第2章 第6节 双曲线及其方程 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2.6 2.6 双曲线及其方程 2 2.6 第2.6节综合训练 刷能力 3 1.［山东滨州实验中学2024高二期末］与曲线共焦点，且与双曲线 共渐近 线的双曲线的方程为( ) A A. B. C. D. 4 解析 曲线为椭圆,焦点在轴上,且 . 因为所求双曲线与双曲线共渐近线,所以设所求双曲线为 ,即 ,则,解得,所以所求双曲线方程为 .故选A. 5 二级结论 与双曲线共渐近线的双曲线方程为 . 6 2.［辽宁沈阳一二〇中学2025高二期中］设双曲线 的焦距为2，若以 点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则 的取值范围为 ( ) B A. B. C. D. 7 解析 由已知得,双曲线的渐近线方程为,由圆与渐近线相切可得,圆 的半径 ,则,则圆的半径,则 ,则 .因为,所以,即 ,则 , 所以的取值范围为 .故选B. 8 3.［重庆八中2024高二期中］如图所示，双曲线型冷却塔的外形是离心率 为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半 径为，下口半径为，高为 （数据以外壁即冷却塔外侧表面计 算），则冷却塔的最小直径为( ) C A. B. C. D. 9 解析 根据题意,作出冷却塔对应的双曲线,并建立相应的平面直角坐标系,如图所 示,设双曲线方程为 , 因为冷却塔的上口半径为,下口半径为,高为 , 所以设双曲线上的点,,且 , 将,的坐标代入双曲线方程可得 两式相减得 . 因为双曲线的离心率为3,所以,所以 , 代入①式可得,得,所以 , 10 将点的坐标代入双曲线方程可得,解得 . 所以冷却塔的最小直径为 , 故选C. 4.（多选）［湖北武汉武钢三中2025高二月考］已知双曲线 的左、右 焦点分别为,,过的直线交双曲线的右支于,两点，其中点在第一象限. 的内心 为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为 ， 则下列说法正确的有( ) ABD A.若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为2或 B.若，且，则双曲线的离心率为 C.若，，则的取值范围是 D.若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 12 解析 对于A,双曲线渐近线的夹角为 ,则或 , 故或 ,故A正确. 对于B,因为,,所以,设,则 , , . 因为,所以在中，,所以 ,解 得 . 在中，,所以,则,故 ,故B 正确. 对于C,令圆与,,的切点分别为点,, , 则,, , 13 则 , 令点,又, , 因此,解得 , 又,则点的横坐标为,同理可得,点的横坐标为 , 即直线的方程为 . 设直线的倾斜角为 ,则 , , 在中, . 在中, .由条件知双曲线的渐近线的斜率为,因为, 均在右支上,所以 ,所以 ,则 . 如图所示, ,故C 错误. 对于D, , 故,而,,故 , , , 在中，由余弦定理可知, ,解 得 , 则,故D正确.故选 . 15 二级结论 在双曲线中,点是右支上一点,则焦点三角形的内切圆圆心 在过 右顶点且与轴垂直的直线上,即 . 16 5.［江苏宿迁2025高二期中］如图①所示，双曲线具有如下光学性质：从双曲线右焦点发出的光 线经过双曲线镜面反射后，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.设 ，若双曲线 的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图②中的， 两点反射后，分 别经过点，，，，则 的值为___. 3 图① 图② 17 解析 连接,,如图所示,由,,得, , 设,,则, , 由双曲线定义得, , ,解得 , , , 在中, , 则,即,又,,解得 . 18 6.［南京大学2024强基计划］已知双曲线，分别过双曲线的左、右焦点作平行于 轴的 直线交双曲线于，，，四点,若四边形 构成正方形，则双曲线的离心率为_____. 19 解析 不妨设,,过且平行于轴的直线交双曲线于点,,其中点 在第二象限. 当时,,则,则,所以 , 所以 . 因为四边形为正方形,所以,所以,化简得,所以 , 所以,解得 . 因为,所以 . 20 $$