1.1.1 空间向量及其线性运算-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（人教A版）

数学 选择性必修 第一册 RJA 1 1.1 1.1 空间向量及其运算 2 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算 刷基础 3 1.[山东青岛2025高二月考] 下列关于空间向量的说法正确的是( ) D A.单位向量都相等 B.若，则， 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足，则 D.相等向量方向必相同 题型1 空间向量概念的理解 4 解析 对于A，单位向量长度相 等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明， 的长度相等，但方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同且长度相等，故D正确.故选D. 题型1 空间向量概念的理解 5 2.[河南商丘2025高二月考] 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有 ； ③若空间向量,,满足,，则 ； ④若,则与 方向相同或相反. 其中假命题的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 空间向量概念的理解 6 解析 对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，它们的终 点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据正方体的性质，上、下底面的对角线长必定相等， 结合向量的方向，所以 ，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，可得③为真命题； 对于④，当,时，，但不能说与 的方向相同或相反，故④为假命题.故选B. 题型1 空间向量概念的理解 7 名师点拨 （1）空间向量的表示方法，以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平 面向量相同. （2）凡涉及空间中两个向量的问题，平面向量中有关结论仍然适用于它们. （3）空间向量是具有大小与方向的量，两个空间向量只有相等与不相等之分，而无大小之分. 题型1 空间向量概念的理解 8 高中必刷题 主讲老师 3.[湖北武汉2025高二期中] 在长方体中， ( ) B A. B. C. D. 解析 .故选B. 题型2 向量的加法、减法运算 10 名师点拨 空间向量是向量从二维到三维的推广，学习空间向量可以类比平面向量，在空间中， 向量加法的平行四边形法则、三角形法则，以及相关的运算律仍然存在. 题型2 向量的加法、减法运算 11 高中必刷题 主讲老师 4. [广东深圳2025高二期中] 在空间四边形中，下列表达式化简结果与 相等的是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 向量的加法、减法运算 13 解析 对于A， ，A错误； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D， ，D错误.故选C. 题型2 向量的加法、减法运算 14 链接教材 本题与教材第5页练习第4题类似，考查空间向量的加、减运算.向量加法满足平行四边 形法则（起点相同，作平行四边形，对角线为和向量）和三角形法则（首尾相接，以最初的起点 为起点，最后的终点为终点的向量为和向量）. 向量减法：起点相同，终点相连，方向指向被减向量. 题型2 向量的加法、减法运算 15 5.已知四边形，为空间中任意一点，且，则四边形 是( ) A A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 题型2 向量的加法、减法运算 16 解析 ， ,且， 四边形 为平行四边形.故选A. 题型2 向量的加法、减法运算 17 6.在棱长为1的正方体中， ( ) B A.1 B. C. D.2 题型2 向量的加法、减法运算 18 解析 .故选B. 题型2 向量的加法、减法运算 19 7.[福建厦门2025高二月考] 如图，在平行六面体中，与 的交点为点，，，，则下列向量中与 相等的向量是 ( ) C A. B. C. D. 题型3 数乘概念的理解及运算 20 解析 因为 ， ， 所以 ，故选C. 题型3 数乘概念的理解及运算 21 名师点拨 对空间向量进行线性运算时，要尽可能地使空间向量转化为平行四边形或三角形中的 向量，运用向量加法的平行四边形法则、三角形法则，利用三角形的中位线、相似三角形等平面 几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行运算. 题型3 数乘概念的理解及运算 22 8.[河南南阳一中2024高二月考] 如图，在三棱柱中，, 分别是 ,的中点，为的重心，则 ( ) A A. B. C. D. 题型3 数乘概念的理解及运算 23 解析 由题意可得 .故选A. 规律方法 的重心 为三角形三条中线的交点，同时也是中线的三等分点. 题型3 数乘概念的理解及运算 24 9.[湖南衡阳2025高二期中] 如图，在四面体中，,, ， 点在上，且满足，点为的中点，则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 数乘概念的理解及运算 25 解析 由题意得， ， 又,, ， .故选B. 题型3 数乘概念的理解及运算 26 10.在下列命题中： ①若空间向量,共线，则空间向量, 所在的直线平行； ②若空间向量,所在的直线为异面直线，则空间向量, 一定不共面； ③若三个空间向量,,两两共面，则向量,, 共面； ④若空间向量,共线，则，，， 四点不一定共面. 其中真命题的个数是( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 题型4 向量共线、共面的判定及应用 27 解析 对于①，若空间向量,共线，则空间向量, 所在的直线可能平行，也可能重合，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，故两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是共面的，但三个向量不一定共面，例如正方体 中，,, 两两共面，但显然三个向量不共面，故③错误； 对于④，若空间向量,共线，则，，， 四点不一定共线，但一定共面，故④错误. 故选A. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 28 规律方法 （1）向量是自由的，可以平移，因此相等向量并不意味着起点和终点一定分别重合. （2）两个点一定共线，三个点一定共面，若要三个点共线，则以其中任意两个点为起止点的两 个向量共线. （3）因为向量可以平移，所以两个向量一定共面.若四个点共面，则以其中任意两个点为起止点 的所有向量共面. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 29 11.[江西吉安2025高二月考] 已知不共线向量，，， ， ， ，则一定共线的三个点是( ) D A.,, B.,, C.,, D.,, 题型4 向量共线、共面的判定及应用 30 解析 若，则存在唯一实数使得，即 ， 所以无解，所以,不共线，则,, 三点不共线; 若，则存在唯一实数使得，即 ， 所以无解，所以,不共线，则,, 三点不共线; ，若，则存在唯一实数使得 ，即 ，所以无解，所以,不共线，则 , ,三点不共线;，所以，又点 为两向量的公共 点，所以,, 三点共线.故选D. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 31 12.（多选）[安徽合肥2025高二联考] 已知点，，不共线，对空间任意一点 ，下列等式 中，，，， 四点一定共面的是 ( ) BD A. B. C. D. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 32 解析 由共面向量定理和四点共面结论判断选项：系数和，所以,，, 四点不一定共面，故A错误；B选项：由，得 ，则系数和 为1，所以,,,四点共面，故B正确；C选项：整理得，系数和为 ， 所以,,,四点不一定共面，故C错误；D选项：，则，， 三个向 量共面，所以,,,四点共面，故D正确.故选 . 题型4 向量共线、共面的判定及应用 33 规律方法 （1）证明点共线的方法：证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 , ,三点共线，即证明,共线，即证明 . （2）证明点共面的方法：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如证明,,, 四点共面， 即证明或对空间任一点，有 . 题型4 向量共线、共面的判定及应用 34 13.[浙江温州十校2025高二联考] 已知点在确定的平面内，是平面 外任意一点，满 足，且，，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 35 解析 , 因为,,,四点共面，所以，即 . 又,，所以 ，当且仅当 时等号成立.故选B. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 36 二级结论 如果点,,不共线，且点不在平面内，那么对空间中任意一点 ，存在唯一的有 序实数组，使得,则,,, 四点共面. 题型4 向量共线、共面的判定及应用 37 高中必刷题 主讲老师 14.[重庆杨家坪中学2024高二月考] 如图，已知,分别为四面体的平面与平面 的 重心，为上一点，且.设,, . （1）请用,,表示 ； 【解】 ． 题型4 向量共线、共面的判定及应用 39 （2）求证：,, 三点共线. 【证明】 , 结合（1）得，又,有公共点，，， 三点共线． 题型4 向量共线、共面的判定及应用 40 15.（多选）下列命题是假命题的是( ) BD A.若向量，则与， 共面 B.若与，共面，则 C.若，则，，， 四点共面 D.若，，，四点共面，则 解析 为真命题中需满足,不共线,D中需满足,, 三点不共线. 易错点 共面向量定理理解错误 41 易错警示 对于空间向量,,,共线向量定理要求中,共面向量定理要求 中 , 不共线. 易错点 共面向量定理理解错误 42 16.已知空间任意一点和不共线的三点，，.若 ，则“ ，，”是“，，， 四点共面”的( ) B A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点 共面向量定理理解错误 43 解析 当,,时, ,则 ,即,根据共面向量定理知, , ,,四点共面.反之,当,,, 四点共面时,根据共面向量定理, 设,即 ,即 ,即,,,这组数显然不止2, ,2这一组. 故“,,”是“,,, 四点共面”的充分不必要条件.故选B. 易错点 共面向量定理理解错误 44 易错警示 已知不共线的三点,,,,设, , , ,四点共面.若为空间中任意一点，则,;若为不在平面 内的任意一点，则 . 易错点 共面向量定理理解错误 45 $$