2.3.2 圆的一般方程-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2.3 2.3 圆及其方程 2 2.3 2.3.2 圆的一般方程 刷基础 3 1.［天津河东区2025高二月考］圆 的圆心和半径分别是( ) D A.；1 B.； C.；1 D.； 题型1 圆的一般方程的理解 4 解析 将该圆的方程化为标准方程为,所以圆心为,半径为 .故选D. 题型1 圆的一般方程的理解 5 2.［湖北武汉华中师大一附中2024高二期中］“ ”是“方程 表示圆”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 圆的一般方程的理解 6 解析 若表示圆,则,解得或 , 因此由可以推出 表示圆,满足充分性, 由表示圆不能推出 ,不满足必要性, 所以“”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.故选A. 题型1 圆的一般方程的理解 7 3.（多选）［云南玉溪一中2025高二月考］关于方程 表示的圆，下列叙 述中正确的是( ) AC A.圆心在直线上 B.圆心在 轴上 C.过原点 D.半径为 题型1 圆的一般方程的理解 8 解析 若方程表示圆,则其标准方程为 ,所以 ,可得,圆心为,半径为 . 对于A选项,圆心在直线 上,A正确； 对于B选项,因为,所以圆心不可能在 轴上,B错误； 对于C选项,因为 ,则该圆过原点,C正确； 对于D选项,该圆的半径,D错误.故选 . 题型1 圆的一般方程的理解 9 4.［山东济南2025高二月考］曲线 的周长为( ) B A. B. C. D. 题型1 圆的一般方程的理解 10 思路导引 曲线方程中有绝对值,首先要去掉绝对值符号,分,;,;,;, 四种情况写出曲线方程,再作出曲线,求出周长. 题型1 圆的一般方程的理解 11 解析 曲线 作出曲线如图所示,该图是以,,,四个点为圆心,半径为 的四个半圆,所以该曲线的周长为 .故选B. 题型1 圆的一般方程的理解 12 5.［河北承德2025高二期中］已知，，，则 的外接圆方程为( ) D A. B. C. D. 题型2 求圆的一般方程 13 解析 设的外接圆方程为 , 因为,, , 所以 解得,, , 所以的外接圆方程为 .故选D. 题型2 求圆的一般方程 14 6.［山东聊城2024高二期中］与圆同圆心，且过点 的圆的方程 是( ) B A. B. C. D. 题型2 求圆的一般方程 15 解析 设所求圆的方程为,由该圆过点,得 ,所以所求圆的 方程为 .故选B. 题型2 求圆的一般方程 16 7.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆 的方程为( ) C A. B. C. D. 题型2 求圆的一般方程 17 解析 线段的中点坐标为,直线的斜率,则线段 的垂直平分线的方程为 ,即 . 由解得所以圆的圆心为,半径 ,所以 圆的方程为,即 .故选C. 题型2 求圆的一般方程 18 8.［四川成都2024高二期中］已知三个顶点的坐标分别是，， ，则 外接圆的方程是_ _____________________________________________. 或 题型2 求圆的一般方程 19 解析 设的外接圆方程为,其中 . 由题意得 解得满足 , 所以外接圆的方程为 . 题型2 求圆的一般方程 20 多种解法 依题意,直线的斜率,直线的斜率,则,即 . 因此的外接圆是以线段为直径的圆.线段的中点为,半径 ,所以 外接圆的方程是 . 题型2 求圆的一般方程 21 9.圆关于直线对称的圆 的一般方程为_________________ ____. 题型2 求圆的一般方程 22 解析 由,得,即,半径为1,设点 关于直线 的对称点为,可得解得即,故圆 的标准方程为 ,则圆的一般方程为 . 题型2 求圆的一般方程 23 10.在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点， 经过这三个交点的圆记为 .求： （1）实数 的取值范围. 【解】由题得 即且,故实数的取值范围为 . （2）圆 的方程. [答案] 设圆的方程为,令,得 , , . 令,得,把代入,得,即 . 圆的方程为 . 题型2 求圆的一般方程 24 （3）问圆是否经过某定点（其坐标与 无关）？请证明你的结论. [答案] 由题意,可得对任意的 恒成立, 即 或 故圆经过定点和 . 题型2 求圆的一般方程 25 11.［辽宁沈阳2025高二期末］若点在圆的外部，则实数 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 点与圆的位置关系 26 解析 由方程表示圆,则,又点 在圆外,则 ,即解得 ,故选C. 题型3 点与圆的位置关系 27 12.［广东茂名2025高二期中］若为圆上任意一点，点 ，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型3 点与圆的位置关系 28 解析 将圆 化为标准方程,得 , 故圆的圆心为,半径 . 因为,所以点在圆 的内部, 且,所以 的取值范围为 . 故选C. 题型3 点与圆的位置关系 29 归纳总结 此类题一般都是转化为点到圆心的距离处理,加半径为最大值,减半径为最小值.已 知圆及圆外一定点,设圆的半径为,则圆上点到点 距离的最小值为 ,最大值为,为线段与圆的交点,为 延长线 与圆的交点. 题型3 点与圆的位置关系 30 13.（多选）［山东德州实验中学2024高二期中］已知圆的标准方程为 ， 则下列说法正确的是( ) ABC A.圆的圆心为 B.点 在圆内 C.圆的半径为5 D.点 在圆内 题型3 点与圆的位置关系 31 解析 圆的圆心为 ,半径为5,故A,C正确； 由,得点 在圆内,故B正确； 由,得点在圆外,故D错误.故选 . 题型3 点与圆的位置关系 32 14.［安徽阜阳2025高二期中］已知圆 上所有点都在第二象限， 则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型3 点与圆的位置关系 33 解析 由,得 ,所以圆心坐标为 ,半径为3, 因为圆 上所有点都在第二象限, 所以解得 ,故选A. 题型3 点与圆的位置关系 34 15.一束光线从点出发，经轴反射到圆 上的最短距离为 ( ) A A. B. C. D. 题型4 与圆有关的最值问题 35 解析 由题意，圆的标准方程为，所以圆的圆心坐标为 ，半径 ，又点关于轴的对称点为，所以 ， 所以所求最短距离为 .故选A. 题型4 与圆有关的最值问题 36 16.［山西运城2024高二月考］圆 关于直线 对称，则 的最小值是( ) A A. B. C.4 D. 题型4 与圆有关的最值问题 37 解析 由可得标准方程为,即圆心为 , 因为该圆关于直线对称,则直线经过圆心,即 ,整理得 ,则 , 当且仅当,即 时,等号成立, 所以的最小值是 .故选A． 题型4 与圆有关的最值问题 38 17.已知点是圆上一点，则 的取值范围是______. 解析 由,得,所以圆心 ,半径为1. 表示圆上的点到直线的距离的2倍,因为圆心 到直线 的距离为,所以圆上的点到直线 的距离的最小值为1, 最大值为3,所以的最小值为2,最大值为6,所以的取值范围为 . 题型4 与圆有关的最值问题 39 18.平面上一动点满足：且,，则动点 的轨迹方程为( ) C A. B. C. D. 题型5 与圆有关的动点的轨迹方程 40 解析 设,由,所以,整理得 , 即动点的轨迹方程为 . 题型5 与圆有关的动点的轨迹方程 41 19.点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点 的轨迹 方程为( ) A A. B. C. D. 题型5 与圆有关的动点的轨迹方程 42 解析 设线段的中点的坐标为,则,因为点在圆 上运动,所以 ,整理得,即点的轨迹方程是 .故选A. 题型5 与圆有关的动点的轨迹方程 43 20.已知实数，满足，则 的最大值为____. 36 解析 整理为,圆心坐标为 ,半径为1,故 可以看作圆上一点与点距离的平方,则最大值为圆心与点 的 距离加上半径后的平方,故的最大值为 . 题型5 与圆有关的动点的轨迹方程 44 21.［河南南阳一中2024高二月考］若过点可作圆 的两 条切线，则实数 的取值范围为_ ________________. 解析 圆的圆心为,半径,方程表示圆,则,即 . 由于过点可作圆的两条切线,所以点在圆外,即 ,解得 或,综上,实数的取值范围为 . 易错点 忽略方程表示圆的条件致误 45 易错警示 用圆的一般方程表示圆容易忽略表示圆的条件,从而导致错误. 易错点 忽略方程表示圆的条件致误 46 22.已知某曲线上的点到定点与到定点的距离的比值为 ，求此曲线的方程， 并判断曲线的形状. 【解】设点是所求曲线上任意一点,由题意得 ,化简得 ,当,即或时, , 所以 . 因为 , 所以方程表示以为圆心,为半径的圆.当 时,原方 程可化为,即表示线段 的垂直平分线. 易错点 忽略方程表示圆的条件致误 47 易错警示 解答本题时容易忽略验证 而丢分.解决此类问题时,要注意方程 表示圆的隐含条件 . 易错点 忽略方程表示圆的条件致误 48 $$