2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2.8 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 刷基础 2 1.［河南郑州2025高二期中］直线与椭圆 的公共点个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.无数个 题型1 直线与椭圆的位置关系 3 解析 直线和椭圆均过点, , 结合图形可知直线与椭圆 的公共点个数为2. 故选C. 题型1 直线与椭圆的位置关系 4 2.［山东威海一中2024高二模块考试］已知椭圆 的一条弦所在的直线方 程是，弦的中点坐标是，则椭圆 的离心率是( ) C A. B. C. D. 题型1 直线与椭圆的位置关系 5 解析 设弦的两个端点坐标分别为,,,则 两式作差得 . 又是弦的中点,,, , , .故选C. 题型1 直线与椭圆的位置关系 6 二级结论 （1）椭圆 的弦与“中心线”（弦中点与中心连线）的斜率之积为 . （2）椭圆 上的点与过中心的弦的端点的连线 斜率之积为 . 证明：如图,是的中位线,则 ,利用（1）中结论得 . 本题也可利用（1）中结论得,解得 . 题型1 直线与椭圆的位置关系 7 3.（多选）［辽宁部分学校2025高二期中联考］已知直线 与椭圆 交于,两点，椭圆的左、右顶点分别为,，直线与直线,及 轴分别 交于点,,， 则( ) BD A. 的周长为10 B.直线,,, 的斜率之积为定值 C.当时，线段的中点到直线的距离为 D.若，则的取值范围是 题型1 直线与椭圆的位置关系 8 解析 如图,椭圆,长轴长,短轴长 ,焦距 . 对于A,直线过椭圆的左焦点, 为右焦点, 则的周长为 ,故A错误； 对于B,设,则, , 所以,同理 , 所以直线,,,的斜率之积为 ,故B正确； 对于C,将直线与联立得 , 题型1 直线与椭圆的位置关系 9 设,则,, , 线段的中点到直线的距离为 , 当时, ,故C错误； 设,,由,,三点共线得,即 , 同理由,,三点共线得,所以 , 而,则 , 所以,又,则,故D正确.故选 . 题型1 直线与椭圆的位置关系 4.［山东临沂部分县2025高二期中联考］定义离心率 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆 是“西瓜椭圆”，则___.若“西瓜椭圆” 的左 焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则 _ ___. 9 题型1 直线与椭圆的位置关系 11 解析 椭圆 是“西瓜椭圆”, 离心率 , 解得 . 设, , 联立消去并整理得, . , , ,即 , , 题型1 直线与椭圆的位置关系 12 . 易知, 以线段为直径的圆经过点 , , . ,,又,代入上式并化简得 ,解得 . 题型1 直线与椭圆的位置关系 5. ［黑龙江佳木斯四校2024高二期中联考］已知椭圆的两个焦点分别为 , ，且椭圆过点 . （1）求椭圆 的标准方程； 【解】由椭圆的两个焦点分别为, , 则可设椭圆的标准方程为,且 , 则 . 又椭圆过点,所以,联立①②解得, , 所以椭圆的标准方程为 . 题型1 直线与椭圆的位置关系 14 （2）过点作直线交椭圆于,两点，是弦的中点，求直线 的方程. [答案] 由题意可知直线的斜率存在,且直线过点 , 则设直线的方程为,即 . 设,,联立消去 得 , , 所以, , 又是弦的中点,所以,解得 , 故直线的方程为 . 题型1 直线与椭圆的位置关系 15 链接教材 本题由教材P179第23题延伸而来,考查直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规解题思路是先把 直线方程与椭圆方程联立,消元、化简整理成一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程,解 决相关问题. 题型1 直线与椭圆的位置关系 16 6.若直线过点且与双曲线 只有一个公共点，则这样的直线有( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 题型2 直线与双曲线的位置关系 17 解析 当直线的斜率存在时,设直线 ,与双曲线方程联立并化简得 , 要使直线与双曲线只有一个公共点,需上述方程只有一根或有两个相等实根, 或 （不成立）, 解得 . 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,由双曲线的右顶点为可知,此时直线 与双曲线 也只有一个公共点. 综上,这样的直线有3条,故选C. 题型2 直线与双曲线的位置关系 18 7.［安徽部分学校2025联考］已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作 的 一条渐近线的垂线，直线与交于，两点，若的面积为，则 的离心率为( ) B A.3 B. C.2 D. 题型2 直线与双曲线的位置关系 19 解析 由题意可知,,, , 根据双曲线的对称性,不妨取一条渐近线为,则 , 联立解得 , 由对称性可知,点为线段 的中点,则 ,即,解得 ,则 ,所以的离心率 .故选B. 题型2 直线与双曲线的位置关系 20 8.［山东菏泽2025高二期中］已知椭圆和双曲线 的左、右顶点分别为 ,，过点作斜率为的直线交于另一点，交于另一点.若，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 直线与双曲线的位置关系 21 解析 如图,点,设直线的方程为 , 将其代入椭圆方程中,整理得 , , 依题意,,得 . 再将代入双曲线方程中,整理得 ,且当 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，当时，直线 与双曲线的左支有两个交点，当时，直线 与双曲线只有一个交点， 依题意,,得 , 由,可知是的中点,则, , 即,解得 ,满足题意.故选B. 题型2 直线与双曲线的位置关系 22 9.［安徽六校2025联考］倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点 ， 分别交双曲线的两条渐近线于,两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点 ，则直 线 的斜率为___. 题型2 直线与双曲线的位置关系 23 解析 如图,设的中点为,连接,两渐近线可写成,设,, , 则,且 可得 , 整理得,,即 （*）. 在中,,又直线 的倾斜角为锐角,则 , 故,即 , 将此式代入得,,解得,又直线的倾斜角为锐角,所以 , 则 . 题型2 直线与双曲线的位置关系 24 10.［湖南长沙2024高二月考］已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为 . （1）求双曲线 的方程； 【解】因为双曲线的一条渐近线与直线垂直,且直线的斜率为 ,所以 ,可得 , 所以双曲线的渐近线方程为,即 . 因为右顶点到渐近线的距离为,所以 , 解得,所以,所以双曲线的方程为 . 题型2 直线与双曲线的位置关系 25 （2）若直线与双曲线交于，两点，线段的中点为，求直线 的方程. [答案] 若直线轴,则点,关于轴对称,此时线段的中点在轴上,不符合题意,故直线 的 斜率存在. 设直线的斜率为,,,,则 两式相减可得,所以 , 化简得 . 因为线段的中点为,所以, , 所以,解得.又双曲线的渐近线方程为,直线的斜率大于渐近线 的斜率, 故过点的直线与双曲线有两个交点,所以直线的方程为 ,即 . 题型2 直线与双曲线的位置关系 26 11. 过点作斜率为的直线，与抛物线交于，两点，则弦 的长为 ( ) B A. B. C. D. 题型3 直线与抛物线的位置关系 27 解析 设,两点的坐标分别为, . 由直线的斜率为,且过点得直线的方程为,与抛物线方程 联立, 得,整理得,则, ,所以 . 题型3 直线与抛物线的位置关系 28 链接教材 本题是由教材P170例5衍生而来,基本的解题思路是将直线方程与抛物线方程联立,得到一元二次 方程,由根与系数的关系及弦长公式可得结果. 题型3 直线与抛物线的位置关系 29 12.［四川成都树德中学2025期中］设为抛物线的焦点，过且倾斜角为 的直线交 曲线 于,两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作 的准线的垂线，垂 足为，则 的值为( ) D A. B. C.2 D.3 题型3 直线与抛物线的位置关系 30 解析 由题意得,的准线方程为 , 过点且倾斜角为 的直线方程为 , 与联立得 . 设,,,则, , 故, , 故, , 故,,, , 故 .故选D. 题型3 直线与抛物线的位置关系 31 13.［江苏盐城五校2025高二期中］已知抛物线的焦点为，过点的直线与 交于 ，两点，则 的最小值为( ) A A. B.4 C. D.3 题型3 直线与抛物线的位置关系 32 解析 由抛物线的方程为,可得焦点为 , 设直线的方程为,, , 联立整理得,则, , 故 . 又, , 则 , 当且仅当,时等号成立,故的最小值为 .故选A. 题型3 直线与抛物线的位置关系 33 14.［江西九江一中2024高二期中］已知抛物线的焦点为，抛物线上一点 的 横坐标为3，且点到焦点 的距离为5. （1）求抛物线 的方程； 【解】由题意知,准线方程为 . 由抛物线定义可知点到焦点的距离即为点 到准线的距离, 所以,解得 , 所以抛物线方程为 . 题型3 直线与抛物线的位置关系 34 （2）过点作直线交抛物线于点,，求面积的最小值（其中 为坐标原点）. [答案] 由（1）知,抛物线,直线过点 , 可设直线的方程为,,,不妨设 , 联立消去得,所以,则 , 所以 ,当且仅当 ,即 时取等号, 所以 的最小值为8. 题型3 直线与抛物线的位置关系 35 二级结论 设是过抛物线焦点的一条弦,,,则, . 题型3 直线与抛物线的位置关系 36 15.［浙江温州十校2025高二期中联考］“”是“直线与双曲线 只 有一个公共点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点1 忽视交点位置的讨论而致错 37 解析 联立整理可得 , 当,即 时,方程只有 一解,即只有一个公共点； 当时,,解得 . 所以直线与双曲线只有一个公共点时,或 , 所以“”是“直线与双曲线 只有一个公共点”的充分不必要条件,故 选A. 易错点1 忽视交点位置的讨论而致错 38 易错警示 直线与双曲线只有一个交点,有两种情况,一是直线与双曲线的渐近线平行；二是直线与双曲线的 一支相切,对应的方程的根的情况不同,注意分情况讨论. 易错点1 忽视交点位置的讨论而致错 39 16.设直线，直线经过点，抛物线，已知直线，与抛物线 共有 三个交点，则满足条件的直线 的条数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 易错点2 忽视点与抛物线的位置关系而致错 40 解析 点在抛物线内部,且直线与抛物线有两个交点,设相交于,两点, 当过点 的 直线过点或过点或与轴平行时符合题意. 满足条件的直线 共有3条. 易错点2 忽视点与抛物线的位置关系而致错 41 易错警示 若忽略判定“点与抛物线的位置关系”,则易导致错解.解题时,应注意点是在抛物线上,还是在抛物 线内或者在抛物线外,根据不同的情况,判断直线与抛物线的位置关系. 易错点2 忽视点与抛物线的位置关系而致错 42 17.已知抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，则实数 的取值范围为 ___________________. 解析 设,关于直线对称, , ,即.设线段的中点为,则, . 中点在内,,解得或 . 易错点2 忽视点与抛物线的位置关系而致错 43 易错警示 由抛物线的形状易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内,若忽略条件“中点在抛物线内 部”,则难以求解. 易错点2 忽视点与抛物线的位置关系而致错 44 2.8 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 刷能力 45 1.［湖南师大附中2025月考］若无论 为何值，直线 与双曲线 总有公共点，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 46 解析 易得原点到直线的距离 ,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线 总有公共点,所以点与双曲线方程的关系为,则 .故选B. 47 2.［辽宁沈阳部分学校2025高二期中联考］已知椭圆，过点 且 斜率为的直线与相交于,两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点 的距离的 最小值为( ) B A.6 B. C. D. 48 解析 设,,,则, , 两式作差得,即,即 . 因为点恰好是的中点,所以, , 又因为直线的斜率为 , 将它们代入①式得,解得 , 又,所以,则 , 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为 .故选B. 49 3.如图，圆和抛物线，过 的直线与抛物线和圆依次交 于，，，四点，则 的值是( ) A A.1 B.2 C.3 D.无法确定 50 解析 由题意知点既是圆 的圆心又是抛物线的焦点. 若直线的斜率不存在,则直线方程为,代入抛物线方程和圆的方程,可直接得到,,, 四个点 的坐标分别为,,,,所以,,从而 . 若直线的斜率存在,可设为,又直线过点,则直线方程为 . 不妨设,,由抛物线的定义得, . 把直线方程与抛物线方程联立,消去可得 , ,由一元二次方程根与系数的关系得 . 因为,所以, ,所以 综上, ,故选A. 51 4.［山东新泰一中2024高二月考］不过原点的直线 与双曲线 交于,两点，为的中点，为坐标原点.若直线的斜率小于 ， 则双曲线 的离心率的取值范围为( ) B A. B. C. D. 52 解析 设点,,,则有, , 两式作差得,即 , 设,则有,,又, , 代入整理得,即 . 由题意知 , 因为,所以,即 , 又,所以 , 解得,即,则 . 故选B. 53 二级结论 如图,已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线相交于,两点,点为 的 中点,为原点,则 . 若直线与双曲线的两条渐近线相交于, 两点,其他条件不变,结论依然成立. 54 5.（多选）［江西临川一中2025高二期中］已知双曲线 的离心率 ，的右支上的点到其右焦点的最短距离为 ，则( ) AB A.双曲线的焦点坐标为 B.双曲线的渐近线方程为 C.点在双曲线 上 D.直线与双曲线 恒有两个交点 55 解析 对于A,B选项,由题意知,解得 所以双曲线方程为 , 所以双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为 ,故A正确,B正确； 对于C选项,因为,所以点 不在双曲线上,故C错误； 对于D选项,由整理得,所以直线恒过点 , 又因为 , 所以当 时,直线分别与双曲线的两条渐近线平行,此时直线与双曲线只有一个交点,故D错 误.故选 . 56 6.（多选）［山西运城2025高二期中］已知椭圆且为常数 的左、右两个焦 点分别为和，动直线经过椭圆的左焦点与椭圆交于，两点，且 的最大值为 7， 为坐标原点，则下列说法正确的是( ) BC A. B.椭圆的离心率 C. D.若，则 57 解析 如图,易知,由椭圆的定义可知 , 因为的最大值为7,所以的最小值为 . 当轴,即为通径时,最小,所以,则 , 解得 （负值舍去）,故A错误； 可得椭圆方程为,易知,所以离心率 ,故B正确； 当为长轴时,最大,此时,所以 ,故C正确； 58 因为,易知直线的斜率不为0,所以可设直线的方程为,, , 联立整理可得, , 因此, , 若,可得,即 , 即,则 , 整理得,解得 , 则,故D错误.故选 . 7.（多选）已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于， 两点， 为坐标原点，则以下说法正确的是( ) ABD A.为定值 B.线段中点的轨迹方程为 C.的最小值为16 D.点在以 为直径的圆外 60 解析 由题意可知,所以,则抛物线方程.易得直线的斜率不为0,则可设直线 的方程为,,,所以得, ,所以 , . 对于A, ,故选项A正确； 对于B,设线段的中点为 , 则有 , 61 ,所以满足 ,故选项B正确； 对于C,,当且仅当,即直线垂直 轴时取等号,故选项C错误； 对于D,,则在以 为直径的圆外,所以 选项D正确. 故选 . 8.已知，为椭圆上两个不同的点，为右焦点，.若线段 的垂直平 分线交轴于点，则 __. 63 解析 取椭圆方程为,,直线方程为 （椭圆右准 线）,椭圆上一点,右焦点,设点到直线的距离为 , 则 , 所以 . 64 因为本题中椭圆的离心率,设, , 则由上述焦半径公式得,得 , 即线段的中点为 . 设.由得线段垂直平分线的斜率为 . 根据点,在椭圆上,则有,,作差化简得,则线段 的 垂直平分线方程为,代入 得 ,即,则 . 9.已知平面上两点和，若直线上存在点使得 ，则称该直线为 “单曲型直线”.下列直线:；；； ,其中是“单曲型直 线”的是______.（填序号） ①② 66 解析 因为,所以点在以,为焦点的双曲线的右支上,即点 的轨迹方程为 .根据题意得,“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点,下面依次联立方程,消 去 ,判断所得方程有无正根即可. 对于①,联立得,因为 ,且 ,所以直线 是“单曲型直线”. 对于②,联立得,所以直线 是“单曲型直线”. 67 对于③,联立整理得,显然不成立,所以直线 不是“单曲型直线”. 对于④,联立得,因为 ,所以直线 不是“单曲型直线”.综上,是“单曲型直线”的有①②. 10.［山东临沂部分学校2025高二联考］已知抛物线的准线为，点在 上， 且点到直线的距离与其到 轴的距离都等于2. （1）求 的方程； 【解】由题意可知,准线的方程为 , 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知,, , 因为点在 上, 所以 , 整理得,解得 , 故的方程为 . 69 （2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于,两点，若的面积为3，求直线 的斜率. [答案] 由（1）可知, ,则 , 由题意可知,直线的斜率不为0,设其方程为,, , 由消去整理得 , 则,可得, , 所以 . 又因为 的面积为3, 则 , 即,解得 , 故直线的斜率为 . 70 11.［福建莆田2024高二期中］已知为坐标原点，是圆 上任意一点，点 ，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； 【解】由题意可得, , 则点的轨迹为以, 为焦点的双曲线. 设的方程为,则,,即, , 所以 , 所以曲线的方程为 ． 71 （2）设直线与曲线恰有一个公共点（在轴右侧），且与直线分别交于， 两点， 求的面积 的最小值． [答案] 易知直线的斜率不为0,则可设,代入曲线 的 方程得 , 由已知得且 , 即 . 将,代入得 , 设,,则, , 易知直线与轴的交点为 , 则 . 由得,即且,则当时, 有最小值且最小值为 ． 72 12.［辽宁沈阳五校2025期中联考］已知椭圆， ， 分别为椭圆的左顶点和右焦点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于 ， 两点，且，当直线轴时， . 73 （1）求椭圆 的标准方程； 【解】设椭圆右焦点,,则 , 由,得 , 当直线轴时,,两点横坐标为,将代入椭圆方程中,解得 ,所以 , 联立①②③解得,, , 则椭圆的标准方程为 . 74 （2）设直线，的斜率分别为，，且，求直线 的方程； [答案] 已知直线不与轴垂直,可设的方程为 , 联立椭圆方程,消去并整理得 . 设,,显然 , 所以由一元二次方程根与系数的关系可得 所以 , 即,化简可得,即 , 所以直线的方程为 . 75 （3）设直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求 的最小值. [答案] 依题意直线 的斜率存在且不为0, 设直线的方程为, ,则直线的方程为 . 联立直线与椭圆的方程并化简可得 , 由,可得 . 联立直线与椭圆的方程可得,即 . 则 , 当且仅当,即时取等号,故的最小值为 . 76 13.（多选）［清华大学2024强基计划］过抛物线的焦点的直线与抛物线交于 , 两点，直线过点且与抛物线在点处的切线平行，交抛物线于另一点，交 轴于点 ，则下列选项中正确的有( ) BCD A. B. C.面积的最小值为16 D. 77 思路导引 对于A，求出点处的切线方程，从而可求出直线 的方程，与抛物线方程联立后化简，再利用根 与系数的关系判断.对于B，由直线的方程可表示出点的坐标，由直线过点 ，再结合抛物线 的定义分析判断.对于C，表示出点到直线的距离，表示出弦长，从而可得 面积的表 达式，化简并结合基本不等式分析判断.对于D，由 化简判断. 78 解析 对于A，抛物线在点处的切线方程为 ，斜率为 ， 直线的方程为，代入 中，并化简得 ，该方程的解为， ，由根与系数的关系 可知 ，A选项错误. 对于B，设，代入可解得 ， ， 直线 的方程为 ，化简得，直线 过 点 ， 79 ，，又， ， ，B选项正确. 对于C，直线的方程可化为 ， 即，则 ,由点到直线的距 离公式可得点到直线的距离 , 的面积 ， 当且仅当 时取等号，C选项正确. 对于D，，D选项正确.故选 . 二级结论 （1）抛物线上一点处的切线方程为 ; （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程为 . 82 14.［全国中学生奥林匹克竞赛2024内蒙古初赛］已知是原点，椭圆，直线 过点 且与椭圆交于，两点，则 面积的最大值为____. 83 解析 由题意可知,直线 与椭圆必相交,且斜率不为0, 设直线,, , 联立消去得,因为直线 所过定点 在椭圆内部,所以直线 与椭圆必有两交点, 则, , 可得 , 则面积 , 令,则 , 84 可得 , 因为在上单调递增,所以 , 所以,当且仅当,即 时等号成立, 所以面积的最大值为 . $$