1.2.5 空间中的距离-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.5 空间中的距离 刷基础 3 1.在空间直角坐标系中，已知两点， ，则这两点间的距离为( ) C A. B. C. D.18 题型1 空间中两点之间的距离 4 解析 已知在空间直角坐标系中,, ,则这两点间的距离 .故选C. 题型1 空间中两点之间的距离 5 2.如图所示，在平行四边形中，， ，将它沿对 角线折起，使直线与成 角，则, 间的距离等于( ) C A. B.1 C.或2 D.1或 题型1 空间中两点之间的距离 6 解析 ,,同理, . 又与成 角,, 或, . ,,,或, 或 ,故选C. 题型1 空间中两点之间的距离 7 3.正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2,,分别是异面直线和 上的任 意一点，则, 间距离的最小值为__. 题型1 空间中两点之间的距离 8 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则,,, ,所 以,, . 设且 即令,则,,所以,所以异面直线和 的 距离,所以,间距离的最小值为 . 题型1 空间中两点之间的距离 9 规律方法 求异面直线距离的方法 先求两异面直线的公共法向量,再求两异面直线上任意两点的连接线段在公共法向量上的射影长. 公共法向量可以利用向量数量积找到,设两异面直线上任意两点所连成的向量为,且, 的夹角 为 ,则异面直线的距离 . 该公式可以这样理解:设异面直线 和,其中是公垂线,,是两条直线上任意的两点.明显地,, ,根据射影的 定义可知,是的射影,而 就是异面直线的距离. 题型1 空间中两点之间的距离 10 4.［辽宁大连2025高二月考］已知点，直线过原点且平行于，则点到 的距 离为( ) A A. B.1 C. D. 题型2 点到直线的距离 11 解析 取,又,所以,则点到 的距离为 .故选A. 题型2 点到直线的距离 12 5. ［江苏无锡2025高二期中］在棱长为1的正方体中，为平面 的中心，为的中点，则点到直线 的距离为( ) A A. B. C. D. 题型2 点到直线的距离 13 解析 以为原点,以,,所在直线分别为,, 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系,由题意可知,,,,所以 , , 所以点到直线的距离为 ,故选A. 题型2 点到直线的距离 14 链接教材 本题是教材第56页例2的变式.点到直线 的距离：连接点和线上一点,假设连的是 点,则 为与的夹角,其中 , 或,其中是点在 上的投 影点,,为直线 的单位向量. 题型2 点到直线的距离 15 6.［湖北部分名校2025高二期中］已知点，平面，其中 ， 则点到平面 的距离是( ) C A. B.2 C. D.3 题型3 点到平面的距离 16 解析 由平面,得是平面 的法向量,点在平面 内, ,所以点到平面 的距离是 .故选C. 题型3 点到平面的距离 17 7.［云南2025高二联考］已知点，，，，则三棱锥 的体 积是( ) B A. B. C. D. 题型3 点到平面的距离 18 解析 由题可得,,, , 则,所以的面积 . 设平面的法向量为,则可取,所以点 到平面 的距离,则三棱锥的体积是 .故选B. 题型3 点到平面的距离 19 8.已知平面 的一个法向量，点在平面 内，若点到 的距 离为，则 ( ) C A.16 B. C.4或 D. 或16 题型3 点到平面的距离 20 解析 由点在平面 内,点,可得 . 因为平面 的一个法向量,且点到 的距离为,所以 ,即 ,解得或 .故选C. 题型3 点到平面的距离 21 9.如图，在长方体中，， ，求： 题型3 点到平面的距离 22 （1）点到直线 的距离； 【解】如图，以点为坐标原点,,,的方向分别为,, 轴的正方向 建立空间直角坐标系. 因为,,则,,, , ,,所以,,所以在 上的投影向量的模为 , 又,所以点到直线 的距离 . 题型3 点到平面的距离 23 （2）点到平面 的距离； [答案] 由（1）知,, . 设平面的法向量 , 则所以取,可得,,所以 是平面 的一个法向量.向量在法向量 上的投影向量的模为 ,所以点到平面的距离为 . 题型3 点到平面的距离 24 （3）异面直线, 之间的距离. [答案] 由（1）知,,所以 . 又 平面, 平面,所以平面,所以异面直线, 之间的距离 与点到平面的距离相等,设平面的法向量,因为 ,则 所以取,可得,,所以是平面 的一个法向 量,向量在法向量上的投影向量的模为 , 所以点到平面的距离为,故异面直线,之间的距离为 . 题型3 点到平面的距离 25 $$