精品解析： 浙江省杭州市西湖区景汇中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区景汇中学九年级（下） 月考数学试卷（3月份） 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键． 3. 由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可． 【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看时，看到的是三个小正方形排成一排， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别依据同类项概念、同底数幂的乘法、幂乘方与同底数幂的除法法则逐一计算即可． 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同类项概念、同底数幂的乘法、幂的乘方与同底数幂的除法法则． 5. 小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ） A. 5，2 B. ，2 C. 8， D. 5，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，把代入，求得的值，进而求出●的值，即可得到答案． 【详解】解：把代入，可得 ， 解得 ， 把，代入可得 ， 则“●”“★”表示的数分别为8，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键． 6. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论． 【详解】连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴， ∴AB＝2AM＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 7. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一对和二队工作效率之和乘以30天等于列方程即可． 【详解】解：∵由建筑一队施工，那么180天可盖成， ∴一队的工作效率是． ∵由建筑二队单独施工，则需要天完成， ∴二队的工作效率是． ∵由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤． 8. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 9. 如图，点O为正六边形对角线上一点，，则的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】连接三条对角线交于一点，会形成6个全等的等边三角形，那么求出一个三角形面积即可，与的和可转化为，即可求出，最后直接求出面积即可． 【详解】解：连接，，交于点P， 六边形是正六边形， ，， ， 又， ， P是中点， ， ． 10. 下表中所列x、y的数值是某二次函数图像上的点所对应的坐标，其中，根据表中所提供的信息，其中：①；②；③；④，判断正确的是（　　） x … … y … 16 m 9 k 9 m 16 … A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质，根据表格数据，结合二次函数的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：∵，其对应的函数值是先减小后增加， ∴抛物线开口向上， ∴，，， 故①、②、③正确； 二次函数的最小值为， 由题意可知为抛物线上的一个点的纵坐标，且该点不一定是顶点， 故， ∵， ∴， 整理得， ∴④错误． 综上可得，判断正确的是：①②③． 故选：A． 二．填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握由平行截线求相关线段的长或比值． 先求出，再利用由平行截线段成比例求解． 【详解】解：∵直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形的面积等于_______cm2（结果保留π）． 【答案】15π． 【解析】 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：15π． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解题的关键． 14. 已知是方程的一个解，则整式的值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，代数式的值，先把代入原方程可得：，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以的速度朝正北方向行驶，B船以的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是______km． 【答案】15 【解析】 【分析】设A、B船行驶的时间为t小时，则可根据勾股定理及二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：设A、B船行驶的时间为t小时，由图可得： ， ∴在Rt△中，， ∴当t=2时，取最小值， 即km， ∴两船相距最近是15km； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查勾股定理及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 已知矩形中，在边上取一点E，使，点B和点F关于直线对称，且有，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题关键． 先证明，列出比例式，可得，设， ，从而可得， ，于是可得，求得与关系式，进而求得． 【详解】解：连接交于点H， ∵点B和点F关于直线对称， ∴垂直平分， ∵，， ∴B、D、F三点在同一条直线上， ∵四边形是矩形，点E在上， ∴， ∴， ∴， ， ， 设，，则， ∴， ∴， ∴， 解关于x的方程得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 三、全面答一答（本题有8小题，共72分） 17. 化简：－1 圆圆的解答如下： －1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【答案】圆圆的解答错误，－ 【解析】 【分析】直接将分式进行通分，进而化简，即可得出答案． 【详解】解：圆圆的解答错误， 正确解法：－1 ＝－． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键． 18. 已知，． （1）当，，求m，n的值． （2）当，，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，代入求值； （1）直接把a，b的值代入计算解答即可； （2）把原式化为，然后代入m，n的值解答即可． 【小问1详解】 解：当，时， ， ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 19. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可． 【详解】解：根据题意，可作树状图如下， 由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况， 所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的知识，能够正确作出树状图是解题关键． 20. 如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点． （1）求证：AB平分∠OAC； （2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长． 【答案】（1）证明：连接 是弧的中点， 是等边三角形， 同理 四边形是菱形， 平分 （2） . 【解析】 【详解】（1）略 （2）解：连接 是等边三角形， 是直角三角形， 21. 一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，汽车每行驶1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程中，油箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系． （1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）； （2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量． 【答案】（1）y＝﹣x+50；（2）10升 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出前100千米与后250千米的耗氧量，再根据减法的意义列式计算即可． 【详解】解：（1）设当0≤x≤100时，y关于x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意， 把（100，40）、（0，50）代入得， 解得， ∴y＝﹣x+50； （2）由题意可知，前100千米耗油量为10升， 后250千米的耗油量为：250×（0.1+0.02）＝30（升）， 油箱中的剩余油量为：50﹣10﹣30＝10（升）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 22. （1）教材呈现：如下是浙教版九年级上册数学教材第140页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 例2如图①，已知，是的两条中线，P是它们的交点． 求证：． 证明： 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，，交于点F． （2）如图②，若四边形为正方形，且，则的长为 ． （3）如图③，连结交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为 ． 【答案】 （1）证明： 如图所示，连接， ∵、分别是，的中点， ， ∴，， ， ，即； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形与平行四边形的性质，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据三角形中位线及相似三角形的性质求解； （2）由为中点，可得 ，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求解； （3）连接， 设 则，，由为中点，为中点，可得 进而求出再由的面积为，然后根据的面积为求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵正方形边长为， ，，， ∴，， ， ∵为边的中点， ， ， 故答案为： ； （3）连接， 设则， ∵为中点，为中点， ∴为的中位线，为的中位线， ， 由（1）得， 设点到的距离为，则， ∴， ， 同理，， ， 的面积为， 故答案为：. 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数， （1）若此二次函数的图象经过，求a的值； （2）若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； （3）若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质， （1）把已知点代入解析式求出a的值； （2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可； （3）求出的关系式，根据当时，，即可得到，根据题意得到，求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象经过、， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ， ， 当时，， ∵， ， 即， 解得， ∵时恒成立， ∴， 解得． 24. 如图，四边形内接于，连接，，点E在的延长线上，且， （1）若，求的度数； （2）若，， ①请用含a，b的代数式表示的余弦值； ②请用含a，b的代数式表示． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据可得，根据等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等解答即可； （2）①过点A作于点F，根据可得，，即可得到，然后根据余弦的定义解答即可； ②过点D作于点G，作于点H，根据得到，即可得到，，然后根据证明，得到，然后根据线段的和差解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴，， ∴， 过点A作于点F，如图， 则， 又∵， ∴； ②过点D作于点G，作于点H，如图， 则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区景汇中学九年级（下） 月考数学试卷（3月份） 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 3. 由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ） A. 5，2 B. ，2 C. 8， D. 5，4 6. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2 7. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的．现若由建筑二队单独施工，则需要天完成．根据题意列的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点O为正六边形对角线上一点，，则的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 10. 下表中所列x、y的数值是某二次函数图像上的点所对应的坐标，其中，根据表中所提供的信息，其中：①；②；③；④，判断正确的是（　　） x … … y … 16 m 9 k 9 m 16 … A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二．填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： =___． 12. 如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是_____． 13. 已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形的面积等于_______cm2（结果保留π）． 14. 已知是方程的一个解，则整式的值为_____ ． 15. 如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以的速度朝正北方向行驶，B船以的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是______km． 16. 已知矩形中，在边上取一点E，使，点B和点F关于直线对称，且有，则＝_____． 三、全面答一答（本题有8小题，共72分） 17. 化简：－1 圆圆的解答如下： －1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 18. 已知，． （1）当，，求m，n的值． （2）当，，求的值． 19. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率． 20. 如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点． （1）求证：AB平分∠OAC； （2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长． 21. 一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，汽车每行驶1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程中，油箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系． （1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）； （2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量． 22. （1）教材呈现：如下是浙教版九年级上册数学教材第140页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 例2如图①，已知，是的两条中线，P是它们的交点． 求证：． 证明： 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，，交于点F． （2）如图②，若四边形为正方形，且，则的长为 ． （3）如图③，连结交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为 ． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数， （1）若此二次函数的图象经过，求a的值； （2）若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围； （3）若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围． 24. 如图，四边形内接于，连接，，点E在的延长线上，且， （1）若，求的度数； （2）若，， ①请用含a，b的代数式表示的余弦值； ②请用含a，b的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $