1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 1.理解空间向量数量积的概念 2.掌握空间向量数量积的运算律,能运用数量积求向量夹角和判断向量的垂直 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：空间向量的夹角及其表示 思考：类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识吗？ 已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作 =a， =b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作<a，b>. b a b a 通常规定，0≤<a,b>≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且<a,b>=<b,a>. 如果<a，b>= ,那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. a·a= |a||a|cos<a,a>=|a|2. 由向量的数量积定义，可以得到： a⊥b a・b=0; a·a也记作a2. 即a·b=|a||b|cos<a，b>. 知识点2：空间向量的数量积 结果为数值 证明垂直 求长度 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？ 在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c， 知识点3：投影 向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 类似地,可以将向量a向直线l投影. 向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 ,向量 称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a, 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 新课讲授 学习目标 课堂总结 向量的数量积运算类似于多项式运算，平方差公式、完全平方公式、十字相乘的均成立. (λa)・b=λ(a・b)，λ∈R a・(b+c)=a・b+a・c(分配律) a・b=b・a(交换律) 知识点4：空间向量数量积的运算律 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例. 不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0 思考2:对于向量a,b,若a·b=k,能否写成 (或 )的形式? 不能.向量没有除法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗? 数量积运算不满足结合律． 数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a・b)c不一定等于a(b・c)．这是由于(a・b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值. 解：因为 且 所以 又 新课讲授 学习目标 课堂总结 所以所以异面直线BA1与AC所成角的余弦值为 因为异面直线所成角的范围是 例1:如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法： 角转化 取向量 求余弦值 定结果 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小． 利用数量积求向量夹角的余弦值或夹角的大小； 异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2：如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°, ∠BAA'=∠DAA'=45.求:(1) ；(2)AC'的长(精确到0.1). 解：（1） （2） 所以AC'≈13.3. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 利用空间向量求线段的长度或两点的距离： (2)用已知模和夹角的向量表示该向量； (1)结合图形将所求线段用向量表示； (3)利用 ，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离． 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3：如图m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，