第2章 1.2 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第二章　圆锥曲线 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 §1 椭　圆 §1.2 椭圆的简单几何性质 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十一） Part 03 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) A1(0，－a)，A2(0，a)， (－c，0) (c，0) (0，－c) (0，c) 2c x轴和y轴 (0，0) 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课时作业（十一） 点击进入word 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2．掌握椭圆的简单几何性质． 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题． 1.通过椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象、数学抽象的核心素养． 2．借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　椭圆的简单几何性质 [问题1]　已知椭圆方程，讨论椭圆性质时， 椭圆的方程要满足什么形式？ 答：椭圆方程需要是标准方程，若不是标准形式要先化成标准形式. [问题2]　观察椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ 答：由 eq \f(x2,a2)≤1， eq \f(y2,b2)≤1得－a≤x≤a，－b≤y≤b. [问题3]　对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？ 答：相同点：两图长轴长与短轴长分别相等； 不同点：长轴与短轴所在位置不同． [问题4]　椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ 答：椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． ►知识填空 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 范围 且 且 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 顶点 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1 ，F2 F1 ，F2 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴 ，对称中心 离心率 e＝ eq \f(c,a)(0＜e＜1) 2.离心率的性质 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴有关．(　　) (2)椭圆的焦点一定在长轴上．(　　) (3)椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的参数 eq \f(b,a)不能刻画椭圆的扁平程度，而 eq \f(c,a)能刻画椭圆的扁平程度．(　　) (4)椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1比椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,15)＝1更扁一些．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A.5，3，0.8　　　　　　　B．10，6，0.8 C.5，3，0.6 D．10，6，0.6 答案：B 3．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　) A.长轴长为 eq \f(1,2)　　　　B．焦距为 eq \f(\r(3),4) C.短轴长为 eq \f(1,4) D．离心率为 eq \f(\r(3),2) 解析：选ABC　椭圆C：16x2＋4y2＝1， 化为标准形式为 eq \f(x2,\f(1,16))＋ eq \f(y2,\f(1,4))＝1，可得a＝ eq \f(1,2)，b＝ eq \f(1,4)， 则c＝ eq \r(\f(1,4)－\f(1,16))＝ eq \f(\r(3),4)，可得离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\f(\r(3),4),\f(1,2))＝ eq \f(\r(3),2). 4．椭圆 eq \f(x2,m2＋1)＋ eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝ eq \f(π,3)，则m＝(　　) A.1 B． eq \r(2) C. eq \r(3) D．2 解析：选C　∵a2＝m2＋1，b2＝m2， ∴c2＝a2－b2＝m2＋1－m2＝1，c＝1. ∵∠F1AF2＝ eq \f(π,3)，∴△F1AF2为等边三角形， ∴a＝2c，即 eq \r(m2＋1)＝2，m＝ eq \r(3)(m＞0). 题型一　由椭圆方程研究其几何性质 [例 1]　已知椭圆C1： eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1： eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,64)＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，离心率e＝ eq \f(3,5). (2)椭圆C2： eq \f(y2,100)＋ eq \f(x2,64)＝1. 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，－10)，(0，10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，－6)，(0，6)； ⑤离心率：e＝ eq \f(3,5). [反思感悟] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解：把已知方程化为标准方程 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝ eq \r(16－9)＝ eq \r(7)， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(7),4)， 两个焦点坐标分别是(－ eq \r(7)，0)，( eq \r(7)，0)， 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3). 题型二　利用几何性质求椭圆方程 [例 2]　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 eq \f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 eq \r(3)，则椭圆的标准方程为________． 解析：(1)设椭圆G的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝3\r(3)，)) ∴b2＝a2－c2＝36－27＝9， ∴椭圆G的方程为 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,9)＝1. (2)由已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3),c＝\r(3)．))从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,9)＝1或 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,12)＝1 答案：(1) eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,9)＝1　(2) eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,9)＝1或 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,12)＝1 [反思感悟] 利用性质求椭圆方程的步骤 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)； (2)离心率e＝ eq \f(3,5)，焦距为12. 解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(25,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝1，)) 故所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,25)＋y2＝1；若焦点在y轴上，设其标准方程为 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)， 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(0,a2)＋\f(25,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝25，,b＝5，)) 故所求椭圆的标准方程是 eq \f(y2,625)＋ eq \f(x2,25)＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,25)＋y2＝1或 eq \f(y2,625)＋ eq \f(x2,25)＝1. (2)由e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(3,5)，2c＝12，得a＝10，c＝6， 则b2＝a2－c2＝64. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,64)＝1. 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准为 eq \f(y2,100)＋ eq \f(x2,64)＝1； 综上所述，所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,64)＝1或 eq \f(y2,100)＋ eq \f(x2,64)＝1. 题型三　求椭圆的离心率 [例 3]　(1)设椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A. eq \f(\r(3),6)　　　　　　　　B． eq \f(1,3) C. eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),3) (2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足 eq \o(MF1,\s\up6(→))· eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(0，1) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 解析：(1)法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ eq \r(3)m， 故离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2c,2a)＝ eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝ eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝ eq \f(\r(3),3). 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c， 将x＝c代入椭圆方程可解得y＝± eq \f(b2,a)， 所以|PF2|＝ eq \f(b2,a). 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝ eq \r(3)|PF2|， 故2c＝ eq \r(3)· eq \f(b2,a)，变形可得 eq \r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得 eq \r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝ eq \f(\r(3),3)或e＝－ eq \r(3)(舍去). (2)依题意得，c＜b，即c2＜b2， ∴c2＜a2－c2，2c2＜a2， 故离心率e＝ eq \f(c,a)＜ eq \f(\r(2),2)，又0＜e＜1， ∴0＜e＜ eq \f(\r(2),2). 答案：(1)D　(2)C [反思感悟] 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 直接法 若已知a，c可直接利用e＝ eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ eq \f(c,a)求解 方程法 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 1．(多选)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率可以是(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(1,3) D． eq \f(\r(3),2) 解析：选BD　由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形， ∴|OP|＝c≥b，即c2≥a2－c2，又a≤ eq \r(2)c， ∴e＝ eq \f(c,a)≥ eq \f(\r(2),2)，又0＜e＜1，∴ eq \f(\r(2),2)≤e＜1， 故选BD. 2．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　) A． eq \f(\r(3),3)　　　B． eq \f(1,2)　　　C． eq \f(\r(2),2)　　　D． eq \f(\r(3),2) 解析：选B　设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为 eq \f(2,sin 60°)＝ eq \f(4\r(3),3)，即长半轴长为 eq \f(2\r(3),3)，所以半焦距为 eq \f(\r(3),3)，故离心率为 eq \f(1,2). [课堂小结] 1．通过椭圆简单几何性质的学习，初步掌握利用方程研究其几何性质的方法，为后面的学习提供一般方法． 2．在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如长轴长、短轴长、焦距、离心率，而有些则是与焦点所在的坐标轴有关的，如顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置． $$