第3章 专题5 求离心率的值或取值范围-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 5 专题5 求离心率的值或取值范围 刷难关 2 1.[山东泰安2025高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为，， 上 两动点，均位于轴上方，且，若与的交点在轴上，且纵坐标为 ，则椭圆 的离心率为( ) B A. B. C. D. 题型1 求离心率的值 3 解析 如图，由于，与的交点在 轴上，结合椭圆的对称性， 故,,设，代入中，得 ， 解得，故 . 设与的交点为，则 . 显然,则,将,代入上式,得，化简得 ， 即 .故选B. 题型1 求离心率的值 4 2.[河南南阳2025高二月考] 双曲线的左、右焦点分别为,，直线 过且与双曲线右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线 的离心 率为( ) D A. B. C.2 D. 题型1 求离心率的值 5 解析 如图. 由题意得，故 ， 由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得 ， 化简得，又，所以 ， 方程两边同时除以，得，解得，所以离心率 .故选D. 题型1 求离心率的值 6 3.已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为 的直线交双曲线右 支于点，且满足为原点 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( ) A A. B.2 C. D. 题型1 求离心率的值 7 解析 设双曲线的右焦点为,连接，如图所示.在双曲线的右支上， . 双曲线的左焦点，且为等腰三角形， ， ， , . 又 ， 为等边三角形，则 ， ， . 在中，，,可得 ， ,即,则 . 题型1 求离心率的值 8 多种解法 如图所示，过点作轴于点 . 题型1 求离心率的值 9 双曲线的左焦点，且为等腰三角形， ， ， ， . 在中，，，则 . 点在双曲线 上， ,化简得 , ,即,等式两边同除以 ，得 . 令，即,解得,即 , , .故选A. 题型1 求离心率的值 10 4.[安徽多校2025高二联考] 已知椭圆的右焦点为，过点 且斜率为1的 直线与交于,两点，若为坐标原点，则 的离心率为( ) D A. B. C. D. 题型1 求离心率的值 11 解析 设椭圆的半焦距为,，则直线的方程为 ， 设,，由 得，因为点在的内部，所以, , . 又，所以 ， 将代入，可得, ， 再将,代入，可得，又，所以 ， 故的离心率 .故选D. 题型1 求离心率的值 12 5.已知椭圆和双曲线的焦点相同，, 分 别为左、右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若 轴，则椭圆和双曲线的离心率之 积为___. 1 题型1 求离心率的值 13 解析 设，由题可知， . 因为轴，所以 ， 所以椭圆和双曲线的离心率之积为 . 题型1 求离心率的值 14 6.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点 是椭圆上一点， ， ，则椭圆离心率的取值可能为( ) AB A. B. C. D. 题型2 求离心率的取值范围 15 思路导引 题型2 求离心率的取值范围 16 解析 设，，由椭圆的定义可得，可设 ，则 ，即有.由得， ， 即 . 由可得，令，可得 ， ，，，即有 , ，解得 . 故选 . 题型2 求离心率的取值范围 17 7.[江苏常州多校2025高二期中] 设双曲线的右焦点为，双曲线 上 的两点，关于原点对称，且满足，，则双曲线 的离心率的取 值范围是( ) A A. B. C. D. 题型2 求离心率的取值范围 18 解析 如图，设双曲线的左焦点为，连接, ,由双曲线的对称性可知， 四边形 为平行四边形， 又，所以，所以平行四边形 为矩形，故 . 设，，则 ， 在中，，，所以，则 ， 所以，令，得 ， 又由，得 ， 因为对勾函数在上单调递增，所以 ， 题型2 求离心率的取值范围 19 所以，即，则，故 ， 所以，所以双曲线 的离心率的取值范围是 .故选A. 题型2 求离心率的取值范围 8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为 的 直线与双曲线的右支交于， 两点，则该双曲线的离心率的取值范围为______. 题型2 求离心率的取值范围 21 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由于过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，则 ，因此 ，又，所以该双曲线的离心率的取值范围为 . 题型2 求离心率的取值范围 22 9.[福建福州四中2025高二段考] 设,为椭圆与双曲线的公共焦点，, 分别为左、右焦 点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线 的 离心率，则椭圆 离心率的取值范围是_______. 题型2 求离心率的取值范围 23 思路导引 由题意结合椭圆与双曲线的定义分别表示出, 的长度，再根据题中椭圆和双 曲线有公共焦点的关系，结合离心率的定义得到椭圆与双曲线离心率之间的关系式，从而求出椭 圆离心率的取值范围. 题型2 求离心率的取值范围 24 解析 如图，设椭圆的方程为 ，双曲线的方程为 ，椭圆和双曲线的半焦距为 ， 设,，由题意可得 ， 由椭圆的定义，可得，由双曲线的定义，可得，解得 . 设椭圆的离心率为，,，因为，两边同除以,得，即有 ， 由，则，可得，则 . 题型2 求离心率的取值范围 25 规律方法 求离心率的常用方法 （1）构造,的齐次式，解出 根据题设条件，借助,,之间的关系，构造,的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的一 元方程，从而解得离心率 . 比如专题5中的第3题的多种解法、第9题. （2）通过求定点坐标——根据点在曲线上求解离心率 标准方程是圆锥曲线的量化体现之一，点 在圆锥曲线上，除了满足圆锥曲线的定义外,其 坐标也应满足曲线的方程,因此用,,刻画点 的坐标后,将其代入曲线方程也是解决离心率问题的 有效途径之一. 比如专题5中的第1题. 题型2 求离心率的取值范围 26 （3）利用圆锥曲线定义求离心率. 比如专题5中的第2题、第3题. （4）利用平面几何的性质 很多离心率问题是以平面图形为载体出现的，平面图形背后有一些隐含的性质，比如三角形面积 的等价转化，三角形两边之和大于第三边，垂线段最短等. 比如专题5中的第4题、第5题. （5）以 为函数式，利用配方、换元等方法求函数的值域，也是求离心率常用的方法. 比如专题5中的第6题、第7题. 题型2 求离心率的取值范围 $$