第1章 第1节 空间向量及其运算 综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 第1.1节综合训练 刷能力 3 1.［山东潍坊2025高二期中联考］如图，在四面体中，为棱 的中点， 点，分别满足，，则 ( ) D A. B. C. D. 4 解析 由题得 .故选D. 5 2.［辽宁名校2025高二联考］已知空间中三点，，，则以， 为 邻边的平行四边形的面积为( ) D A. B. C.7 D. 6 解析 因为,, , 所以, , 所以 , , , 所以 . 因为 ,所以 , 所以以,为邻边的平行四边形的面积为 .故选D. 7 3.［宁夏银川二中2025高二月考］如图，正四棱台 中， ,，则在 上的投影向量是( ) A A. B. C. D. 8 解析 如图,设正四棱台的高为 , 四边形,是正方形,设其中心分别为,,连接,, . 以为原点,过点垂直于的直线为轴,过点垂直于的直线为轴, 所在 直线为轴,建立空间直角坐标系,且作,垂足为 , 由勾股定理得,,所以, . 由题意得,,所以四边形 是平行四边形, 所以,,所以,所以 , 而,,所以, ,所以 , 故在上的投影向量为 .故选A. 9 4.［湖北武汉2024高二期中］已知三棱锥的体积为15， 是空间中一点， ，则三棱锥 的体积是( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 10 解析 因为,所以 , 即 , 即 , 所以 . 因为,所以由空间向量基本定理可知,在平面内存在一点 ,使得 成立,即,所以,即,则 . 又三棱锥 的体积为15, 则 .故选C. 11 5.［河南郑州外国语学校2025高二月考］在正三棱柱中，， ， ，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段 长度的最小值 为( ) D A.2 B. C. D. 12 解析 因为正三棱柱中,,所以为的中点,取 的中点 ,连接,,如图,以为原点,,,所在直线分别为,, 轴建立如图所示的 空间直角坐标系, 则,,,,因为是棱 上的动点,设 ,且,因为,且 ,所以 , 令, , 所以,,又函数在 上单调递增, 所以当时,,即线段长度的最小值为 .故选D. 13 6.［广东东莞中学2024高二段考］正四面体的棱长为，若点 是该正四面体外接球球面上 一动点，则 的最大值为( ) C A. B. C. D. 14 图① 解析 由题意,如图①所示, 设点为正四面体的外接球球心,连接,, , . 则,且 . 15 图② 当与同向时,的值最大.设,设的中点为,则 过 点,如图②所示., , ,故 ,故选C. 16 多种解法 取中点,正四面体的外接球球心为,连接 （图略）,则 ,因为 长度是 定值,故当最大时,数量积最大.显然,当在的延长线与球面的交点处时, 最大. 因为,所以 , 此时 , 则 . 棱长为的正四面体,其高为,外接球半径,内切球半径 . 17 极化恒等式 （1）根据向量的数量积运算,对任意向量, ,有 ,则在平行四边形 中, . （2）在中,若为边的中点,则 . 18 7.（多选）［山东济宁2024高二期中］已知空间中三点，， ，则下列说 法正确的是( ) ACD A. B.与 是共线向量 C.和夹角的余弦值是0 D.与同向的单位向量是 19 解析 ,,,所以 ,A选项正确; ,所以与 不共线,B选项错误; ,所以和 夹角的余弦值是0,C选项正确; 与同向的单位向量是,D选项正确.故选 . 20 8.（多选）［福建莆田一中2025高二月考］在正四棱柱中， ， 点满足，其中, ，则( ) BCD A.当时， 的面积为定值 B.当时，四棱锥 的体积为定值 C.当 时，点的轨迹长为 D.当时，的取值范围为 21 解析 以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,得,, , ,则, . 因为,所以,当时,,因为,所以点 在 线段上运动,显然点到直线的距离随着点位置的变化而变化,线段 的长 度确定,故 的面积不为定值,故A错误； 当时,,,故此时点在线段上运动,由题可知,四边形 的面积为定 值,,显然 平面, 平面,故平面,所以 到平面 的距离为定值,所以四棱锥 的体积为定值, 故B正确； 当 时,,,所以此时点的轨迹为线段 ,易知 ,故C正确； 当时,此时,因为 ,所以 .因为 ,所以 ,故D正确.故选 . 22 9.（多选）［山东临沂2024高二月考］已知单位向量，，两两的夹角均为 ，且 .若空间向量满足，则有序实数组称为向量 在“仿射” 坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作 ，则下列说法正确的有 ( ) BC A.已知 ， ，则 B.已知，，其中,,，则当且仅当时，向量， 的夹角取得 最小值 C.已知 ， ，则 D.已知，，，则三棱锥的表面积 23 解析 由定义可得 , 因为 , 且,所以,故A错误；如图所示,设,,则点在平面 上, 点在轴上,由图易知当时,取得最小值,即向量与 的夹角取得最小值, 故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得 ,故C正 确；由已知可得三棱锥为正四面体,棱长为1,其表面积 ,故D错误. 故选 . 24 10.［广西多校2025高二联考］在如图所示的平行六面体 中， 已知， ， ,为线段 上一点，且.若，则 的值为________. 解析 设,,,则{,, }构成空间的一组基底, 设,因为,所以 . 因为, , 所以,即 , 即,解得 . 25 11.［山西大学附中2025高二期中］已知空间三点,,，设 , . （1）求和的夹角 的余弦值； 【解】由点,,,得, ,所以 ,所以和的夹角 的余弦值为 . 26 （2）若向量与互相垂直，求 的值. [答案] 由（1）可得, , 因为向量与互相垂直,所以 , 整理可得,解得或,所以的值为2或 . 27 12.［山东部分学校2025高二期中联考］如图，在六棱柱 中，底面 是正六边形，设,,.若,, . 28 （1）试用向量,,表示,，并求 的值； 【解】如图，设正六边形的中心为,连接,,, , 则四边形为菱形, ,所以 , . 由,,,得 , , 所以 . 29 （2）求 . [答案] 由（1）知,, , 所以 . 30 13.已知，， ，定义一种运算： .已知四棱锥 中，底 面是一个平行四边形，，， . （1）求证： 平面 ； 【证明】, , , . 又,, 平面 , 平面 . 31 （2）根据上述定义，计算 的绝对值的值； 【解】 . 32 （3）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥 体积的关 系，并由此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义. 【解】, , ,, , , . 的绝对值是四棱锥 体积的3倍. 猜想：的绝对值的几何意义是以,, 为邻边的直四棱柱的体积. 33 $$