1.1.1 空间向量及其运算-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教B版）

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.1.1 1.1.1 空间向量及其运算 2 1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算 刷基础 3 1.［山东青岛2025高二月考］下列关于空间向量的说法中正确的是( ) D A.单位向量都相等 B.若，则， 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足，则 D.相等向量其方向必相同 题型1 空间向量概念的理解 4 解析 对于A,单位向量长度相等,方向不确定,故A错误； 对于B,只能说明, 的长度相等而方向不确定,故B错误； 对于C,向量作为矢量不能比较大小,故C错误； 对于D,相等向量的方向相同且长度相等,故D正确.故选D. 题型1 空间向量概念的理解 5 2.［河南商丘2025高二月考］给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有 ； ③若空间向量,,满足,，则 ； ④若,则与 方向相同或相反. 其中假命题的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 空间向量概念的理解 6 解析 对于①,根据空间向量的定义,空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,它们的终点构 成一个球面,故①为假命题； 对于②,根据正方体的性质,上、下底面的对角线长必定相等,结合向量的方向,所以 ,故② 为真命题； 对于③,根据向量相等的定义,明显成立,故③为真命题； 对于④,当,时,,但不能说与 的方向相同或相反,故④为假命题.故选B. 题型1 空间向量概念的理解 7 名师点拨 （1）空间向量的表示方法,以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量相同. （2）凡涉及空间中两个向量的问题,平面向量中有关结论仍然适用于它们. （3）空间向量是具有大小与方向的量,两个空间向量只有相等与不相等之分,而无大小之分. 题型1 空间向量概念的理解 8 3.［山东日照部分学校2025高二期末联考］在长方体中， ( ) B A. B. C. D. 题型2 向量的加法、减法运算 9 解析 .故选B. 题型2 向量的加法、减法运算 10 名师点拨 空间向量是向量从二维到三维的推广,学习空间向量可以类比平面向量,在空间中,向量加法的平行 四边形法则、三角形法则,以及相关的运算律仍然存在. 题型2 向量的加法、减法运算 11 4.［内蒙古呼和浩特2025高二期中］在空间四边形中，下列表达式化简结果与 相等的是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 向量的加法、减法运算 12 解析 对于A, ,A错误； 对于B, ,B错误； 对于C, ,C正确； 对于D, ,D错误.故选C. 题型2 向量的加法、减法运算 13 名师点拨 向量加法满足平行四边形法则（起点相同,作平行四边形,对角线为和向量）和三角形法则 （首尾相接,以最初的起点为起点,最后的终点为终点的向量为和向量）. 向量减法：起点相同,终点相连,方向指向被减向量. 题型2 向量的加法、减法运算 14 5.已知有四边形，为空间任意一点，且，则四边形 是( ) A A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 题型2 向量的加法、减法运算 15 解析 , ,且 , 四边形 为平行四边形. 题型2 向量的加法、减法运算 16 6.在棱长为1的正方体中， ( ) B A.1 B. C. D.2 题型2 向量的加法、减法运算 17 解析 .故选B. 题型2 向量的加法、减法运算 18 7. ［广东江门2024高二期中］如图，已知平行六面体 ，化简下列各式： （1） ； 【解】因为,,所以 ． 题型2 向量的加法、减法运算 19 （2） ． [答案] 因为,所以 ． 题型2 向量的加法、减法运算 20 链接教材 本题与教材第6页例1类似,考查空间向量的加减运算,在任意的空间几何体中,向量的减法都可以转 化为加法,向量的加法可以根据三角形法则（首尾顺次相连）得到. 题型2 向量的加法、减法运算 21 8.［湖北随州2025高二联考］如图，在平行六面体中， 与 的交点为点，，，，则下列向量中与 相等的向 量是( ) C A. B. C. D. 题型3 数乘概念的理解及运算 22 解析 因为 , , 所以 ,故选C. 题型3 数乘概念的理解及运算 23 9.［河南南阳一中2024高二月考］如图，在三棱柱中，, 分别 是,的中点，为的重心，则 ( ) A A. B. C. D. 题型3 数乘概念的理解及运算 24 解析 由题意可得 .故选A. 题型3 数乘概念的理解及运算 25 规律方法 三角形的重心 为三角形三条中线的交点,同时也是中线的三等分点. 题型3 数乘概念的理解及运算 26 10.［辽宁大连2025高二段考］如图，在四面体中，, , ，点在上，且满足，点为的中点，则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 数乘概念的理解及运算 27 解析 由题意得, , 又,, , .故选B. 题型3 数乘概念的理解及运算 28 11.如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱 的中 点，点在线段上，且.用向量，，表示 . 【解】 ,所以 . 题型3 数乘概念的理解及运算 29 归纳总结 对空间向量进行线性运算时,要尽可能地使空间向量转化为平行四边形或三角形中的向量,运用向 量加法的平行四边形法则、三角形法则,以及利用三角形的中位线、相似三角形、线段的比例等平 面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行运算. 题型3 数乘概念的理解及运算 30 12.［福建莆田2024高二月考］已知不共线向量，，， ， ， ，则一定共线的三个点是( ) D A.,, B.,, C.,, D.,, 题型4 三点共线的判定 31 解析 若,则存在唯一实数使得,即 , 所以无解,所以,不共线,则,, 三点不共线; 若,则存在唯一实数使得,即 , 所以无解,所以,不共线,则,, 三点不共线; ,若,则存在唯一实数使得 ,即 ,所以无解,所以,不共线,则,, 三 点不共线;,所以,又点 为两向量的公共端点,所以 ,, 三点共线.故选D. 题型4 三点共线的判定 32 13.［湖南永州2025高二月考］下列条件中，能说明空间中不重合的三点，， 共线的是( ) C A. B. C. D. 题型4 三点共线的判定 33 解析 对于A,对于空间中的任意向量,都有,不能说明,, 三点共线,故A错误；对于 B,若,则,则,即, 两点重合,故B错误；对于C,若 ,则,,三点共线,故C正确；对于D,,则线段的长度与线段 的长度相 等,但不一定有,, 三点共线,故D错误.故选C. 题型4 三点共线的判定 34 14.给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则 ； ③四边形是平行四边形的充要条件是 ； ④对于任意向量，，必有 . 其中正确命题的序号为______. ③④ 易错点 向量概念理解错误 35 解析 对于①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误； 对于②,向量是不能比较大小的,故②错误；③④正确. 易错点 向量概念理解错误 36 易错警示 易错把向量类同于数量,导致错误的结论. 易错点 向量概念理解错误 37 15.对于空间中的非零向量,, ，有下列各式： ① ； ② ； ③ ； ④ . 其中一定不成立的是____.（填序号） ② 易错点 向量概念理解错误 38 解析 根据空间向量的加、减运算法则可知,对于①, 恒成立； 对于③,当,,方向相同时,有 ； 对于④,当,方向相同且与,方向相反时,有 . 只有②一定不成立. 易错点 向量概念理解错误 39 易错警示 易忽略向量共线时的特殊情形. 易错点 向量概念理解错误 40 1.1.1 课时2 空间向量的数量积 刷基础 41 1.［江西宜春2024高二月考］已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直.若 ， ，则 的值为( ) C A.7 B. C.28 D.11 题型1 数量积的概念及运算律 42 解析 向量,,是一组单位向量,且两两垂直,所以且 .因为 ,,所以 .故选C. 题型1 数量积的概念及运算律 43 2.（多选）已知， 为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有( ) AD A. B. C. D. 题型1 数量积的概念及运算律 44 解析 由数量积的性质和运算律可知 是正确的. 对于B,,向量无除法运算,故B错误；对于C, , ,,故C错误.故选 . 题型1 数量积的概念及运算律 45 关键点拨 数量积的运算律：；； .不满足 乘法消去律和乘法结合律. 题型1 数量积的概念及运算律 46 3.（多选）［河南洛阳2025高二月考］已知正方体 的棱长为1，则( ) AB A. B. C. D. 题型2 求向量的数量积 47 解析 对A,由图可知, ,A正确； 对B, ,B正确； 对C, ,C错误； 对D,因为 侧面, 平面,所以,即 , D错误.故选 . 题型2 求向量的数量积 48 4.［四川眉山2025高二期中］棱长为1的正四面体中，点是 的中点， 则 ( ) A A. B. C. D. 题型2 求向量的数量积 49 解析 因为,所以 , 又,,所以 .故选A. 题型2 求向量的数量积 50 特别注意 在数量积问题中,求解的关键是正确确定向量的夹角,一定要把两个向量的起点平移到同一位置上. 题型2 求向量的数量积 51 5.如图所示，在空间四边形中，，且，则 ， 的值为( ) B A. B.0 C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 52 解析 在空间四边形中,,, , , , .故选B. 题型3 向量的夹角及其应用 53 6.［山东泰安一中2025高二月考］已知空间向量,,满足, ， 则与 的夹角为( ) C A. B. C. D. 题型3 向量的夹角及其应用 54 解析 设与的夹角为 .由,得 ,两边平方得 ,所以,解得.又,所以 . 故选C. 题型3 向量的夹角及其应用 55 7.［广东五校2025高二联考］已知长方体 ，下列向量的数量积一定不为0的是 ( ) C A. B. C. D. 题型4 向量垂直 56 解析 当长方体为正方体时,根据正方体的性质可知,, , ,所以,, . 根据长方体的性质可知,所以与不垂直,即 一定不为0.故选C. 题型4 向量垂直 57 8.［贵州贵阳2025高二月考］在正四棱锥中，，为 的中 点，.若，则 ( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 题型4 向量垂直 58 解析 由于,且是正四棱锥,故 ,且侧面均为等边三角形,则 ,故,则 .故选C. 题型4 向量垂直 59 9.［湖南株洲二中2025高二期末］在正四棱台中，， ， ，则 ( ) A A. B.2 C. D. 题型5 利用数量积求向量的模 60 解析 如图,在正四棱台中,过点向作垂线,垂足为点 , 则 , 所以 , 所以 , 即 .故选A. 题型5 利用数量积求向量的模 61 10. ［辽宁部分名校2025高二联考］如图，在平行六面体中，以顶点 为端点的三条棱的长度都为2，且 . 题型5 利用数量积求向量的模 62 （1）求 的长度； 【解】设,,,由题意可知,,,,, ,由空 间向量数量积的定义可得 , ,则 ,故,故的长度为 . 题型5 利用数量积求向量的模 63 （2）求直线与直线 所成角的余弦值. [答案] 由题知 ,则 , ,则,故直线 与直线 所成角的余弦值为0. 题型5 利用数量积求向量的模 64 链接教材 本题是教材第11页练习第3题的变式与延伸.空间中的线段长度问题，可以用已知模和夹角的向量 来表示，再根据求向量的模的公式和数量积运算规律求模. 题型5 利用数量积求向量的模 65 1.1.1 课时2 空间向量的数量积 刷提升 66 1.［山东淄博2025高二月考］在正方体 中，有下列说法： ；；与的夹角为 . 其中说法正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 67 解析 由题意知,,则 ,又知 , ,则,故①②正确.因为与的夹角即为与 的夹角,即为 ,故③不正确. 68 2.［山东临沂2025高二期中］已知空间向量，，，，且与垂直，则与 的夹角为( ) D A. B. C. D. 69 解析 与垂直,, , ,,, . , ,, . 70 3.在三棱锥中，，则 是( ) C A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 71 解析 , , , ,即 , 是等腰三角形.故选C. 72 4.［广西多校2025高二联考］如图，边长为4的正方形是圆柱 的轴截 面，为上底面圆内一点，则 的最小值为( ) D A.6 B.8 C.10 D.12 73 解析 ,当 且仅当与重合时,等号成立,故 的最小值为12.故选D. 74 5.（多选）［重庆2025高二月考］在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ，，且，和 构成右手系，即三个向量的 方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示； 的模 ,.在正方体 中，有以下四个结论， 其中正确的有( ) ABD A. B.与 共线 C. D. 与正方体表面积的数值相等 75 解析 对于A,设正方体的棱长为1,在正方体中,, , 则, . 因为,且 ,所以, , 所以, , 所以 ,所以A正确； 对于B,如图,连接,,,,, 平面 ,所以 平面,因为 平面,所以,同理可证 , 再由右手系知,与 同向,所以B正确； 对于C,由,和构成右手系知,与 方向相反, 76 又由模的定义知,,,,所以 ,则 ,所以C错误； 对于D,设正方体的棱长为, ,正方体表面 积为,所以D正确.故选 . 6.［浙江部分学校2025高二期中联考］已知正四面体的棱长为2，点，分别为棱， 的中点，点，分别为线段，上的动点，且满足，则线段 长度的最小值为_ ___. 78 解析 因为在正四面体中,点,分别为棱, 的中点, 所以.因为点,分别为线段,上的动点,且满足 , 令,,则 , 所以 . 又, , , , 故 79 , 当时, . 7.［湖北十堰2024高二期中］如图，已知正方体的棱长为4，，， 分别是 棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若, ． （1）求点 的轨迹围成图形的面积； 81 【解】因为,所以点在平面 上,如图,分别取 ,,的中点,,,连接,,,,,,, . 因为,分别为,的中点,所以 . 又由正方体可得,, , , 所以,且,故四边形为平行四边形,故 . 故,故,,,四点共面,同理可证,,,四点共面,同理可证,,, 四点共面, 故,,,,,六点共面,由正方体的对称性可得六边形 为正六边形, 故点的轨迹是正六边形 . 因为正方体的棱长为4,所以正六边形的边长为 , 所以点的轨迹围成图形的面积是 ． 82 （2）求 的最大值． [答案] 如图,根据向量数量积的几何意义可得, 当点位于点时, 最大,故 , 所以 的最大值为12． 83 8.（多选）［清华大学2024强基计划］正四面体中，棱长为，点满足 ， 则 的( ) BC A.最小值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最大值为 84 解析 如图，设的中点为 ， 连接,则，即 . 又，所以 ， 即点在以 为球心，以1为半径的球面上. 因为，所以 . 由正四面体的棱长为，得 ， 所以 . 设, ，则 . 又，所以，即的最大值为 ，最 小值为.故选 . 85 $$