第2章 平面解析几何 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2 第二章高考强化 刷真题 2 1.［课标全国Ⅲ文，5分］点到直线 距离的最大值为( ) B A.1 B. C. D.2 考点1 点到直线的距离，平行直线间的距离 3 解析 点到直线的距离 . 当时, ； 当时,,当且仅当,即时等号成立.综上,点 到直 线距离的最大值为 .故选B. 考点1 点到直线的距离，平行直线间的距离 4 2.［全国乙文2023·11,5分］已知,满足,则 的最大值是( ) C A. B.4 C. D.7 考点2 圆的方程 5 解析 将圆的一般方程化为标准方程,令,则直线 与圆有 公共点,且当直线与圆相切时,取得最大或最小值.设直线与圆相切,则有 ,整理 得,解得或,所以的最大值为 ,故选C. ,所以,当且仅当 时, 取得最大值,最大值为 ,故选C. 考点2 圆的方程 6 多种解法 将圆的一般方程化为标准方程,令 , , 为参 数, 考点2 圆的方程 7 3.［全国乙文2022·15,5分］过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为 ____________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________. 或或 或 （以上任一方程或对应的一般方程均可） 考点2 圆的方程 8 解析 设点,,, ,圆过其中三点,共有四种情况: ①若圆过,,三点,则圆心在直线上,设圆心坐标为 ,则 , 解得,圆的半径为,所以圆的方程为 ； ②若圆过,,三点,则圆心在直线上,设圆心坐标为 ,则 , 解得,圆的半径为,所以圆的方程为 ； ③若圆过,,三点,由题意得线段的垂直平分线方程为,线段 的垂直平分线方程为 考点2 圆的方程 9 ,由解得 则圆心坐标为,,圆的半径为,所以圆的方程为 ； ④若圆过,,三点,由题意得线段的垂直平分线方程为,线段 的垂直平分线方程为 ,由解得 则圆心坐标为,圆的半径为,所以圆的方程为 . 考点2 圆的方程 多种解法 依题意设圆的方程为 . （1）若过,,三点,则 解得所以圆的方程为,即 ； 考点2 圆的方程 11 （2）若过,, 三点, 则 解得所以圆的方程为,即 ； 考点2 圆的方程 12 （3）若过,,三点,则 解得 所以圆的方程为 , 即 ； 考点2 圆的方程 13 （4）若过,,三点,则 解得所以圆的方程为,即 . 考点2 圆的方程 14 4.［全国甲文2022·14，5分］设点在直线上，点和均在 上，则 的方程为______________________. 考点2 圆的方程 15 解析 不妨设,,则线段的垂直平分线方程为 ,即 . 联立解得即圆心,圆的半径为 ,所以 的方程为 . 考点2 圆的方程 16 5.［北京2024·3，4分］圆的圆心到 的距离为( ) D A. B.2 C.3 D. 考点3 直线与圆的位置关系 17 解析 圆的标准方程为,圆心坐标为 ,因此圆 心到直线的距离 ,故选D. 考点3 直线与圆的位置关系 18 6.［全国甲文2024·9，5分］直线与圆交于， 两点，则 ( ) D A.4 B.5 C.8 D.10 考点3 直线与圆的位置关系 19 解析 圆化为标准方程得,所以圆心为 ,半径 .易知圆心在直线上,所以为圆的一条直径,所以 .故选D. 考点3 直线与圆的位置关系 20 7.［全国新课标Ⅰ,5分］过点与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 ( ) B A.1 B. C. D. 考点3 直线与圆的位置关系 21 解析 设圆为圆,化简得,圆心为,半径 .如图, 设 ,则 ,,易知,则 ,所以 .故选B. 考点3 直线与圆的位置关系 22 8.［全国新课标Ⅱ,5分］已知直线与交于， 两 点，写出满足“面积为”的 的一个值______________________________. 2或或或（填一个即可） 解析 由题知,的半径,圆心.设圆心到直线的距离为 ,则弦长 ,所以,解得或,所以或 . 由点到直线的距离公式可知,当时,,解得；当时, ,解 得.综上,或 . 考点3 直线与圆的位置关系 23 多种解法 由题知,的半径,圆心,圆心到直线 的 距离,所以.直线方程 可化为 ,所以直线的斜率为且过定点.因为点 在 上,设为（如图）, 所以,解得 ,所 以点的纵坐标为.代入方程,得,解得点 坐标 为或或或.因为,所以直线的斜率为或,故 或 . 考点3 直线与圆的位置关系 24 9.［全国新高考Ⅰ2022·14，5分］写出与圆和 都相切的一 条直线的方程________________________________________________________________. 或或（答对其中之一即可） 考点3 直线与圆的位置关系 25 解析 圆的圆心为,半径为1；圆的圆心为 ,半径为4. 因为 ,所以两圆外切,有3条公切线. 当公切线斜率不存在时,公切线方程为；当公切线斜率存在时,设公切线方程为 , 则解得 或所以公切线方程为或 . 综上,与两圆都相切的直线方程为或或 . 考点3 直线与圆的位置关系 26 多种解法 由图可得,两圆外切,且均与直线 相切.过两圆圆心的 直线的方程为,可得与的交点为 . 由切线定理得,两圆另一公切线过点 ,设 ,由点到直线的距离公式可得 , 解得,即 . 由于两圆外切,因此在公切点处存在公切线与 垂直,设 ,由点到直线的距离公式可得 ,解 得或（舍）,即 . 考点3 直线与圆的位置关系 27 10.［全国新课标Ⅱ，5分］已知曲线,从上任意一点向 轴作垂 线段,为垂足，则线段的中点 的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 考点4 椭圆 28 解析 设,则,线段的中点的坐标为.因为点 在曲线 上,所以.设点的坐标为,则 , ,即,代入得, ,所以 ,即点的轨迹方程为 ,故选A. 考点4 椭圆 29 11.［全国新课标Ⅱ，5分］已知椭圆的左、右焦点分别为， ，直线 与交于，两点，若面积是面积的2倍，则 ( ) C A. B. C. D. 考点4 椭圆 30 解析 设直线与轴交于点 ,直线方程与椭圆方程联立得 ,,解得.设 , 到直线的距离分别为,,由题意得,,所以 .由三 角形相似可得, , 解得或.因为,所以 ,故选C. 考点4 椭圆 31 12.［全国甲理2023·12，5分］设为坐标原点，,为椭圆的两个焦点，点在 上，，则 ( ) B A. B. C. D. 考点4 椭圆 32 解析 由题不妨设,分别为椭圆的左、右焦点,则, ,所以 ,, . 在 中,由余弦定理得 , 在 中,由余弦定理得 , 又 , 所以 , 所以 . 在 中,由余弦定理得 考点4 椭圆 33 , 解得 , 又因为,所以 , 所以,所以 .故选B. 考点4 椭圆 多种解法 因为,所以,所以 ,所以由二倍角正切公式可知 .设,则的面积,即 , 解得,则,代入椭圆方程,解得,所以 . 考点4 椭圆 35 13.［全国新高考Ⅰ2022·16，5分］已知椭圆，的上顶点为 ，两个 焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于，两点，，则 的周长 是____. 13 考点4 椭圆 36 解析 设为椭圆的左焦点.如图,连接,, .因为椭圆的离心率为 ,所以,所以椭圆的方程为,且 为等边三角形, 则直线的斜率 . 由直线垂直平分线段得,,,则 的周 长等价于 . 设,,又直线的方程为 ,与椭圆方程联立 得,则, .由弦长公式 ,得 ,即.所以 的周长为 . 考点4 椭圆 37 14.［全国甲理2024·5，5分］已知双曲线的两个焦点分别为,,点 在该双曲线上， 则该双曲线的离心率为( ) C A.4 B.3 C.2 D. 考点5 双曲线 38 解析 由题可设双曲线的方程为 . 根据已知条件可得 解得 则该双曲线的离心率 .故选C. 考点5 双曲线 39 多种解法 设该双曲线的焦距为,实轴长为,由题知 , ,则,则该双曲线的离心率 .故选C. 记,,,则,,,则 ,又该双曲线的半焦距 ,实轴长,则,则该双曲线的离心率 .故选C. 考点5 双曲线 40 15.［天津2024·8，5分］双曲线的左、右焦点分别为,，点 在双曲 线右支上，直线的斜率为2.若 是直角三角形,且面积为8，则双曲线的方程为( ) A A. B. C. D. 考点5 双曲线 41 解析 如图,由,点在双曲线右支上及 是直角三角形可得, .由直线的斜率为2,,得直线 的方程为 ,则直线的方程为 ,两方程联立解得 ,,所以点的坐标为.因为 的面积为8,所以 ,解得.所以,即 ,化简 得,解得或（舍）.所以 , 所以双曲线的方程为 ,故选A. 考点5 双曲线 42 多种解法 同上得,.由双曲线的焦点三角形面积公式及 的面积为8,得 ,所以,所以双曲线的方程为 ,故选A. 考点5 双曲线 43 16.［全国甲理2023·8,5分］已知双曲线的离心率为, 的一条渐近 线与圆交于,两点，则 ( ) D A. B. C. D. 考点5 双曲线 44 解析 因为双曲线的离心率 ,所以由 ,得,所以双曲线的渐近线方程为 .由题意知渐近线 与圆相交,圆心到直线的距离 ,所以 ,故选D. 考点5 双曲线 45 17.［全国乙理2023·11，5分］设，为双曲线 上两点，下列四个点中，可以为线段 中点的是( ) D A. B. C. D. 考点5 双曲线 46 解析 依题意可设,,的中点为,设直线的方程为 ,与双曲 线方程联立可得,则 , ,即,且.由点, 在双曲线上可得 两式作差可得,整理得 ,即 . 对于A选项,直线的斜率为,则直线的方程为,即 , ,不合题意； 考点5 双曲线 47 对于B选项,直线的斜率为,则直线的方程为,即 , ,不合题意； 对于C选项,直线的斜率为 ,不合题意； 对于D选项,直线的斜率为,则直线的方程为,即 , ,符合题意.故选D. 考点5 双曲线 18.［北京2024·13，5分］若直线与双曲线只有一个公共点，则 的一个 取值为___________. （或） 考点5 双曲线 49 解析 双曲线的渐近线方程为,直线过定点, 只有当直 线与渐近线平行时,该直线与双曲线才只有一个公共点,的取值为 （任答一个 即可得分）. 考点5 双曲线 50 19.［全国新课标Ⅰ，5分］设双曲线的左、右焦点分别为 , ,过作平行于轴的直线交于,两点.若,,则 的离心率为__. 考点5 双曲线 51 解析 因为与轴平行,所以与轴垂直,结合双曲线的对称性知 .又 ,所以,则 ,而 ,所以,所以离心率 . 考点5 双曲线 52 20.［全国新课标Ⅰ，5分］已知双曲线 的左、右焦点分别 为，.点在上，点在轴上，,，则 的离心率为____. 考点5 双曲线 53 思路导引 思路一：设点,,的坐标 根据得点的坐标 根据 得 将点的坐标代入的方程 得到关于和的等式 求出离心率 思路二：根据设,则 根据双曲线的定义及几何性质表示出 , 设 ,利用求出 利用余弦定理求得与的关系 求出离心率 考点5 双曲线 54 解析 建立如图所示的坐标系,依题意可以设,, . 由,得,.又,且 , ,则 ,所以 . 又点在双曲线上,则,整理得,将 , 代入,得,即,解得或 （舍去）,故 . 考点5 双曲线 55 多种解法 由得,设,则, .由双曲线的对称性可得 ,由双曲线的定义可得.设 ,则 ,所以 ,解得 , 所以, . 在中,由余弦定理可得,即,可得 . 考点5 双曲线 56 21.［北京2023·6,4分］已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线 的距 离为5，则 ( ) D A.7 B.6 C.5 D.4 考点6 抛物线 57 解析 因为抛物线的焦点为,准线方程为.点在上,所以到准线 的距离为 .又到直线的距离为5,所以,故 ,故选D. 考点6 抛物线 58 22.（多选）［全国新课标Ⅱ，6分］抛物线的准线为,为上动点.过 作 的一条切线，为切点.过作的垂线，垂足为 .则( ) ABD A.与相切 B.当,,三点共线时， C.当时， D.满足的点 有且仅有2个 考点6 抛物线 59 解析 , 准线为直线,圆心为 ,半径为1, 作出抛物线与如图所示.与相切,故A正确.当,, 三点共线 时,,点坐标为,, , ,故B正确.当时,点坐标为 或 .当点坐标为时,点坐标为 , ,而 , ,此时与不垂直；当点坐标为时, 点坐标为 , ,而,则,此时与 也不垂直, 故C错误.对于D,设点的横坐标为,则点坐标为或, . 当点坐标为时, ,, ,即 考点6 抛物线 60 ,化简得, 解得 , .当点坐标为时, ,同理,由 ,得 ,解得或 ,不符 合题意,因此满足的点有且仅有2个,故D正确.故选 . 考点6 抛物线 多种解法 对于D,设抛物线的焦点为,则且 . , , 满足的点在线段的垂直平分线上,设线段的中点为,,, , 则线段的垂直平分线的方程为,即,联立消去 可得,, 满足的点 有且仅有2个,D正确. 考点6 抛物线 62 23.［全国新课标Ⅰ，15分］已知和为椭圆 上两点. （1）求 的离心率； 【解】将,的坐标代入椭圆 的方程,可得 解得 则,即 , 则的离心率 . 考点7 圆锥曲线综合问题 63 （2）若过的直线交于另一点，且的面积为9,求 的方程. [答案] 由（1）可得椭圆的方程为 . 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时 ,不符合题意,故直线 的斜率存在. 方法一：设直线的方程为, , 联立消去整理得 , ,则 . 由点在上,得,即 . 考点7 圆锥曲线综合问题 64 由①②知,此时 . 所以,代入直线的方程可得 . 由,可得,直线的方程为,设点到直线的距离为 ,则 ,解得 . 由点到直线的距离公式可得 , 将, 代入上式, 解得或,当时,；当时, , 所以直线的方程为或 . 考点7 圆锥曲线综合问题 方法二：设直线的方程为,令,,联立消去 可得 , , , 所以 所以 . 又点到直线的距离 , 考点7 圆锥曲线综合问题 66 , 解得或,所以直线的方程为或 . 考点7 圆锥曲线综合问题 24.［全国甲理2023·20,12分］已知直线与抛物线交于, 两 点， . （1）求 ; 【解】联立 消去并整理得,由得 , 设,,则, , 所以 , 解得 （负值舍去）. 考点7 圆锥曲线综合问题 68 （2）设为的焦点，，为上两点，且，求 面积的最小值. [答案] 由题知,直线的斜率不为0,设直线的方程为,由（1）知,抛物线 的方程 为 , 联立消去并整理得, , 设,,则, , 所以, . 因为抛物线的焦点为,所以, , 所以 , 所以 , 所以,此时.若,则 , 考点7 圆锥曲线综合问题 69 所以,解得或 , 设点到直线的距离为,则 , 又 , 所以 , 所以当时,的面积取得最小值 . 考点7 圆锥曲线综合问题 思路导引 设直线的方程为,坐标间的关系 的取值范围 的表达式 的最小值 考点7 圆锥曲线综合问题 71 25.［全国甲理2024·20，12分］设椭圆的右焦点为,点在 上， 且 轴. （1）求 的方程； 【解】设椭圆的左焦点为,因为点的横坐标为1,且轴,所以,则 , . 因为轴,所以,所以,解得 ,所以 , 故椭圆的方程为 . 考点7 圆锥曲线综合问题 72 （2）过点的直线交于,两点，为线段的中点，直线交直线于点 .证明： 轴. 【证明】方法一：由题可得,,,所以点 . 当直线与轴不重合时,设直线的方程为,, . 由整理得,,由得 , 根据根与系数的关系可得 直线的方程为,设点的坐标为,将代入直线 的方程得 考点7 圆锥曲线综合问题 73 , 所以点的坐标为 . 因为 , 所以 . 考点7 圆锥曲线综合问题 又,所以直线与轴平行,所以 轴. 当直线与轴重合时,直线与轴重合,所以 轴. 综上, 轴. 考点7 圆锥曲线综合问题 方法二：设,,且,则即 又由 可得 ,结合上式可得 . 由,,得直线的方程为 , 因为点是直线与直线的交点,所以将点 的横坐标1代入直线 的方程得,故 轴. 方法三：设,,由,,三点共线得 ,所以 考点7 圆锥曲线综合问题 76 ,即,联立得 . 由,,得直线的方程为,因为点是直线与直线 的交点,所 以将点的横坐标1代入直线的方程得,故 轴. 考点7 圆锥曲线综合问题 26.［全国新课标Ⅱ,12分］已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为 ,离心率 为 . （1）求 的方程； 【解】因为双曲线的左焦点为,所以 . 由离心率,得 , 所以 , 所以的方程为 . 考点7 圆锥曲线综合问题 78 思路导引 由焦点坐标求出求得求出 得到双曲线 的方程 考点7 圆锥曲线综合问题 79 （2）记的左、右顶点分别为,，过点的直线与的左支交于，两点， 在第二象 限，直线与交于点，证明:点 在定直线上. 【证明】设,,直线的方程为 . 因为, , 所以直线的方程为,直线的方程为 , 联立消去得 . 联立消去整理得 , 考点7 圆锥曲线综合问题 80 则,,则,,故 . 所以 , 所以 , 所以,解得 , 所以点在定直线 上. 考点7 圆锥曲线综合问题 思路导引 设,,直线的方程为 写出直线,的方程 联立两直线方 程得点,坐标间的等量关系 联立直线与双曲线的方程,写出, 结合根与系 数的关系化简求出定直线 考点7 圆锥曲线综合问题 82 规律方法 求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时,一般需要根据题中条件,设出所需直线方程,联立直线与 圆锥曲线方程,根据根与系数的关系以及题中条件,求出动点的坐标满足的关系,从而可确定结果 （一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）. 考点7 圆锥曲线综合问题 83 2 第二章高考强化 刷原创 84 1.若直线是 与 的公切线，则实数 的值为( ) A A. B. C. D. 85 解析 已知的圆心,半径是;的圆心是 ,半径是2.由题知直线 是和的公切线,当时,直线为,此时直线与圆 不相切, 所以.由,解得 , 则 .故选A. 86 2.已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为, ， 则当最小时，, 的值为( ) C A. B. C.1 D. 87 解析 的半径是2,圆心是,切线长,根据四边形 的面积为 ,可知 . 由题易知,所以,此时 ,又 ,则,则,,所以, .故选C. 88 3.已知椭圆和双曲线有相同的焦点,，离心率分别为,，若 是两条曲 线的一个交点，且，则 的最小值为_____. 89 解析 不妨设椭圆方程为 ,双曲线的方程为 , , 设是两条曲线在第一象限内的一个交点,则有 , , 所以,.则在 中,由余弦定理知 ,整理得 , . 所以,则 ,当且仅 当,即 时等号成立. 90 4.已知抛物线上有两个不同的点,，线段的垂直平分线交轴于 点， 且的最大值为6，则 ___. 2 解析 设,,线段的中点为,易知直线 的斜率存在 且不为0. 设直线的斜率为,则 ,故 . 则.设的焦点为,连接, ,则 .又因为 的最大值为6,所以 ,则 . 91 5.已知双曲线 ,其焦点到渐近线的距离为3. （1）求双曲线 的方程; 【解】因为,所以其焦点, , 渐近线方程为 . 因为焦点到渐近线的距离为3,所以,解得（负值舍去）.则双曲线 的方程为 . 92 （2）若直线与双曲线的一支交于,两个不同的点，直线的斜率为,直线的斜率为 ,且 ，求点到直线 的距离的取值范围. [答案] 设,,由题意可知直线的斜率存在,则可设直线 的方程为 . ,则,即 ,① , . 因为直线与的一支交于,两个不同的点,所以 . 由 , 93 则 . ,则 因为点到直线的距离 . 将②代入①,结合,得,则 . 6.已知抛物线，的焦点是 . （1）若过原点作两条直线交曲线于,两点，且，求证：直线 过定点； 【证明】因为,是两直线与抛物线的交点,所以, 的斜率均存在,且不为零,故可设直线 ,则直线 . 由,,所以.同理得 . 则 , 则直线的方程为 , 所以直线过定点 . 95 （2）若过曲线上一点作两条直线交曲线于,两点，且，求 的面积的 取值范围． 【解】因为点在曲线上,所以将点的坐标代入曲线的方程可得,即 ,则 . 设,,由题意可知直线的斜率存在,则可设直线的方程为 . 则由得,则,, . 所以 , 96 得或,满足 . 而点到的距离, , 则 .所以 . 所以的面积的取值范围为 . 7.已知椭圆的左、右焦点分别是,，上顶点为 ，其长轴长是短轴 长的2倍，是上任意一点，的最大值为 . （1）求椭圆 的方程； 【解】由题意知,的最大值为 , 而,则,即,,则椭圆 的方程为 ． 98 （2）过作一直线与交于,两点，直线,与轴分别交于点,，求证： 的中点 是定点. 【证明】根据（1）知,,设,,由题意知直线 斜率存在,且不为0, 设直线的方程为 . 则由得 . 则有 , . 直线的方程为 , 则；直线的方程为,则 . 99 取的中点为 ,则有 . 即的中点是定点 . $$