第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 椭圆 2 §1 1.2 椭圆的简单几何性质 刷基础 3 1.［北京四中2025高二期中］与椭圆有相同焦点，且短轴长为 的椭圆的方程是 ( ) A A. B. C. D. 题型1 椭圆的性质的应用 4 解析 椭圆的焦点坐标为, ， 所求椭圆的短轴长为，即，则所求椭圆的长半轴长 ， 所以所求椭圆的方程为 .故选A. 题型1 椭圆的性质的应用 5 2.［湖南长沙长郡中学2025高二月考］已知椭圆的离心率为，则 ( ) C A. B.或 C.8或2 D.8 题型1 椭圆的性质的应用 6 解析 椭圆的离心率为 ， 当椭圆焦点在轴上时，，解得 ； 当椭圆焦点在轴上时，，解得 .故选C. 题型1 椭圆的性质的应用 7 3.［四川自贡2024高二期末］如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴 旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦 点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中 到另一个焦点.已知，，，则光从焦点 出发经镜面反射后到达焦 点 经过的路径长为( ) B A.5 B.10 C.6 D.9 题型1 椭圆的性质的应用 8 解析 如图，以的中点为坐标原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的方 程为，，当时，，解得 . 因为，，所以，所以 ， 又因为，所以，由①②解得，所以光从焦点 出发经镜面反射后到达 焦点经过的路径长为 .故选B. 题型1 椭圆的性质的应用 9 4.［吉林延边州2025高二月考］若椭圆比椭圆更扁，则椭圆 的长轴长的取值范围是___________. 解析 椭圆的离心率 ， 由于椭圆比椭圆更扁，故椭圆 的离 心率满足，即，解得 ， 故椭圆的长轴长为 . 题型1 椭圆的性质的应用 10 5.为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则 的取 值范围是_______. 解析 由题意知， .因为 ,即,所以的取值范围是 ． 题型1 椭圆的性质的应用 11 6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，椭圆 短轴的一个端 点恰为的重心，则椭圆 的长轴长为_____. 解析 由椭圆方程，得，则， . 由题可知，点为椭圆的短半轴长是的重心，则 ，故长轴长 . 题型1 椭圆的性质的应用 12 7.已知椭圆，短轴长为，离心率为 . （1）求椭圆 的方程、长轴长、焦距； 【解】由题意知解得,, ， 所以椭圆的方程为，长轴长，焦距 . （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上点的横坐标为，求的面积 . [答案] 由题意知， , 又,解得 ， 所以 . 题型1 椭圆的性质的应用 13 8.［辽宁大连2024高二期中］已知是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、 右焦点.若 的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为 ( ) A A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 14 解析 由题意可知,解得所以椭圆的离心率 .故选A. 题型2 求离心率的值 15 9.［安徽阜阳一中2025高二期中］已知椭圆 的一个短轴端点与两个焦点构 成的三角形的内切圆半径为 ，则椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 16 解析 焦点三角形的周长为 ，由题意得一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，又其内切圆半径为，所以，得，则 .故 选A. 题型2 求离心率的值 17 归纳总结 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见的方法 有两种： ①求出，，代入公式 ； ②只需要根据条件得到关于，，的齐次式，结合转化为关于， 的齐次式 （一般为一次或二次齐次式），然后等式（不等式）两边同时除以或转化为关于 的方程 （不等式），解方程（不等式）即可得 的取值范围）. 题型2 求离心率的值 18 10.［福建泉州2025高二质量检测］已知，是椭圆的两个焦点，过 的 直线与椭圆交于，两点，若 ，则该椭圆的离心率为( ) D A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 19 解析 如图所示，设，则， ， ， 得 . 由椭圆定义可得，， ， ， 为等腰直角三角形，得， ，故该椭圆的离心率为 .故选D. 题型2 求离心率的值 20 11.［四川泸州2024高二期末］已知，分别为椭圆的左、右焦点，点 为线段的中点为坐标原点，点在椭圆上且满足轴，点到直线的距离为 ， 则椭圆的离心率为( ) A A.或 B. C.或 D. 题型2 求离心率的值 21 解析 轴， 将代入椭圆方程可得 ， 不妨设， 直线的斜率为 ， 则直线的方程为，即 ， 则到直线的距离为 ， 整理得 ， ，解得或，即或，则椭圆的离心率为或 .故选A. 题型2 求离心率的值 22 12.［江西南昌2025高二月考］已知,是椭圆的左、右焦点，是 的 左顶点，点在过点且斜率为的直线上，，且 ，则 的离心率为 __. 题型2 求离心率的值 23 解析 由，且 ，得为等边三角形，则点在线段 的垂直 平分线上，即轴上，令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为 ， 因此 ， 所以的离心率 . 题型2 求离心率的值 24 13.［重庆一中2025高二开学考］已知椭圆的左、右焦点分别为, ， 长轴长为4，点在椭圆外，则椭圆 的离心率的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 25 解析 由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆 的离心 率，即椭圆的离心率的取值范围是 .故选D. 题型3 求离心率的取值范围 26 14.［浙江温州2025高二期中］已知，是椭圆的长轴的两端点， 是椭 圆上异于点,的一点，直线与的斜率之积 ，则此椭圆的离心率的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 27 解析 设点，则，且，可得 ， 易知，，所以 ，所以 ，可得，故 .故选D. 题型3 求离心率的取值范围 28 15.［山西大同2024高二期中］已知椭圆的左、右焦点分别为, ，点 ,在上，四边形是等腰梯形，,，则椭圆的离心率 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 29 解析 依题意得，如图,连接 . 由椭圆性质知，，解得 ， ， 在中， ， 所以，解得 ， 所以椭圆的离心率的取值范围是 .故选B. 题型3 求离心率的取值范围 30 16.［广东东莞七校2025高二联考］已知椭圆与圆 ，若 在椭圆上存在点，过点作圆的切线，，切点为，，使得，则椭圆 的离 心率的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 31 解析 如图，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，，切点为， ， 使得 ， 连接,, , 则 , 在中， , , . 又, , ,即,即,即, . 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是 .故选C. 题型3 求离心率的取值范围 32 17.已知点，是椭圆的左、右焦点，点 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是( ) C A.0 B.1 C.2 D. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 33 解析 由题知,.设,则, , ,. 点在椭圆上,, 当时, 取得最小值2.故选C. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 34 18.已知椭圆的一个顶点为，对于轴上的点，椭圆上存在点 ，使 得，则实数 的取值范围是_________. 解析 设,则 .① , , 由可得,即 .② 由①②消去,整理得 . 因为,所以 . 又因为,所以 . 所以实数的取值范围为 . 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 35 易错警示 设椭圆上点的坐标为,则, ,这往往在求与椭圆有关的最 值或取值范围问题中用到,也是容易被忽略而导致错误的原因. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 36 §1 1.2 椭圆的简单几何性质 刷提升 37 1.［天津经开区2025高二月考］经过椭圆 的左焦点和上顶点的直线记为 .若椭圆的中心到直线的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆 的方程为( ) D A. B. C. D. 38 解析 设椭圆的焦距为,则,即 , 直线过点,, 直线的方程为,即 , 椭圆的中心到直线的距离,解得 , , , 椭圆的方程为 .故选D. 39 2.［安徽安庆2024高二月考］如图，圆与椭圆相切，已知, 分别是椭圆的 左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段 的中 点，则椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. 40 解析 由题可令为椭圆的长半轴长，为短半轴长，如图,连接,.因为线段 与圆相切于点 ，所以.又因为为线段的中点,点为线段的中点，所以， 且,所以，所以 ，整理得 ，所以，所以离心率 ，故选A. 41 3.［陕西榆林八校2025高二联考］如图，过点分别作平面 ， ， 截圆柱得 到椭圆，，.其中，椭圆， 所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐 二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，， ，则它们的大小关系为 ( ) C A. B. C. D. 42 解析 设椭圆,,的长轴长分别为,,,短轴长分别为,,,焦距分别为, , , 由题意得, , 则,, , 由,得,,故 .故选C. 43 多种解法 根据椭圆的圆扁程度确定离心率,离心率越大,椭圆越扁,离心率越小,椭圆越圆,由此可得 .故选C. 44 4.（多选）［吉林省实验中学2024高二期末］已知椭圆， 为椭圆上一 个动点，,分别为其左、右焦点，当垂直于轴时， ，则下列选项正确的有 ( ) ACD A. B. 的最小值为1 C.当，，三点可构成三角形时，面积的最大值为 D.当，，三点可构成三角形时，满足为直角三角形的点 的个数为8 45 解析 由椭圆方程可知，，，当垂直于轴时， ，则 ，由勾股定理得，即 ，解 得，，则， ，A选项正确. 的最小值为 ，B选项错误. 当,,三点可构成三角形时，当为上顶点或下顶点时， 的面积最大，最大值为 ，C选项正确. 当,,三点可构成三角形时，若直角顶点为或时，满足题意的点 有4个；若直角顶点为点 时，由，可知以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，则满足题意的点 有4个，所以满 足为直角三角形的点的个数为8，D选项正确.故选 . 46 5.（多选）［河南南阳2025高二联考］已知椭圆上有一点,， 分别为椭圆的左、 右焦点， ,的面积为 ，则下列选项正确的是( ) ACD A.若 ，则 B.若，则 C.面积的最大值为 D.若为钝角三角形，则 47 解析 对于椭圆，设， ， ，则由此可得 ， 所以的面积 . 对于A，若 ，则 ，故A正确； 对于B，由①知（当且仅当，即点 是短轴 端点时取等号）， 48 所以，因此 不可能是 ，故B错误； 对于C，当为短轴的端点时，的面积最大，且最大值为 ，故C正确； 对于D，由以上分析可知， 不可能是钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况， 当 时，易得 ， 此时，结合图可知，当是钝角时， ，故D正确. 故选 . 49 6.设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且，若， ，则椭圆的两个焦 点之间的距离为____. 解析 不妨设椭圆的标准方程为,由题意知, . ,, 不妨设点的坐标为 . 点在椭圆上,,,, ,则椭圆的两个焦点之间 的距离为 . 50 7.［河北唐山开滦二中2025高二期中］已知,，点是直线 上的 一点，以,为焦点的椭圆过点 ，则当该椭圆的离心率取得最大值时，该椭圆的方程为 _ ____________. 51 思路导引 结合椭圆的定义利用关于直线对称点、三角形两边之和大于第三边求解出长半轴长 的取值范围, 离心率最大时，长半轴长 取最小值,从而求解出椭圆的方程. 52 解析 如图，连接,.设该椭圆的方程为 ,因 为椭圆以,为焦点,所以 . 因为椭圆过点,所以 . 设点关于直线的对称点为,连接, , 则解得即 . 所以,当且仅当点为线段 与椭圆的交点时等号成立, 又,所以,即 . 因为离心率,所以当时该椭圆的离心率取得最大值,此时 ,所以该椭 圆的方程为 . 53 8.将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 . （1）求曲线 的方程； 【解】在曲线上任取一点，则在圆上，所以 ，即 ， 所以曲线的方程为 . （2）设点，点为曲线上任一点，求 的最大值. [答案] 设 ，则 ， , 所以当时,，所以，即的最大值为 . 54 $$