第2章 第2节 直线及其方程 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2.2 2.2 直线及其方程 2 2.2 第2.2节综合训练 刷能力 3 1.［辽宁多校2025高二联考］与直线垂直的直线 的倾斜角为( ) D A. B. C. D. 4 解析 设直线的倾斜角为 ,因为直线的斜率为,所以直线的斜率为 , 则.因为,所以 .故选D. 5 2.［山东泰安2025高二期中］已知直线与直线关于点对称，则 恒过的 定点为( ) C A. B. C. D. 6 解析 直线的方程可化为,由得所以直线过定点 , 点关于点的对称点为,因此直线恒过的定点为 .故选C. 7 3.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、九 点圆圆心和垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被 后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，，，则 欧拉线的方程 为( ) D A. B. C. D. 8 解析 由题可得的重心为, . 直线的斜率为,所以边上的高所在直线的斜率为2,则 边上的高所在直线的方程为 ,即 . 直线的斜率为,所以边上的高所在直线的斜率为,则 边上的高所在直线的方程为 ,即 . 联立 解得则垂心的坐标为 , 因此直线的斜率为,则直线的方程为,即 ,所以 欧拉线的方程为 .故选D. 9 归纳总结 三角形的“四心” （1）外心：垂直平分线的交点,到各顶点的距离相等； （2）内心：角平分线的交点,到各边的距离相等； （3）重心：中线的交点,重心将中线分成长度之比为 的两条线段； （4）垂心：高的交点. 10 4.［辽宁沈阳2024高二月考］设，过定点的动直线和过定点 的动直线 交于点，则 的最大值为( ) B A. B.6 C. D.12 11 思路导引 根据直线方程求出定点,的坐标,利用直线垂直的条件可证两直线垂直,再对 进行分类讨论,从而 求得 的最大值. 12 解析 对直线,当时,,则直线过定点 . 对直线,即,当时, ,则直线 过定点 . 当时,如图①,直线,直线,则交点,此时, , . 图① 13 图② 当时,如图②,直线的斜率,直线的斜率 . ,,则 是直角三角形, , ,当且仅当,即 时等号成立, . 的最大值为6.故选B. 又,且 , 14 5.（多选）［广东揭阳2024高二月考］已知直线 和直线 ，则下列说法正确的是( ) ACD A.当时， B.当时， C.直线过定点 D.当直线,平行时，两直线间的距离为 15 解析 对于A,当时,直线,直线 ,此时两直线的斜率分 别为和,所以,所以 ,故A选项正确. 对于B,当时,直线,直线 ,此时两直线重合,故B选项错误. 对于C,由直线,整理可得,故直线过定点 ,故C选项正确. 对于D,当直线,平行时,,解得或 , 当时,两直线重合,舍去；当时,直线的方程为, 的方程为 , 此时两直线间的距离,故D选项正确.故选 . 16 6.［陕西咸阳2025高二期中］两平行直线，分别过点，，它们分别绕， 旋 转，但始终保持平行，则， 之间的距离的取值范围是______. 解析 设,之间的距离为,若平行直线,分别过点, ,则 , 当且仅当,与直线垂直时,等号成立,所以,之间的距离的取值范围是 . 17 7.［江西赣州二十四校2025高二期中］过点的直线分别与轴、轴交于，两点， 为 坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则 的取值范围是___________. 18 解析 因为过点的直线分别与轴、轴交于,两点,所以直线 的斜率存在且不为0, 可设直线的方程为 , 令得,令得,则 . 因为存在4条直线使得的面积均为,所以关于的方程 有四个不同的实 数解,即,即有两个不等实根且 有两个不等实根,则有解得或.又,所以 , 故的取值范围是 . 19 8.［河南省实验中学2025高二期中］已知直线 . （1）若直线与平行，且,之间的距离为，求 的方程； 【解】由直线与平行可设直线的方程为 , 由,之间的距离为,得,解得或 , 所以直线的方程为或 . 20 （2）为上一点，点，，求取得最大值时点 的坐标. [答案] 设点关于直线的对称点为 , 则解得 即 . 而,当且仅当,, 三点共线时取等号, 直线的方程为,即 , 由解得 所以取得最大值时点的坐标为 . 21 9.（多选）［清华大学2024强基计划］已知直线，， ， ，则下列选项中正确的有( ) AB A.若，则与射线相交 B.若，则与射线 平行 C.若，则与射线垂直 D.若存在，则在 上 22 解析 若，则或 ， 即点,在直线的同侧，且直线与射线 不平行，故A正确. 若，则，即 ， 若，则，过,两点的直线与直线 的斜率都不存在，故平行； 若，则，所以，即过,两点的直线与直线平行，综上，直线 与射线 平行，故B正确. 因为，所以为,两点到直线 的距离之比， 若，则，即,两点到直线的距离相等，且在直线的两侧，但与射线 不一定垂 直，故C不正确. 若点在直线上，则有 ， 结合题设及分母不为0可知，不存在实数，使点在直线上，故D不正确.故选 . 23 $$