第3章 2.1 从平面向量到空间向量-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 空间向量与向量运算 2 §2 2.1 从平面向量到空间向量 刷基础 3 1.［陕西汉中2025高二月考］下列关于空间向量的说法中正确的是( ) D A.单位向量都相等 B.若，则， 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足，则 D.相等向量其方向必相同 题型 空间向量基本概念的理解 4 解析 对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明， 的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同且长度相等，故D正确.故选D. 题型 空间向量基本概念的理解 5 2.［河南商丘2025高二月考］给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有 ； ③若空间向量,,满足,，则 ； ④若,则与 方向相同或相反. 其中假命题的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 题型 空间向量基本概念的理解 6 解析 对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，它们的终 点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的性质，上、下底面的对角线长必定相等，结合向量的方向，有 ， 故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立， 故③为真命题； 对于④，当,时，，但不能说与 的方向相同或相反，故④为假命题.故选B. 题型 空间向量基本概念的理解 7 名师点拨 （1）空间向量的表示方法以及零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量相同. （2）凡涉及空间中两个向量的问题，平面向量中有关结论仍然适用于它们. （3）空间向量是具有大小与方向的量，两个空间向量只有相等与不相等之分，而无大小之分. 题型 空间向量基本概念的理解 8 3.已知空间任意两个非零向量，，则“，且”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型 空间向量基本概念的理解 9 解析 ，且 ，所以必要性成立； 当时，有且，但 ，所以充分性不成立.故选B. 题型 空间向量基本概念的理解 10 4.如图，在平行六面体的棱中，与向量 的模一定相等的向量有( ) C A.0个 B.3个 C.7个 D.9个 题型 空间向量基本概念的理解 11 解析 向量的模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量 的模一定相等的向量有 ,,,,,, ，共7个.故选C. 题型 空间向量基本概念的理解 12 5.［河南郑州十校2024高二期中联考］在下列命题中： ①若空间向量,共线，则空间向量, 所在的直线平行； ②若空间向量,所在的直线为异面直线，则空间向量, 一定不共面； ③若三个空间向量,,两两共面，则向量,, 共面； ④若空间向量,共线，则，，， 四点不一定共面. 其中真命题的个数是( ) A A.0 B.1 C.2 D.3 题型 空间向量基本概念的理解 13 解析 对于①，若向量,共线，则向量, 所在的直线可能平行，也可能重合，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，故两个向量一定共面，故②错误； 对于③，在正方体中，,, 两两共面，但显然三个向量不共面，故③错误； 对于④，若空间向量,共线，则，，， 四点不一定共线，但一定共面，故④错误.所以 四个选项都是错误的.故选A. 题型 空间向量基本概念的理解 14 规律方法 （1）向量是自由的，可以平移，因此相等向量并不意味着起点和终点一定分别重合. （2）两个点一定共线，三个点一定共面，若要三个点共线，则以其中任意两个点为起止点的两 个向量共线. （3）因为向量可以平移，所以两个向量一定共面.四个点共面，则以其中任意两个点为起止点的 三个向量一定共面. 题型 空间向量基本概念的理解 15 6.（多选）下列说法正确的是( ) CD A.不相等的两个空间向量的模必不相等 B.两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C.四边形是平行四边形的充要条件是 D.“一个向量的方向是任意的”是“向量模为0”的充要条件 题型 空间向量基本概念的理解 16 解析 A不正确,两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与 的模相 等 不正确,当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它 们的起点和终点都不一定相同 正确.D正确. 题型 空间向量基本概念的理解 17 7.如图，在长方体中，长、宽、高分别为，， ， 以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： （1）单位向量共有___个； 8 解析 由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为，，， ， ，，， ，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有 8个. 题型 空间向量基本概念的理解 18 （2）模为 的向量共有___个； 8 解析 由于长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有,,,, , ,, ,共8个. （3）与 相等的向量共有___个； 3 解析 与向量相等的所有向量（除它自身）有,, ，共3个. （4） 的相反向量共有___个. 4 解析 向量的相反向量为,,, ，共4个. 题型 空间向量基本概念的理解 19 8.关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则 . 其中所有假命题的序号是________. ①③④ 题型 空间向量基本概念的理解 20 解析 对于①，例如同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量，因此①不正确； 对于②，长度相等、方向相同的向量是相等向量，因此②正确； 对于③，平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量，因此③不正确； 对于④，例如，满足,而 ，因此④不正确. 其中所有假命题的序号是①③④. 题型 空间向量基本概念的理解 21 $$