3.1勾股定理的探究（2知识点+7题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 经历勾股定理的探究过程，理解勾股定理内容。 1. 掌握勾股定理表达式，会用其解决简单的直角三角形边长计算问题。 1. 体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，了解勾股定理的历史文化背景。 一：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 二：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 考点一：用勾股定理解三角形 1．如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 2．如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，，则AB的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（   ）． A． B． C． D． 考点二. 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 8．如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是(　　) A． B．π C． D． 考点三.利用勾股定理证明线段平方关系 9．已知在中，． (1)如图1，当点M、N在上时，求证：； (2)如图2，当绕点C旋转，点M、N在延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 10．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 11．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 考点四.勾股定理的证明方法 12．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 13．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 14．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 15．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 考点五.以弦图为背景的计算题 16．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 17．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“风车”，这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 18．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 考点六.用勾股定理构造图形解决问题 20．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 21．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 22．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 考点七.勾股定理与无理数 24．如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 25．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 26．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，将含角的直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，顶点在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点，当时，，两点分别落在直尺上的cm，cm处，则直尺的宽度为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 3．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 4．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 5．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 6．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（    ） A．4.1 B．4.2 C．4.5 D．4.8 8．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 9．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（    ） A． B． C． D． 10．如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 2、 填空题 11．若一个直角三角形两直角边之比为，斜边长，则两直角边为 ． 12．中，，，高，则 13．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 14．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 15．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 经历勾股定理的探究过程，理解勾股定理内容。 1. 掌握勾股定理表达式，会用其解决简单的直角三角形边长计算问题。 1. 体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，了解勾股定理的历史文化背景。 一：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 二：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 考点一：用勾股定理解三角形 1．如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和为，再求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 以的三条边为直径作半圆， ∴阴影部分的面积之和为 ． 故选：D． 2．如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，将绕点顺时针旋转到，连接，由旋转性质可知，，，，则有，都是等边三角形，所以，，从而可得，，故有，，，在一直线上，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接， 由旋转性质可知，，，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，，在一直线上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，，若，，则AB的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容成为解题的关键． 直接根据勾股定理进行列式计算即可． 【详解】解：∵在中，，若，， ∴． 故选：D． 4．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是由旋转得到相等的边． 根据绕点顺时针旋转，得到，可得≌，，，从而得到为等边三角形，在中，利用勾股定理得到，即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到， 可得：≌，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴与的周长之和为： ． 故选：A ． 考点二. 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据，结合正方形的面积公式和勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴； 故选：B． 6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理，得出规律是解题的关键．由勾股定理得，再由图1可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为，由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为，得出规律，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， …… ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：． 故选：A． 7．如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，掌握直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和是解题的关键．根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：，从而得到答案． 【详解】解：，， 直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为144和169， 根据勾股定理，另一条直角边的平方为， ， 正方形的边长为5， 故选：C． 8．如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和(阴影部分的面积)是(　　) A． B．π C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆的面积，正确求出，是解题的关键．先根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 考点三.利用勾股定理证明线段平方关系 9．已知在中，． (1)如图1，当点M、N在上时，求证：； (2)如图2，当绕点C旋转，点M、N在延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，通过旋转构造全等三角形是解题的关键： （1）将绕点旋转，得到，连接，易证为直角三角形，勾股定理得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）将绕点旋转至的位置，连接，同法（1）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论成立，理由如下： 将绕点旋转至的位置，连接，则：， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 11．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 考点四.勾股定理的证明方法 12．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 13．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 14．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 15．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 考点五.以弦图为背景的计算题 16．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得， ∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得， ∴， ∴， ∴选项①错误，不符合题意； 故选：C． 17．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“风车”，这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得变化后的直角三角形的斜边长，结合周长的定义解答即可． 本题考查了勾股定理应用，通过勾股定理可将“风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：依题意，设“风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则， 所以， 所以风车的外围周长为． 故选：A． 18．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 19．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 考点六.用勾股定理构造图形解决问题 20．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 21．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 22．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，如图，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，如图，，，    由勾股定理得，， ∴米长的梯子可以达到建筑物的高度是米， 故选：D． 23．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得： 解得：x=12 故选：C. 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键. 考点七.勾股定理与无理数 24．如图，数轴上点表示的实数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵以点为圆心，半径为的弧过点A， ∴点A表示的数为， 故选：B． 25．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 26．如图，在数轴上点表示的数为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点A表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， 则， 故点A表示的数为， 故选B． 27．如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【详解】解：在中，， ， 由题意得， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 一、单选题 1．如图，将含角的直角三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，顶点在直尺的另一边上，与直尺的另一边交于点，当时，，两点分别落在直尺上的cm，cm处，则直尺的宽度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，，， 在中，， ， ， 即直尺的宽为， 故选：D． 2．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解． 【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米）， 需购买红地毯的长为（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽米， 红地毯面积是：（平方米）． 故选：C． 3．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 4．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键． 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于． 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4． ∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； …… ∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为． 故选C． 5．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 6．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为大正方形的面积为49， 所以大正方形的边长为7， 则由勾股定理得，． 故①正确． 因为小正方形的面积为4， 所以小正方形的边长为2， 则． 故③正确． 大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴每个直角三角形面积为， ， ∴， 所以（舍负）． 故②错误． 故选：C． 7．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（    ） A．4.1 B．4.2 C．4.5 D．4.8 【答案】B 【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：， 解得． 即折断处离地面尺高． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 8．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示， 作点A的对称点B， 连接PB， 则PB为所求， 根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B. 【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键. 9．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理可求出点A处所表示的数到0的距离为，进而可得答案． 【详解】解：由图可得，点A处所表示的数到0的距离为， ∴图中标注在点A处所表示的数为． 故选：B． 10．如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 2、 填空题 11．若一个直角三角形两直角边之比为，斜边长，则两直角边为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设这个直角三角形的两直角边长分别为，再利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：设这个直角三角形的两直角边长分别为， ∴这个直角三角形的斜边长为， ∵斜边长， ∴， 解得， ∴两直角边长分别为，， 故答案为：和． 12．中，，，高，则 【答案】14或4 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 13．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【详解】解：正方形的边长为2，如图，连接、相交于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2，其面积标记为， ， ， ， ． ， ； 故答案为：． 14．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答．本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， 设点表示的数是， ∴， ∴， ∴， 故答案为； 15．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转度（），得到，，的对应点分别为，．边，分别交直线于，，当是直角三角形时，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形．由图形旋转可以得到旋转前后边长和角度不变，结合勾股定理求解边长是解决本题的关键． 分类讨论这个直角三角形的直角为是直角和是直角这两种情况，由含有的直角三角形求解边长，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵是由绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， 即， 解得， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当时，连接，如图， ∵， 在，， 综上，的值为4或． 故答案为：4或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$