若点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，连接、、，当最小时，求的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 一次函数 单元练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B D A A A B A 1．A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是确定各项系数的符号． 先确定k的符号，再根据解析式确定经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， 又点，在直线上，且， ∴随的增大而减小， ∴， ∴直线所经过的象限是第一、二、四象限， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：直线，， 随的增大而减小， 又， ． 故选：D． 4．B 【分析】过点B作轴于C，作轴于D，得四边形是正方形，当线段垂直直线时，线段最短，，根据直线是二、四象限角平分线，得，得，根据点A的坐标为，得，即得点B的坐标为． 【详解】当线段垂直直线时，线段最短，, 过点B作轴于C，作轴于D， 则， ∵直线是二、四象限角平分线， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为：． 故选：B． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线判定和性质，正方形的判定和性质．熟练掌握是解题的关键． 5．D 【分析】考查了一次函数的综合题，解题关键是运用数形结合思想．分别求出直线过点D和直线过点C时对应的函数解析式，然后求出点P的坐标即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 当直线过点D时，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得到； 当直线过点C时，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， 则过定点和动点的直线与矩形的边有公共点时，a的取值范围是． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当，图象与y轴的正半轴相交；当，图象过原点；当，图象与y轴的负半轴相交．先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象经过第一，三，四象限，得到，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，三，四象限， ∴， 只有A符合题意． 故选A． 9．B 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了一次函数的图象识别，观察函数图象中点的关系以及函数解析式是解决本题的关键． 令求解y的值即可判断①；令求解y的值即可判断②；根据与点的坐标即可判断③；由勾股定理求解边长由此判断④． 【详解】解：∵与之间满足关系：， ∴令，解得， 此时点P与点A重合，即，故①正确； 令，解得， 此时点P与点B重合，即，故②正确； ∵点的坐标为， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵，， 在中，，故④错误； ∴正确结论的序号是①②③． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握，即可解题，根据一次函数的性质，与x轴的交点即纵坐标为0，与y轴的交点坐标即横坐标为0，代入即可得解． 【详解】解：根据题意得：当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：；． 12．2 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求正比例函数的函数值，先设出这个正比例函数解析式，并利用待定系数法求出对应的解析式，再求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：设这个正比例函数的解析式为， 把点A坐标代入中得：， ∴， ∴这个正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查函数解析式问题，将实际问题抽象成函数解析式成为解题的关键． 根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，然后列出函数关系即可． 【详解】解：由题意得，弹簧总长（单位：）与所挂重物质量（单位：）的函数解析式是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数的相关知识，具体包括：一次函数上点的坐标特征，垂直于坐标轴的两点距离计算．求解出点M与点N的坐标是解决本题的关键． 首先根据点在直线上，点N在直线上且轴，用含m的式子表示出M、N两点的坐标，然后根据，求解m的取值范围． 【详解】解：因为点M是直线上的动点，且点M的横坐标为m， 将代入，可得， 所以点M的坐标为． 因为轴，且点N在直线上， 所以点N的横坐标也为m， 将代入，可得， 所以点N的坐标为． 因为，，两点横坐标相同， 所以． 当时，解得， 即点M的横坐标位于与2中间时，， 故m的取值范围是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，一次函数的性质，根据一次函数的性质和图象的规律分别求出，，，依次求解即可求出. 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题综合考查了正比例的定义，函数图象上点的坐标特征．正确理解正比例的定义是解题的关键； （1）根据正比例的定义设，然后把，，代入计算求出值，再整理即可； （2）将点代入（1）中所求的函数解析式求的值． 【详解】（1）y与成正比例 可设， 把，代入得，， 解得， ； （2）若点在这个函数的图象上，则， 解得． 17．(1) (2)当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案． （1）分别计算购物金额为元和元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市； （2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式超市为一次函数，B超市分和两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择． 【详解】（1）解：当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（不满元不返现）． ∵，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（满元返元）． ∵， ∴选择B超市更省钱． （2）解：A超市实付金额函数表达式：． B超市实付金额函数表达式： 当时，不返现，； 当时，满元返元，． 比较省钱方案： 当时，，选择A超市更省钱； 当时，令，解得． 当时，，选择B超市更省钱； 当时，，两家超市实付金额相同； 当时，，选择A超市更省钱． 答：当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱． 18．(1) (2)或 【分析】本题综合考查了坐标与图形面积，列一次函数关系式，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）设点，将的面积表示出来，并分点P在第一、二象限和点P在第三象限两种情况进行讨论即可； （2）分别把代入（1）中两种情况下的函数关系式，求出点P的横坐标，再分别代入中可求出点P纵坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴P到x轴的距离为， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 令=0， 解得， ∴， ①当点P在第一、二象限时， ，      ②当点P在第三象限时，      ∴点P在运动过程中，的面积S与x的函数关系式为： ； （2）解∶当，的面积为9， ∴，解得， 代入，得， ∴， 当），的面积为9， ∴， 解得， 代入，得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 19．(1)骑车所用时间，离家的距离 (2)1500，4 (3)分钟时速度最快，速度在安全限度内 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用路程与时间的关系是解题的关键． （1）根据函数图象可知纵坐标是距离，横坐标是时间，从而得出自变量是骑车所用时间，函数是离家的距离； （2）因为轴表示距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的距离是1500米；由图象中距离没有变化的时间段可以得到小明在书店停留的时间； （3）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是骑车所用时间，因变量是离家的路程． 故答案为：骑车所用时间，离家的距离； （2）轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是1500米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：1500，4； （3）由图象可知分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 在整个上学的途中分钟时速度最快且小于300米/分，在安全限度内． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的平移法则即可得解； （2）求出，，由平移的性质可得，由平行线的性质结合题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，作交于，连接， ，当、、三点共线时，有最小值，设直线的解析式为，求出，设直线的解析式为，求出，从而可得，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵将直线向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， 当时，，解得，即， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， 如图，作交于，连接， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一次函数的平移、一次函数与几何综合、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$