精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州 从江县庆云镇初级中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

从江县庆云中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 2. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：A． 3. 如图，为的切线，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的两锐角互余．根据切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∴在中，． 故选：A 4. 如图，是的直径，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、含角的直角三角形的性质，由是的直径可得，由，利用含角的直角三角形边的关系可得，熟练掌握圆周角定理及含角的直角三角形的性质是解题关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 5. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 7. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式计算可得． 【详解】解：，所以 的长 ． 因此，管道的展直长度约为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础． 8. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆心角与圆周角的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的对角互补求出相关圆周角的度数，再结合圆心角与圆周角的倍数关系求解． 先根据圆内接四边形对角互补，由求出的度数；再依据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到与的关系，进而求出的度数． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴（圆内接四边形的对角互补）． ∵， ∴． ∵和分别是中弧所对的圆心角和圆周角， ∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）． ∴． 故选：B． 9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据直径所对圆周角为得到，然后根据三角形面积即可求解． 【详解】在Rt△ACB中，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断． 10. 如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是 A. （2，3） B. （3，2） C. （1，3） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【详解】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 解答：解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）． 故选D． 11. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求． 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故选D 【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键． 12. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可． 【详解】解：连接OA ∵、分别与相切于点A、， ∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP， ∴∠APD=∠BPD， 在△APD和△BPD中， ， ∴△APD≌△BPD（SAS） ∴∠ADP=∠BDP， ∵OA=OD=6， ∴∠OAD=∠ADP=∠BDP， ∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 在Rt△AOP中，OP=， ∴sin∠ADB=． 故选A． 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 一个正六边形外接圆的半径等于，则这个正六边形的周长等于________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据正六边形外接圆的半径等于正六边形边长进行解答即可． 【详解】∵正六边形外接圆的半径等于正六边形边长， ∴正六边形的边长为， ∴正六边形的周长为：， 故答案为：12． 【点睛】此题考查正六边形的性质，熟记性质是解题的关键． 14. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____． 【答案】70° 【解析】 【详解】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数． 详解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D， ∴OB平分∠ABC，OD⊥BC， ∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°， ∴∠BOD=90°-∠OBD=70°． 故答案为70°． 点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆． 15. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，关键是把不规则图形面积转化为规则图形面积计算．连接，由垂径定理知垂直平分，则，则阴影部分面积等于扇形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16． 【详解】解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、， 此时OP最大 ，则AB的长度最大， ∵， ∴， ∵以点为圆心的圆与轴相切． ∴半径为3， ∴， ∵是直径， ∴， ∴长度的最大值为16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，已知弦．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦间的关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦所对的弧相等；由得，则有，从而得． 【详解】证明：， ， ． ， ． 18. 如图，在中，，，求的度数． 【答案】50° 【解析】 【分析】利用得到，再根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质． 19. 如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 【答案】正方形ABCD的边长为，边心距为． 【解析】 【分析】过点O作，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出，然后在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点O作，垂足E， ∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形，， ，        ．                                                           在中，， 由勾股定理可得 ， ， ，                   ， 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于． 20. 如图，点在，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行画图即可； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，进行画图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解决此题的关键． 21. 如图，为的直径，弦交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）5； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠A=∠D，∠C=∠ABD，从而可求证△AEC∽△DEB； （2）由垂径定理可知BE=4，设半径为r，由勾股定理可列出方程求出r． 【详解】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”， 得∠A=∠D，∠C=∠ABD， ∴△AEC∽△DEB （2）∵CD⊥AB，O为圆心， ∴BE=AB=4， 设⊙O的半径为r， ∵DE=2，则OE=r-2， 在Rt△OEB中， 由勾股定理得：OE2+EB2=OB2， 即：（r-2）2+42=r2， 解得r=5，即⊙O的半径为5 【点睛】此题考查圆的综合问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题关键在于掌握判定定理． 22. 如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． （1）求∠AFE的度数； （3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 【答案】（1）∠AFE=60°；（2）S阴影=π﹣． 【解析】 【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论； （2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 详解】（1）连接OD，OC， ∵C、D是半圆O上的三等分点， ∴ ， ∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°， ∴∠CAB=30°， ∵DE⊥AB， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°﹣30°=60°； （2）由（1）知，∠AOD=60°， ∵OA=OD，AB=4， ∴△AOD是等边三角形，OA=OD=2， ∵DE⊥AO， ∴OE=1,DE=， ∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=×2=π﹣． 23. 如图，在中，以为直径的交于点D，点E是上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （2）根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得，从而得到，然后中，根据锐角三家函数，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 24. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求车轮的半径． 【答案】（1）见解析 （2）车轮的半径为 【解析】 【分析】（1）连接．由切线的性质得，由直径对的圆周角是直角得，结合等腰三角形的性质即可证明； （2）证明，得，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图②，连接． 与相切， ， ． 为的直径， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ，， ． 答：车轮的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用圆的相关知识及相似三角形的知识是解题的关键． 25. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD． 小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明． 【答案】问题探究：见解析；结论应用：12+6；变式探究：BE+AD＝DE，理由见解析 【解析】 【分析】【问题探究】在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF，证明△DAC≌△FBC，根据全等三角形的性质得到CD＝CF，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论； 【结论运用】连接AD，在CE上截取CF＝AD，连接AF，证明△DAB≌△FAC，得到DB+DC＝2EC，根据等腰直角三角形的性质求出EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 【变式探究】在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA，证明△ADC≌△FDC，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】【问题探究】证明：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF， ∵点C为的中点， ∴＝， ∴AC＝BC， 由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC， 在△DAC和△FBC中， ， ∴△DAC≌△FBC（SAS） ∴CD＝CF，又CE⊥BD， ∴DE＝EF， ∴BE＝EF+BF＝DE+AD； 【结论运用】 ∵△ABC是⊙O的内接等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6， 连接AD，在CE上截取CF＝BD，连接AF， 由【问题探究】可知，△DAB≌△FAC， ∴BD＝CF，AD＝AF， ∵AE⊥CD， ∴DE＝EF， ∴EC＝EF+CF＝DE+BD， ∴DB+DC＝2EC， 在Rt△AEC中，∠ACE＝45°， ∴EC＝AC＝6， ∴△BCD的周长＝DB+DC+BC＝12+6； 【变式探究】 BE+AD＝DE， 理由如下：在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA， ∵点C为优弧ACB的中点， ∴＝， ∴AC＝CB，∠ADC＝∠BDC， 在△ADC和△FDC中， ， ∴△ADC≌△FDC（SAS）， ∴CA＝CF， ∵CA＝CB， ∴CF＝CB， 又∵CE⊥BD， ∴BE＝EF， ∴DE＝DF+EF＝BE+AD． . 【点睛】本题主要考查的是圆的综合题型，解题过程中涉及了圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，掌握圆周角定理、正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县庆云中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 2. 如图是记录日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 3. 如图，为的切线，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 3 5. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 6. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 7. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 5 10. 如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是 A. （2，3） B. （3，2） C. （1，3） D. （3，1） 11. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 12. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 一个正六边形外接圆的半径等于，则这个正六边形的周长等于________． 14. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____． 15. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为_________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，已知弦．求证：． 18. 如图，在中，，，求的度数． 19. 如图，正方形是半径为R圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距． 20. 如图，点在，用无刻度的直尺画图． （1）在图①中，画一个与互补的圆周角； （2）在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 21. 如图，为的直径，弦交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的半径． 22. 如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F． （1）求∠AFE度数； （3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 23. 如图，在中，以为直径的交于点D，点E是上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 24. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人叹服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求车轮的半径． 25. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD． 小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $