专题 3.1 勾股定理的探究（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 3.1 勾股定理的探究 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）勾股定理的发现与证明 1 题型 1：勾股定理的证明 1 知识点（二）勾股定理 2 题型 2：用勾股定理解三角形（求第三边长） 3 题型 3：用勾股定理解三角形（求面积） 3 题型 4：用勾股定理解三角形（网格问题） 4 题型 5：用勾股定理解三角形（平方问题） 5 题型 6：用勾股定理解三角形（折叠问题） 6 知识点（三）勾股定理的应用 7 题型 7：勾股定理的应用（弦图问题） 7 题型 8：勾股定理的应用（构造图形） 8 题型 9：勾股定理的应用（勾股定理与无理数） 8 题型 10：勾股定理的应用（勾股定理与最值） 9 二．同步练习 10 【基础巩固（15题）】 10 【能力提升（16题）】 13 【中考真题（10题）】 18 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）勾股定理的发现与证明 题型 1：勾股定理的证明 【例题1】 （24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【变式1】 （24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． （1）求证：，． （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式2】（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   知识点（二）勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 数学语言：如图1，在，，则有或 图1 （1）揭示数量关系：勾股定理清晰地揭示了直角三角形三边之间特定的数量关系 ，将直角三角形的 “形”（直角三角形的形状特征）与三边的 “数”（边长的数值关系）紧密结合，体现了数形结合思想。 （2）方程思想运用：在实际解题中，当设定一条直角边长为未知数后，依据题目给定的已知线段长度，能够建立方程求解。 题型 2：用勾股定理解三角形（求第三边长） 【例题2】 （24-25七年级下·山东烟台·期末）如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 【变式1】 （24-25八年级下·湖北随州·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（   ） A．2 B．4 C． D．2或 【变式2】（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在中，C为上一点，，，．求的长． 题型 3：用勾股定理解三角形（求面积） 【例题3】 （24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，等边的边长是，是高，求这个三角形的面积． 【变式1】 （24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 题型 4：用勾股定理解三角形（网格问题） 【例题4】 （24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． （1）在图1中，先画的角平分线，再在上画点，使； （2）在图2中，先在边上画点，使，再画的高． 【变式1】 （24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则 ，数轴上点所表示的数为 ． 题型 5：用勾股定理解三角形（平方问题） 【例题5】 （24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，． （1）图1中，若，，则边上的高的长为______； （2）在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【变式1】 （23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    题型 6：用勾股定理解三角形（折叠问题） 【例题6】 （24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）求证是等腰三角形． （2）求的长． 【变式1】 （24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为 ． 知识点（三）勾股定理的应用 题型 7：勾股定理的应用（弦图问题） 【例题7】 （24-25八年级下·广东东莞·期中）如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． （1）如果，那么长为________； （2）设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 【变式1】 （24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ． 题型 8：勾股定理的应用（构造图形） 【例题8】 （24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【变式1】 （23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 题型 9：勾股定理的应用（勾股定理与无理数） 【例题9】 （24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点表示的数分别是、．过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点．点所表示的数为，已知为的整数部分，为的小数部分． （1）_______； （2）_______，_______； （3）求代数式的值． 【变式1】 （24-25八年级下·河南周口·期末）如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，以原点为圆心，以为半径画弧，则点A表示的实数是 ． 题型 10：勾股定理的应用（勾股定理与最值） 【例题10】 （23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物． （1）请画出该圆柱的侧面展开图； （2）请计算出蚂蚁找到食物的最短路程． 【变式1】 （24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，为等边三角形，平分，，点为上一动点，连接，当取最小值时，的长为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，已知，点是射线上一动点，连接，作的垂直平分线，与射线交于点设，当时，线段的最大值为 ，最小值为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 3．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（2025·广东清远·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·广西百色·期末）光学直角棱镜的一个重要作用就是转折光路，如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形，所在面为不透光的磨砂，，，现将一束单色光从边上的点入射，折射后到达边上的点，此时是的中点，再经过反射后，从点垂直于射出，连接，若，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为 ． 10．（24-25八年级下·江西新余·期末）如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为 ． 11．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边、、的长分别是5、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是 ． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在等边中，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到．若，，的长为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，．绕点逆时针旋转，旋转角为，点为点C的对应点． （1）请用尺规作图法画出旋转后的； （2）若，，，求的长． 14．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，． （1）求证：． （2）已知，求的长． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，点E、F分别是和的中点，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）在如图所示的四边形中，的长可能是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别为，若，则长为（　　） A．5 B．2 C． D． 6．（20-21八年级上·河南周口·期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 二、填空题 7．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 8．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 9．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则 ． 10．（24-25八年级下·广东汕头·期末）一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为 ． 11．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，都是等边三角形，点在同一直线上，点 在同一直线上，若，若，则 ． 12．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，在中，． （1）若，则 ． （2）点D和点E是上的点且，若，则 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 14．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． （1）如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． （2）如图2，连接，若，求的长． 15．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 16．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在中，，．在中，，． （1）连接、，则线段和的数量关系是 ，直线和的位置关系是 ； （2）如图2，将绕点C逆时针旋转，请问：线段和的数量关系、直线和的位置关系与（1）中的结论是否一致？若一致，请给予证明；若不一致，请说明理由． （3）如图3，当点D旋转到线段的左侧且保持时，连接、，线段与交于点O，求的值．（请直接写出结果） 【中考真题（10题）】 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（    ）． A． B． C． D． 4．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 二、填空题 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）是直角三角形，，，则的长为 ． 6．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 7．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    8．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 10．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3.1 勾股定理的探究 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）勾股定理的发现与证明 1 题型 1：勾股定理的证明 1 知识点（二）勾股定理 5 题型 2：用勾股定理解三角形（求第三边长） 5 题型 3：用勾股定理解三角形（求面积） 7 题型 4：用勾股定理解三角形（网格问题） 9 题型 5：用勾股定理解三角形（平方问题） 12 题型 6：用勾股定理解三角形（折叠问题） 15 知识点（三）勾股定理的应用 18 题型 7：勾股定理的应用（弦图问题） 18 题型 8：勾股定理的应用（构造图形） 20 题型 9：勾股定理的应用（勾股定理与无理数） 23 题型 10：勾股定理的应用（勾股定理与最值） 25 二．同步练习 29 【基础巩固（15题）】 29 【能力提升（16题）】 40 【中考真题（10题）】 59 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）勾股定理的发现与证明 题型 1：勾股定理的证明 【例题1】 （24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方. 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； 解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； 【变式1】 （24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． （1）求证：，． （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】（1）详见分析；（2），详见分析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 解：（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式2】（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 知识点（二）勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 数学语言：如图1，在，，则有或 图1 （1）揭示数量关系：勾股定理清晰地揭示了直角三角形三边之间特定的数量关系 ，将直角三角形的 “形”（直角三角形的形状特征）与三边的 “数”（边长的数值关系）紧密结合，体现了数形结合思想。 （2）方程思想运用：在实际解题中，当设定一条直角边长为未知数后，依据题目给定的已知线段长度，能够建立方程求解。 题型 2：用勾股定理解三角形（求第三边长） 【例题2】 （24-25七年级下·山东烟台·期末）如图是一台手机支架的示意图．，可分别绕点A，B转动，测得，，若，，垂足分别为点B，E，，求点D到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答． 解：连接． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴点D到的距离为 【变式1】 （24-25八年级下·湖北随州·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（   ） A．2 B．4 C． D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据勾股定理，分两种情况讨论已知两边为直角边或其中一边为斜边，分别计算第三边的长度，即可作答． 解：已知直角三角形两边长分别为1和，需分两种情况求解第三边： 当1和均为直角边，则第三边为斜边， 由勾股定理得：斜边， 当为斜边，则第三边为另一条直角边， 由勾股定理得：直角边， 综上，第三边长为1或， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在中，C为上一点，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握这两个知识点是关键；过点A作于点E，则由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得． 解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴； 在中，由勾股定理得； 在中，， 由勾股定理得． 题型 3：用勾股定理解三角形（求面积） 【例题3】 （24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，等边的边长是，是高，求这个三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理．根据等边三角形的性质得到，，再利用勾股定理求得高的长，根据等边三角形面积公式进行求解即可． 解：∵是等边三角形，是高， ∴，， ∴； ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据和勾股定理求出，，再求出，即可得到答案． 解：∵以为斜边在外侧作，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 题型 4：用勾股定理解三角形（网格问题） 【例题4】 （24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． （1）在图1中，先画的角平分线，再在上画点，使； （2）在图2中，先在边上画点，使，再画的高． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的性质与判定，三角形的高，构造等腰三角形是解题的关键； （1）构造等腰三角形（），取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，线段，点即为所求； （2）构造等腰直角三角形，交于点，与交于点，连接并延长交于点，则点，即为所求． 解：（1）解：如图1中，线段，点即为所求； 证明：因为等腰三角形（）， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）如图2中，点，线段即为所求． 证明：因为等腰直角三角形，则，根据三角形高交于一点，与交于点，连接并延长交于点，则点，即为所求． 【变式1】 （24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出面积，利用面积法求出边上的高即可． 解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则 ，数轴上点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上表示，数轴上两点间的距离，解题关键利用勾股定理求出相应线段的长． 先利用勾股定理求得，再利用数轴上两点间的距离求出点表示的数． 解：设点表示的数为， ， 由作法可知， ∴，解得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为： ，． 题型 5：用勾股定理解三角形（平方问题） 【例题5】 （24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，． （1）图1中，若，，则边上的高的长为______； （2）在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）由勾股定理得，，根据，可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求，理由如下： ∵直线为线段段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即点P符合题意． 【变式1】 （23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点拨】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型 6：用勾股定理解三角形（折叠问题） 【例题6】 （24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）求证是等腰三角形． （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质结合平行线的性质可得，由等角对等边可得，即可得证； （2）利用勾股定理计算即可得解． 解：（1）证明：由翻折性质得， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：由题意可得：，， ∴， 在中，， 由（1）可得， ∴， 解得． 【变式1】 （24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，点落在上时，此时，当落在上时，得到解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 解：过点C作于点E， ∵，，， ∴，， ∴当P与点E时重合时，点落在上时，此时， ∴当落在上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高． 连接，交于点，由折叠性质知，，，得到垂直平分，推出，根据，，，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，即可得出． 解：如图，连接，交于点F． 由折叠知，． 垂直平分， ． ，，， ． ． ， ． ． 故答案为： 知识点（三）勾股定理的应用 题型 7：勾股定理的应用（弦图问题） 【例题7】 （24-25八年级下·广东东莞·期中）如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． （1）如果，那么长为________； （2）设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 【答案】（1）20；（2）①4，96；②196 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，全等三角形的性质，熟知勾股定理和完全平方公式是解题的关键． （1）由全等三角形的性质得到，，则可由勾股定理得到，据此可得答案； （2）①根据题意可得，则，则由正方形面积计算公式可得正方形的面积，由勾股定理可得，则，据此求出的值即可得到答案；②根据列式求解即可． 解：（1）解：由全等三角形的性质可得，， 在中，由勾股定理可得， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴正方形的面积为； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个直角三角形的面积和为； ②． 【变式1】 （24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解． 解：由题意得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴大正方形的面积为34， 故答案为：34． 题型 8：勾股定理的应用（构造图形） 【例题8】 （24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 【变式1】 （23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，如图，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 解：由题意知，如图，，，    由勾股定理得，， ∴米长的梯子可以达到建筑物的高度是米， 故选：D． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 题型 9：勾股定理的应用（勾股定理与无理数） 【例题9】 （24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点表示的数分别是、．过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点．点所表示的数为，已知为的整数部分，为的小数部分． （1）_______； （2）_______，_______； （3）求代数式的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（）利用勾股定理可得，即得，再根据数轴上两点间公式即可求解； （）利用夹逼法估算出的取值范围，进而即可求解； （）把（）所得的值代入计算即可求解； 本题考查了实数与数轴，无理数的估算，代数式求值等，掌握无理数的估算的估算方法是解题的关键． 解：（1）解：∵直线垂直于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点对应的数， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， 故答案为：，； （3）解：，， ． 【变式1】 （24-25八年级下·河南周口·期末）如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．首先求出正方形对角线的长度，再根据点B在数轴上的位置，确定点B表示的数． 解：∵正方形边长为1， ∴，点表示的数为， ∵以A为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与x轴负半轴交于点B， ∴， ∴B点横坐标为：． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，以原点为圆心，以为半径画弧，则点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，设点A表示的实数是，再次利用两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程即可． 解：如图所示： 由题意得：，，，， ∴， ∵点O表示的数是0， 设点A表示的实数是， ∴， ， 或（不合题意，舍去）， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 题型 10：勾股定理的应用（勾股定理与最值） 【例题10】 （23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物． （1）请画出该圆柱的侧面展开图； （2）请计算出蚂蚁找到食物的最短路程． 【答案】（1）见分析；（2）15厘米 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图，勾股定理． （1）圆柱体的侧面展开图是长方形，据此即可解答； （2）将圆柱的侧面展开后，蚂蚁找到食物的最短路程是线段，根据勾股定理即可求解． 解：（1）解：把圆柱的侧面展开，如图所示： （2）解：将圆柱的侧面展开后，蚂蚁找到食物的最短路程是线段． 由题意可得：，厘米，（厘米）， ∴在中，（厘米）， 答：蚂蚁找到食物的最短路程是15厘米． 【变式1】 （24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，为等边三角形，平分，，点为上一动点，连接，当取最小值时，的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，得到的最小值为的长是解决本题的关键．过A作于F，过点E作于P，故，得到的最小值为的长，求出此时的的长即可． 解：过A作于F，过点E作于P， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 此时点E是和的交点，如图， ∵，为等边三角形，平分， ∴，， ∴， ∵ ∴， 解得（负值已舍去） 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，已知，点是射线上一动点，连接，作的垂直平分线，与射线交于点设，当时，线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键；分两种情况求得的长，即可求解． 解：当时， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵垂直平分，设交于点， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴ ∴ 当， 如图，过点作于点， ∴， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，线段的最大值为，最小值为 故答案为：，． 二．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质求出另一条直角边，根据勾股定理求出斜边长，计算即可． 解：设这个直角三角形的一条直角边为x， ∵有一个内角为， ∴另一个内角为， ∴另一条直角边为x， 由勾股定理得：斜边长为：， ∴这个三角形的三边长的比为：， 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键． 根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案． 解：如图， 由题意得， ， 四边形都是正方形， ，，， 正方形A、B的面积分别为25和9， ，， ， 正方形B的面积为16． 故选：D． 4．（2025·广东清远·模拟预测）如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用， 根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 解：如图， 由题意得，， ∴， ∴点A所表示的数为． 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 解：分两种情况： ①当为最大线段时， 点 、是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， 点、是线段的勾股分割点， ． 综上所述：的长为或5． 故答案为：或5． 8．（24-25八年级上·广西百色·期末）光学直角棱镜的一个重要作用就是转折光路，如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形，所在面为不透光的磨砂，，，现将一束单色光从边上的点入射，折射后到达边上的点，此时是的中点，再经过反射后，从点垂直于射出，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据直角三角形的性质，可得，可证明是等边三角形，再结合勾股定理解答即可． 解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 9．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理．由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质可求解，，再利用含角的直角三角形的性质可求解，再利用勾股定理可求解的长． 解：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 根据勾股定理． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江西新余·期末）如图所示，直角三角形两直角边，，是斜边上的高，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，正确得出的长是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求法得出答案． 解：直角三角形两直角边，， ， ， 则， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边、、的长分别是5、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、直角三角形的特征．先根据题意画出图形，再根据勾股定理，求出斜边上的中线的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 解：①如图， ∵， 又∵点是斜边的中点， ∴； ②如图， ∵， 又∵是斜边的中点， ∴， 综上可得：原直角三角形纸片的斜边长是或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在等边中，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到．若，，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、含30度直角三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理．根据等边三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，由等边三角形的性质可得，又由可得，由旋转的性质可得．过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理即可求得，进而可得．由旋转的性质可得是等边三角形，由此可得． 解：解：∵， ∴， ， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点B沿顺时针方向旋转后，得到， ∴， ，，， 是等边三角形， ， 过点作于点， 则， ， ， ， ，， ． ． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，．绕点逆时针旋转，旋转角为，点为点C的对应点． （1）请用尺规作图法画出旋转后的； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了旋转作图和性质，勾股定理，解题关键是熟练运用旋转性质和勾股定理． （1）作，即可； （2）根据勾股定理求出，由旋转可知，是等腰直角三角形，根据勾股定理可求． 解：（1）解：旋转后的如图所示； （2）∵，，， ∴， 由旋转可知，，， ． 14．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，． （1）求证：． （2）已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）直接利用证明三角形全等即可； （2）全等三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差求出的长即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，点E、F分别是和的中点，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三线合一定理，直角三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则由三线合一定理可得； （2）同理可得，则由三线合一定理可得，，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：（1）解：，理由如下： ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）在如图所示的四边形中，的长可能是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，由三角形三边关系可得出，再根据直角三角形斜边大于直角边可知，结合勾股定理即即可得出，进而可得出答案． 解：根据题意可知：， ∴， ∵中，，，且， ∴， 则， 只有8符合条件， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理和完全平方式，设直角三角形的两直角边长边为、短边为，则，根据面积得，则，由图可知，，，则计算即可． 解：设直角三角形的两直角边长边为、短边为，结合图1和图2可知， 连接,过点G作交的延长线与点M， ∵， ∴， ∴， 由图可知，，， 则 ， 故选：． 3．（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 解：由旋转得，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点是的平分线上一点，，，垂足分别为，若，则长为（　　） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质． 根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵点P是的平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（20-21八年级上·河南周口·期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 解：把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示， 作点A的对称点B， 连接PB， 则PB为所求， 根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B. 【点拨】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键. 二、填空题 7．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．利用勾股定理求出的长，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可求解． 解：∵，，， ∴， 如图，当点P在线段上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点P在线段的延长线上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或6． 故答案为：或6． 9．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含度角的直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得到，易证得是直角三角形，根据勾股定理求得，作于，得到解直角三角形即可求得． 解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 作于， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东汕头·期末）一副直角三角板如图放置，，．点在的延长线上，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了30度角的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边． 过点B作于点M，根据30度角的性质及勾股定理求出，由得到，根据30度角的性质求出，再由勾股定理求出，根据等角对等边得到，即可求出的长． 解：过点B作于点M， 在中，，，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：. 11．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，都是等边三角形，点在同一直线上，点 在同一直线上，若，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，易得均为含30度角的直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质，求出的长，作，三线合一结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 解：∵都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）如图，在中，． （1）若，则 ． （2）点D和点E是上的点且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形和特殊三角形： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将绕点旋转，得到，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可． 解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）将绕点旋转，得到，连接，如图： 则：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理． （1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等即可证明结论； （2）根据证明即可得出，代入数据可得结论． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴． 14．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． （1）如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）①；②详见分析；（2） 【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理即可求解；②证明即可； （2）过点作交于点，证明，则；在中计算出，由即可求解． 解：（1）①解：是等腰直角三角形，， ； 是的中点，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 由勾股定理得：； ②证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 是的中点，， ， ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 15．（24-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         16．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图1，在中，，．在中，，． （1）连接、，则线段和的数量关系是 ，直线和的位置关系是 ； （2）如图2，将绕点C逆时针旋转，请问：线段和的数量关系、直线和的位置关系与（1）中的结论是否一致？若一致，请给予证明；若不一致，请说明理由． （3）如图3，当点D旋转到线段的左侧且保持时，连接、，线段与交于点O，求的值．（请直接写出结果） 【答案】（1）；（2）一致，见分析；（3）20 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，判断出是解本题的关键； （1）延长交于，利用等腰直角三角形的边、角相等关系，先判断出，进而得出，再结合对顶角和三角形内角和，即可得出结论； （2）同（2）的方法即可得出结论； （3）根据勾股定理算、；再依据，结合勾股定理拓展，将转化为，即可得到结论． 解：（1）如图①，延长交于， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：，； （2）一致， 证明：如图2，延长交于， 和都是等腰直角三角形，， ∴， 又，， ， ，， ， ， ； （3），，，， ，， 由（2）知，， ， ． 【中考真题（10题）】 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，     ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 4．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可. 解：设水池里的水深为x尺，由题意得： 解得：x=12 故选：C. 【点拨】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键. 二、填空题 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出的长度． 解：在中，当，如图 ， ． ，， ， 解得或（舍去）； 在中，当， ，， ． 故答案为：2或． 6．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 7．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    8．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 10．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$