精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县江中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

从江县下江中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测 九年级 数学试卷 (时间：120分钟　　满分：150分) 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式得到，再利用比例性质变形求解即可得到答案． 【详解】解： ， 又， ， 原式， 故选：D． 【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质，根据题中代数式恒等变形代值求解是解决问题的关键． 2. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ） A. 不变化 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正切值为对边和邻边的比值． 一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关． 【详解】∵锐角的正切值为对边和邻边的比值， ∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变. 故选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，， . 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 已知α为锐角，sin (α－20°)＝，则α等于(　　) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】 【详解】∵α为锐角，sin(α−20°)=， ∴α−20°=60°， ∴α=80°， 故选D. 5. 某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键． 根据三角函数定义进行解答即可． 【详解】解：∵滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了， ∴该同学在竖直方向上下降的高度为． 故选：A． 6. 如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理分别算出三边的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据锐角三角函数进行求解，通过证明继而进行判断即可． 【详解】由题意得，， ， 是直角三角形，，故B正确，不符合题意； ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 8. 如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作轴，垂足为B，在中，设，则，，求出，，即可解答． 【详解】解：过点P作轴，垂足为B， 在中，， ∴可设，则， ∴， 解得：， ，， ∴点P的坐标为， 故选：A． 9. 如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 则四边形为矩形，米， 米， 中，， ， （米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形． 10. 如图，在中，，垂足为D．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据，，推出，证明，根据相似三角形的判定和性质可以求得的长，然后即可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 11. 如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵设开往码头、的游船速度分别为、，回到、所用时间相等， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了方位角的计算，勾股定理解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，求得的长是解题的关键． 12. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图1与图2的拼图结果先得出线段间的相等关系，求得h与l，此题即可得解． 【详解】解：如图，图1由一个长方形分割而成，且图中只有角， 则根据题意可知：a∥b， ∴a＝b， 由图2可知c＝2a， ∴l＝a＋b＝2a，h＝a＋2a， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了几何变换，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的长分别为________． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些定理是解题的关键．由平分，得到，由，得到内错角，等量代换后可证得 ，即是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，而在中，由勾股定理可求得的长，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数 【详解】∵∠C=90°，AC=5，AB=10， ∴cosA===， ∴∠A=30°， 故答案为30． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA． 15. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为______m． 【答案】 【解析】 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D． 根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°， 设AD=x米，在Rt△ACD中，tan∠ACD=， ∴CD===x， Rt△ABD中，tan∠ABC=， ∴BD===x， ∴BC=CD+BD=x+x=80， ∴x=． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角． 16. 如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知，．则__，的值为_____． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】由可求出的三边的长，通过角的转换证明，通过相似比求出求所需的长； 【详解】解：， ， ， 中点， ， ， 又， ∴， ， ， ， ， ， 由勾股定理，， ， 故答案为：25；． 【点睛】本题主要考查相似三角形，三角函数，直角三角形中线的性质，勾股定理等知识点，掌握相似三角形，三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，菱形的边长为，求的长和菱形的面积． 【答案】，菱形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和菱形的性质的运用．菱形的四条边相等．由，得出的长，根据菱形的面积求解． 【详解】解：∵菱形的边长为， ， ， ， ， ， ， 综上所述， ，菱形的面积为． 19. 在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b； （2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c． 【答案】（1），， （2），， 【解析】 【分析】根据已知条件解直角三角形即可 【小问1详解】 △ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ， c＝8， ， 【小问2详解】 △ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， ， a＝3 ， 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 【答案】3+ 【解析】 【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=， ∴BD=CD=， 由勾股定理得：AD==3， ∴AB=AD+BD=3+， 答：AB的长是3+． 【点睛】此题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． 21. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长； (2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值． 详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F， ∵为垂直平分线， ∴， ∵， ∴． (2)设，∴， 又∵，∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键． 22. 如图1是一台置于水平桌面上的笔记本电脑，忽略其厚度，将结构简化成图2，其外部结构由显示屏、键盘和触摸板两大部分组成，． （1）打开电脑时，若，求点到桌面的距离； （2）若为的中点，测得电脑使用者的眼睛所在位置到点距离，且，求两点之间的距离．（参考数据:，结果保留一位小数） 【答案】（1）点到桌面的距离约为 （2） 【解析】 【分析】(1)根据特殊角的三角形函数即可求出结果； (2)根据直角三角形的勾股定理即可求出结果． 【小问1详解】 解：过点作直线，垂足为， ∵，， ∴，， 即点到桌面的距离约为． 【小问2详解】 解：连接． ∵，为的中点， ∴， ∵，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形与勾股定理等相关知识点，根据题意画出图形是解题的关键． 23. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）. 【答案】的长度约为10.2米 【解析】 【分析】延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，根据图示，可得四边形是正方形，解，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， ， 中，， ， 中，， （米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24. 小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸上有两棵大树，，当小明跑到处时，测得大树在北偏东方向，小明继续跑步到达处，此时大树刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】该段河的宽度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，锐角三角函数的定义、矩形的判定和性质等知识，过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明四边形是矩形，所以，，设，在中，，在中，，则有，然后解方程即可，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：该段河的宽度约为． 25. 天鹅桥位于沿河县城南部坝坨，横跨在乌江，该桥塔主体由两根天鹅形的曲线塔柱组合而成，造型新颖，是沿河一座标志性建筑．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，天鹅形桥墩距岸边（即米），河岸为斜坡，坡角为30°，斜坡长为30米，在桥面的点测得天鹅形桥墩最高点的仰角为35°，平行于乌江水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）（，，，） 【答案】桥墩的高约为75.6米 【解析】 【分析】如图所示，过点C作CF⊥BM于F，延长DC交AB于G，先证明四边形BFCG是矩形，得到，CG=BF，解直角三角形CEF，求出CF，EF的长，从而求出DG的长，最后解直角三角形ADG即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥BM于F，延长DC交AB于G， 由题意得AB⊥BM，， ∴AB⊥DG， ∴四边形BFCG是矩形， ∴，CG=BF， 在Rt△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，CE=30米， ∴米，米 ∴BG=CF=15米， ∴米， ∴米， 在Rt△AGD中，米， ∴米， ∴桥墩高约为75.6米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县下江中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测 九年级 数学试卷 (时间：120分钟　　满分：150分) 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ） A. 不变化 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知α为锐角，sin (α－20°)＝，则α等于(　　) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 5. 某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P是射线上一点，若，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，在中，，垂足为D．如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 12. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．若，则的长分别为________． 14. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝_____度． 15. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为______m． 16. 如图，在中，，D是中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知，．则__，的值为_____． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：． 18. 如图，菱形的边长为，求的长和菱形的面积． 19. 在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b； （2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c． 20. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长． 21. 如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使． （1）若，求的周长； （2）若，求的值． 22. 如图1是一台置于水平桌面上的笔记本电脑，忽略其厚度，将结构简化成图2，其外部结构由显示屏、键盘和触摸板两大部分组成，． （1）打开电脑时，若，求点到桌面的距离； （2）若为的中点，测得电脑使用者的眼睛所在位置到点距离，且，求两点之间的距离．（参考数据:，结果保留一位小数） 23. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）. 24. 小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明沿河岸跑步，对岸上有两棵大树，，当小明跑到处时，测得大树在北偏东方向，小明继续跑步到达处，此时大树刚好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是，请根据以上数据求出该段河的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 25. 天鹅桥位于沿河县城南部坝坨，横跨在乌江，该桥塔主体由两根天鹅形曲线塔柱组合而成，造型新颖，是沿河一座标志性建筑．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，天鹅形桥墩距岸边（即米），河岸为斜坡，坡角为30°，斜坡长为30米，在桥面的点测得天鹅形桥墩最高点的仰角为35°，平行于乌江水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）（，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $