1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 刷基础 3 1. ［山西阳泉一中2024高二期中］在长方体中，, , ，则 ( ) B A. B. C. D. 题型1 空间中向量的坐标 4 解析 因为,,,所以,所以 ,故选B. 链接教材 本题是教材第26页练习A第9题的变式与延伸，考查空间中向量的坐标表示：空间向量在空间中 的坐标，等于表示这个向量的有向线段终点坐标减去始点的坐标. 题型1 空间中向量的坐标 5 2.［浙江嘉兴高级中学2024高二调研］已知{，，}是空间的一组基底，，， }是空 间的另一组基底.若向量在基底{，，}下的坐标为，则向量在基底{， ， }下的坐标是( ) D A. B. C. D. 题型1 空间中向量的坐标 6 解析 向量在基底{,,}下的坐标为, . 设向量在基底{,,}下的坐标是 ,则 ,解得即 .故选D. 题型1 空间中向量的坐标 7 3.［湖北孝感2025高二期中］已知,，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 空间向量运算的坐标表示 8 解析 .故选B. 题型2 空间向量运算的坐标表示 9 4.［山东泰安一中2024高二月考］已知空间直角坐标系中，, , ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 题型2 空间向量运算的坐标表示 10 解析 因为点在直线上运动,所以,设,于是有 . 因为,,所以, , 因此, , 于是得 , 则当时,,此时点,,,所以当取得最小值时,点的坐标为 . 故选C. 题型2 空间向量运算的坐标表示 11 5.［辽宁抚顺2025高二月考］已知三个向量,,共面，则 ( ) C A. B. C. D. 题型2 空间向量运算的坐标表示 12 解析 因为,,共面,所以可设.又,, , 则,则解得 ,故选C. 题型2 空间向量运算的坐标表示 13 6.已知点,，为线段上一点，且，则点 的坐标为_________. 题型2 空间向量运算的坐标表示 14 解析 设,则, , 由题意得 , 则解得 所以 . 题型2 空间向量运算的坐标表示 15 7.［安徽六安2025高二期中］已知，，且，则 ( ) B A. B. C.6 D. 题型3 空间向量的模与夹角 16 解析 ,,且 , ,解得 , , .故选B. 题型3 空间向量的模与夹角 17 8.［黑龙江齐齐哈尔2024高二期中］已知空间中有三点,, ，则向量 与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 题型3 空间向量的模与夹角 18 解析 由已知可得,,所以, .又 ,,所以, ．故选C. 题型3 空间向量的模与夹角 19 9.［北京第三十五中学2024高二期中］在空间直角坐标系中，已知 ， ，其中，则 的最大值为( ) D A.3 B. C. D.4 题型3 空间向量的模与夹角 20 解析 因为,,所以,且 , 其中点 可以看作球心在原点,半径为1的球面上的点,所以 表示球面上的点到点 的距离,最大值为球心到点 的距离再加上球的半径,即 .故选D. 题型3 空间向量的模与夹角 21 10.［山东济宁2025高二质检］已知向量，，则向量在向量 上的投影向 量的坐标为( ) D A. B. C. D. 题型3 空间向量的模与夹角 22 解析 依题意,向量在向量上的投影向量为 ,所以投影向 量的坐标为 .故选D. 题型3 空间向量的模与夹角 23 11.［福建福州八县2025高二期中联考］已知，，且与 的夹角为 钝角，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 空间向量的模与夹角 24 解析 由题意可知, ,又当 ,即时,,共线,, .故选A. 题型3 空间向量的模与夹角 25 特别注意 由与的夹角为钝角可得且与 不共线,注意不要忽略两个向量反向共线的情况. 题型3 空间向量的模与夹角 26 12.［山西省实验中学2024高二期中］若，， 三点共线，则 ( ) A A.4 B. C.1 D.0 题型4 空间向量的平行与垂直 27 解析 因为,,,,三点共线,所以,解得 ．故 ．故选A. 题型4 空间向量的平行与垂直 28 13.［陕西咸阳2025高二期中］已知，，且与垂直，则 的 值为( ) C A. B. C. D. 题型4 空间向量的平行与垂直 29 解析 由与 垂直, 可得 , 又,,则,, , 代入式,可得,解得 . 故选C. 题型4 空间向量的平行与垂直 30 14.已知向量，，且 . （1）求 的值； 【解】,所以,解得 . 题型4 空间向量的平行与垂直 31 （2）若与互相垂直，求实数 的值. [答案] 当时, , , 因为与互相垂直,所以,解得 . 当时, , . 因为与互相垂直,所以,解得 . 综上, . 题型4 空间向量的平行与垂直 32 15.在空间直角坐标系 中，下列说法正确的是( ) D A.向量的坐标与点的坐标相同 B.向量的坐标与点 的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量 的坐标相同 题型5 空间直角坐标系 33 解析 因为点,不一定为坐标原点,所以选项A,B,C都不正确.因为 ,所以选项D正确. 题型5 空间直角坐标系 34 16.已知，，则线段 的中点在空间直角坐标系中的位置是( ) C A.在轴上 B.在平面内 C.在平面内 D.在 平面内 题型5 空间直角坐标系 35 解析 ,, 线段的中点为 线段中点的纵坐标为0, 该点在 平面内.故选C. 题型5 空间直角坐标系 36 17.如图,在三棱柱中，侧面 是边长为2的菱形， ，交于点， 侧面，且 为等腰直 角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点 的坐标为___________. 题型5 空间直角坐标系 37 解析 如图,过作 平面,垂足为,连接,, ,则 ,,, . ,, . ,, 点的坐标为 . 题型5 空间直角坐标系 38 18.［辽宁朝阳2025高二期末］已知点，则点关于 轴的对称点的坐标为( ) A A. B. C. D. 解析 由题意可知,点关于轴的对称点的坐标为 .故选A. 题型6 空间中的对称点问题 39 规律方法 空间中的点关于坐标轴对称的点的坐标的特点：对称坐标轴对应的坐标不变,其余符号改变. 题型6 空间中的对称点问题 40 19.［辽宁沈阳二中2024高二段考］在空间直角坐标系中，点关于 平面的对称点的 坐标为________. 解析 点关于平面的对称点的坐标为 . 题型6 空间中的对称点问题 41 20.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体 ，则 的中点到的中点 的距离为( ) B A. B. C.2 D.1 题型7 空间向量坐标的应用 42 解析 由题知,,的中点,,,的中点 , 的中点到的中点的距离为 . 故选B. 题型7 空间向量坐标的应用 43 21.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与 的位 置关系是( ) B A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 题型7 空间向量坐标的应用 44 解析 因为,,,,所以, ,可 得,所以,即直线与 的位置关系是平行,故选B． 题型7 空间向量坐标的应用 45 22.（多选）［广东中山2024高二期末］在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( ) BCD A.点关于坐标平面的对称点的坐标为 B.点在平面 上 C.表示一个与坐标平面 平行的平面 D.坐标平面与坐标轴 轴垂直 题型7 空间向量坐标的应用 46 解析 对于A,点关于坐标平面的对称点的坐标为 ,A错误； 对于B,点的纵坐标为0,则点在平面 上,B正确； 对于C,,则横、纵坐标为任意值,所以表示一个与坐标平面 平行的平面,C正确； 对于D,因为轴、轴均与轴垂直,且轴、轴交于点,则坐标平面与坐标轴 轴垂直,D正确. 故选 . 题型7 空间向量坐标的应用 47 23.［安徽江淮名校2025高二期中］在空间直角坐标系中，已知, ，则 “”是“与 的夹角为锐角”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点 忽视夹角的特殊情况而致错 48 解析 若与的夹角为锐角,则有,,即 且不等于1,解得 且.因为是 的真子集, 所以“”是“与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 易错点 忽视夹角的特殊情况而致错 49 易错警示 当两个向量的夹角为锐角时,其数量积大于0；但当两个向量的数量积大于0时,两个向量的夹角可 能为0.所以解决此类问题时,注意排除同向共线的情况. 易错点 忽视夹角的特殊情况而致错 50 $$