1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 刷基础 3 1.在空间直角坐标系中，点，，为线段的中点，则点 的位置向量的 坐标是( ) B A. B. C. D. 题型1 概念的理解 4 解析 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得点的坐标为,则点的位置向量 的坐标 为 .故选B. 题型1 概念的理解 5 2. ［山东枣庄2025高二期末］若，在直线上，则直线 的一个方向向量 是( ) B A. B. C. D. 题型1 概念的理解 6 解析 因为,,所以.因为,在直线上,所以与 共线的向量都是 直线的方向向量,A,C,D选项经验证与 均不共线.故选B. 题型1 概念的理解 7 链接教材 本题是教材第37页练习A第1题的变式.如果,是直线上两个不同的点，则 和与其共线的非零 向量都是直线 的方向向量. 题型1 概念的理解 8 3.［河南省实验中学2025高二期中］在空间直角坐标系中，直线过点且以 为方向向量，为直线上的任意一点，则点 的坐标满足的关系式是( ) C A. B. C. D. 题型1 概念的理解 9 解析 依题意,, ,则,所以点 的坐标满足的关系式是 .故选C. 题型1 概念的理解 10 4.一质点从出发，做匀速直线运动，每秒的速度为 ，2秒后质点所处的位置为 ( ) A A. B. C. D. 题型1 概念的理解 11 解析 2秒后质点所处的位置为 . 题型1 概念的理解 12 5.已知点，，为线段上一点且，则点 的坐标为 ( ) C A. B. C. D. 题型1 概念的理解 13 解析 设,为线段上一点且, ,即 ,,, . 题型1 概念的理解 14 6.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与 的位 置关系是( ) B A.异面 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 题型2 利用直线的方向向量解决线线平行问题 15 解析 由,,, , 得,,则,即 , 而,显然向量,不共线,即点不在直线 上, 所以直线与 平行.故选B. 题型2 利用直线的方向向量解决线线平行问题 16 7.［安徽六安一中2024月考］已知直线的方向向量为，直线 的方向向量为 ，若，则实数 的值为___. 2 解析 因为,所以,则,解得 . 题型2 利用直线的方向向量解决线线平行问题 17 8.已知为坐标原点，在四面体中，，，，直线，并且 交坐标平面于点，则点 的坐标为________. 解析 平面, 设,则, . 直线, , 存在,使得 , , 即 点的坐标为 . 题型2 利用直线的方向向量解决线线平行问题 18 9.［山东菏泽2025高二期末］已知，，且，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 19 解析 因为,所以,解得 .故选B. 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 20 10.［辽宁重点中学2024高二联考］两条直线,的方向向量分别为, ， 则这两条直线( ) D A.平行 B.垂直 C.异面 D.相交或异面 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 21 解析 因为,,所以,故直线, 不 垂直. 又,故直线, 不平行,所以两条直线相交或异面.故选D. 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 22 11.已知点,,的坐标分别为,,，点的坐标为.若 ， ，则点 的坐标为__________. 解析 ,,,由 得解得 . 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 23 12.如图，在直三棱柱中，，，， . （1）求证： . 【证明】在直三棱柱中,,,,,,, 两两垂 直,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,则 , ,,,, . , , . 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 24 （2）在线段上是否存在点，使得 ? 【解】假设在线段上存在点,使得 . 设,其中,则,于是 . ,且 , ,解得 . 在线段上存在点,使得,且这时点与点 重合. 题型3 利用直线的方向向量解决线线垂直问题 25 13.［湖北武汉华师大一附中2024高二期末］已知两条异面直线的方向向量分别是 , ，则这两条异面直线所成的角 满足( ) B A. B. C. D. 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 26 解析 两条异面直线的方向向量分别是, , , , , 又两条异面直线所成的角为 ,则, ,则 .故选B. 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 27 14.［山东烟台2025高二期中］在正四棱柱中，，，， 分别是 ，，的中点，则直线与 所成角的余弦值为( ) D A. B. C. D. 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 28 解析 如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标 系, 设,,则,,,,,,则 , , 故,,故直线与 所成角 的余弦值为 .故选D. 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 29 15.［重庆七校2025高一期末联考］《九章算术》中，将底面为长方形且一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马.在阳马中，若 平面，且，异面直线 与 所成角的余弦值为，则 ( ) B A. B.4 C.2 D.3 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 30 解析 由题意知,,两两垂直,所以以为坐标原点,,, 所在直线分 别为,, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设,因为,所以,,, , 所以,.设异面直线与所成角为 , 则,解得,即 .故选B. 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 31 16.（多选）已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边 所在直线 与，都垂直，斜边以直线 为旋转轴旋转，则( ) ACD A.直线与所成角的最小值为 B.直线与所成角的最大值为 C.当直线与的夹角为时，与的夹角为 D.当直线与的夹角为时，与的夹角为 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 32 解析 思路导引 由题意知,,, 三条直线两两相互垂直,可借助熟悉的正方体进行研究,令长和宽 所在直线分别为,,为高,设正方体棱长为1,则,.斜边以直线为旋转轴,则 点保持不变,点的运动轨迹是以为圆心,1为半径的圆,以为坐标原点,所在直线为轴, 所在 直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.因为点的轨迹是圆,且满足 ,可用 三角换元法,设点在运动过程中的坐标为, ,利用空间向量法表示出异 面直线所成角,结合 ,逐项检验,判断正确的选项. 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 33 由题意知,,, 三条直线两两相互垂直,画出图形如图. 不妨设图中所示正方体的棱长为1,故,,斜边以直线为旋转轴,则 点保持不变, 点的运动轨迹是以 为圆心,1为半径的圆. 以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,则 ,,直线的单位方向向量,,直线的单位方向向量 , .设点在运动过程中的坐标为,其中 为以为始边,点 为旋转中心 逆时针旋转的角,则 , 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 34 ,,设与所成的角为 ,则, ,则 ,,, 正确,B错误. 设与所成的角为 ,则,, ,当与 的夹角为,即时, . ,,,,,,此时直线与 的 夹角为 ,故C正确. 当与的夹角为,即时, ,, , ,,,,此时直线与的夹角为,故D正确.故选 . 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 17.［辽宁沈阳2024高二月考］已知异面直线，的方向向量分别为 ， ，则， 的夹角大小为__. 解析 因为,故,所以,故,的夹角大小为 . 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 36 18.［上海浦东2025高二期中］如图，在三棱柱中，侧面 ， 均为正方形，， ，点是棱 的中点.求异 面直线与 所成角的大小. 【解】因为, , 所以 为等腰直角三角形, 故在三棱柱中, 为等腰直角三角形, 又是棱的中点,则 . 因为侧面,均为正方形,即, , 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 37 又,, 平面,所以 平面,又 , 所以以为原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,所以, , 设异面直线与所成的角为 ,则 . 因为,所以,即异面直线与所成的角为 . 题型4 利用直线的方向向量求两直线所成的角 38 19.已知两条空间直线，的夹角为 ，，分别为直线，的方向向量，则， ______ _______. 或 解析 由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知,, 或 . 易错点 忽视向量角与空间角的范围及关系而致错 39 20.已知两异面直线和的方向向量分别为和，若，，则与 所成角的大 小为_____. 解析 由题可知,,,由异面直线夹角的范围可得与所成角的大小为 . 易错点 忽视向量角与空间角的范围及关系而致错 40 易错警示 （1）异面直线所成角的取值范围是,,而空间任意两个向量的夹角 的取值范围是 ,特别 地,当时,两向量同向共线；当 时,两向量反向共线.所以若,则,或 ；当 , 时,两向量垂直,记作 . （2）利用向量的数量积求异面直线所成的角时,要注意求得的向量的夹角与异面直线所成角的区 别,向量的夹角是锐角或直角时,就是异面直线所成的角；向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直 线所成的角. 易错点 忽视向量角与空间角的范围及关系而致错 41 $$