第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

1.2 椭圆的简单几何性质 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第二章 圆锥曲线 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 课程标准 素养解读 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线 1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养 [情境引入] 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a >b>0 )的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ [知识梳理] [知识点一]　椭圆的简单几何性质　 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 对称性 对称轴为　坐标轴　，对称中心为　原点　 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝　2b　，长轴长|A1A2|＝　2a　 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 |F1F2|＝2c [知识点二]　离心率　 1．定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即eq \f(c,a)＝e. 2．性质： (1) (2)形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如—；e越趋向于0越圆，形如○. 1.离心率e能否用eq \f(b,a)表示？ [提示]　能．e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2， 所以e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2). 2．离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.(×) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(√) (3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(√) (4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.(×) (5)设F为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(√) 2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3,0.8　　　　 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 解析：B　[椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1，则a＝5，b＝3，c＝eq \r(25－9)＝4，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5).] 3．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　 B．7　　　 C．5　　　 D．4 解析：A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.] 4．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是　__________________________　. 解析：∵2a＝18,2c＝eq \f(1,3)×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.∴椭圆的方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1. 答案：eq \f(x2,81) ＋eq \f(y2,72) ＝1 椭圆的简单几何性质 [例1]　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，所以a＝4，b＝3，c＝eq \r(16－9)＝eq \r(7)，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)；两个焦点坐标分别是(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c. [变式训练] 1．已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq \f(3,5). (2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝eq \f(3,5). 求椭圆的离心率 [例2]　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是　________　. [思路点拨]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|用c表示． [解析]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝eq \r(|AF2|2－|AF1|2) ＝eq \r(3)x＝2c，再由椭圆的定义， 可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(3)x,3x)＝eq \f(\r(3),3). [答案]　eq \f(\r(3),3) 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [变式训练] 2．(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　) A.eq \r(3)－1　　　　　 B．2－eq \r(3) C.eq \r(2)－1 D．2－eq \r(2) (2)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使∠F1MF2＝90°(F1F2为椭圆的两焦点)，求椭圆的离心率的取值范围． 解：(1)如图，设F(c,0)，由于△OAF是等边三角形，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点A在椭圆上，所以有eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－2eq \r(3))a2，即c＝(eq \r(3)－1)a，则其离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1. (2)设点M的坐标是(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，,x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝c2.)) 消去y0，得xeq \o\al(2,0)＝eq \f(a2c2－b2,c2).因为0≤xeq \o\al(2,0)≤a2 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a2c2－b2,c2)≥0，　　　　①,\f(a2c2－b2,c2)≤a2.　　　　②)) 由①，得c2≥b2，即c2≥a2＋c2，所以a2≤2c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2).又因为0＜e＜1，所以e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))， 由②，得c2－b2≤c2，此式恒成立． 综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 由几何性质求椭圆的标准方程 [例3]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程． [思路点拨]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6)，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. ∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. (2)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1. (3)法一：由题意知e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,2b2)＋eq \f(x2,b2)＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得eq \f(1,2b2)＋eq \f(4,b2)＝1或eq \f(4,2b2)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝eq \f(9,2)或b2＝3. 故所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1. 法二：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [变式训练] 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程． 解：法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝3·2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1. 若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝3·2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.综上所述，椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1. 法二：设椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3·2\r(n)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3·2\r(m)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝9,n＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝9,n＝81.)) 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1. [当堂达标] 1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是(　　 ) A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1　　　　 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1 解析：C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.] 2．(多选)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为(　　) A．－21 B．－eq \f(19,29) C.eq \f(19,29) D．21 解析：BD　[①a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq \r(5－k)，则eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，即eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，解得k＝－eq \f(19,29)，②a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq \r(k－5)，则eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，即eq \f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq \f(4,5)，解得k＝21.] 3．椭圆eq \f(x2,m2＋12)＋eq \f(y2,m2＋4)＝1焦距为　________　. 解析：由题意，m2＋12＞m2＋4，故椭圆的焦点在x轴上，∴a2＝m2＋12，b2＝m2＋4，c2＝m2＋12－(m2＋4)＝8，故焦距2c＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2). 答案：4eq \r(2) 4．椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，焦点到椭圆上点的最短距离为2－eq \r(3)，求椭圆的方程． 解：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a－c＝2－\r(3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝\r(3)，)) 所以b2＝a2－c2＝1，所以所求椭圆的方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1. $$