专题02 不等式，基本不等式与一元二次不等式13大考点（高效培优期末专项训练）高一数学上学期北师大版

专题02 不等式，基本不等式与一元二次不等式 考点01 不等式的性质 1 考点02 基本不等式的直接应用 5 考点03 基本不等式中的配凑法 7 考点04 基本不等式中和与积共存求最值 9 考点05 基本不等式一次/二次或二次/一次求最值 12 考点06 基本不等式“1”的代换 17 考点07 基本不等式中因式分解/反解带入法 20 考点08 解不含参数的一元二次不等式 21 考点09 解含参数的一元二次不等式 25 考点10 一元二次不等式在R上恒成立与有解问题 27 考点11 一元二次不等式在区间上恒成立问题 33 考点12 一元二次不等式与基本不等式综合问题 35 考点13 三个“二次”间的关系 37 考点01 不等式的性质 1．（25-26高一上·广东·期末）下列命题是假命题的为（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 2．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，均为实数，则 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 考点02 基本不等式的直接应用 6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 考点03 基本不等式中的配凑法 11．（2024高二下·吉林·学业考试）的最小值为 ． 12．（25-26高三上·安徽·期中）已知，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 13．（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．（25-26高一上·天津·月考）当时，的最小值为 15．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数，函数取得最小值为 ；此时的值为 . 考点04 基本不等式中和与积共存求最值 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 17．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 18．【多选题】（2025·安徽合肥·一模）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 19．【多选题】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．     D．的最小值为 20．【多选题】（24-25高二下·贵州·月考）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 考点05 基本不等式一次/二次或二次/一次求最值 21．（25-26高一上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是 22．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 23．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 24．（24-25高一上·福建泉州·月考）解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 25．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 考点06 基本不等式“1”的代换 26．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 28．（25-26高一上·安徽·期中）已知两正数，满足，则的最小值为 ． 29．（25-26高一上·江苏常州·期中）设正实数满足，则有最小值为 . 30．【多选题】（25-26高一上·河南·期中）已知，，且，则（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 考点07 基本不等式中因式分解/反解带入法 31．【多选题】（25-26高一上·浙江·期中）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的最小值为8 C．的最小值是 D．的最小值为2 32．【多选题】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 33．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 35．【多选题】（25-26高一上·山东淄博·期中）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 考点08 解不含参数的一元二次不等式 36．（25-26高一上·湖南·期末）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 37．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 38．（2025高三上·江苏南通·专题练习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·陕西汉中·月考）集合，则集合（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 考点09 解含参数的一元二次不等式 41．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 42．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 44．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 45．（23-24高一下·辽宁·期末）（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 考点10 一元二次不等式在R上恒成立与有解问题 46．（24-25高二下·上海·期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 47．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 48．（25-26高一上·广西河池·月考）关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点11 一元二次不等式在区间上恒成立问题 51．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·云南文山·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 55．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 考点12 一元二次不等式与基本不等式综合问题 56．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 58．（22-23高一上·河北衡水·期中）若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．（23-24高一上·河北沧州·月考）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点13 三个“二次”的关系 61．【多选题】（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 62．【多选题】（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 63．【多选题】（23-24高三上·福建龙岩·期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 64．【多选题】（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 65．【多选题】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式，基本不等式与一元二次不等式 考点01 不等式的性质 1 考点02 基本不等式的直接应用 5 考点03 基本不等式中的配凑法 7 考点04 基本不等式中和与积共存求最值 9 考点05 基本不等式一次/二次或二次/一次求最值 12 考点06 基本不等式“1”的代换 17 考点07 基本不等式中因式分解/反解带入法 20 考点08 解不含参数的一元二次不等式 21 考点09 解含参数的一元二次不等式 25 考点10 一元二次不等式在R上恒成立与有解问题 27 考点11 一元二次不等式在区间上恒成立问题 33 考点12 一元二次不等式与基本不等式综合问题 35 考点13 三个“二次”间的关系 37 考点01 不等式的性质 1．（25-26高一上·广东·期末）下列命题是假命题的为（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用不等式基本性质，逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然为假命题； 对于B，若，，同向不等式相加，则，为真命题； 对于C，若且，则，，为真命题； 对于D，若，则，所以，为真命题． 故选：A． 2．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，则，反之成立，则也成立， 所以是的充要条件，故A错误； 选项B：若，当时，则，当时，则， 故无法一定得到，充分性不成立，故B错误； 选项C：当时，满足，但此时，充分性不成立，故C错误； 选项D：若，且，则，故充分性成立， 反之若，当时，，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 4．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，均为实数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断AC；作差推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，，B错误； 对于C，当时，满足，，而，C错误； 对于D，由， 得，D正确. 故选：D． 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 考点02 基本不等式的直接应用 6．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据勾股定理以及直角三角形的面积公式，利用重要不等式，可得答案. 【详解】设直角三角形的两条直角边分别为，则， 直角三角形的面积为，当且仅当时取等号. 故选：C. 8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 9．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 10．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 考点03 基本不等式中的配凑法 11．（2024高二下·吉林·学业考试）的最小值为 ． 【答案】0 【分析】由基本不等式计算可得结果. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为0. 故答案为：0. 12．（25-26高三上·安徽·期中）已知，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 13．（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故选：C. 14．（25-26高一上·天津·月考）当时，的最小值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】当时，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数，函数取得最小值为 ；此时的值为 . 【答案】 【分析】通过配凑将函数转化为含正数项的形式，利用基本不等式求出最小值，同时确定等号成立时的值. 【详解】由，得. 将函数变形为. 由基本不等式，， 故. 当且仅当时等号成立， 解得，结合，得. 故答案为：9；5 考点04 基本不等式中和与积共存求最值 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）将给定等式变形为，再利用基本不等式求出最小值. （2）将给定等式变形为，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 17．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式得，结合条件求解. 【详解】由，，得， 又，即， 令，上式为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当时，等号成立， 所以得最小值为1. 故选：A. 18．【多选题】（2025·安徽合肥·一模）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】应用基本不等式计算结合一元二次不等式计算判断A，B，先化简再计算判断C，D. 【详解】对于A，由正数满足，可得，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确； 对于B，由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误； 对于C，因，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由可得，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 19．【多选题】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．     D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式计算可判断ABD，利用因式分解法可判断C. 【详解】由，，，可得， 所以，所以， 解得，又，，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的取值范围为，故A正确； 由，可得， 所以，解得或（舍去）， 当且仅当时取等号，又，所以， 所以的取值范围为，故B错误； 由，可得，所以，故C正确； ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 20．【多选题】（24-25高二下·贵州·月考）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，解得， 当且仅当时等号成立，故A正确. 对于B，，解得， 当且仅当时等号成立，故B错误. 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，由得， 故， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 考点05 基本不等式一次/二次或二次/一次求最值 21．（25-26高一上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 22．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 23．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 24．（24-25高一上·福建泉州·月考）解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【答案】(1)3； (2)9； (3)10. 【分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. （3）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 25．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 考点06 基本不等式“1”的代换 26．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，利用基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】∵， ∴， 当且仅当，即，时，取等号， ∴的最小值为. 故选：C. 27．（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将用表示出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 28．（25-26高一上·安徽·期中）已知两正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为正数，，则 ，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 29．（25-26高一上·江苏常州·期中）设正实数满足，则有最小值为 . 【答案】5 【分析】利用的代换，将转化成，根据基本不等式求得的最小值为，进而得到的最小值为. 【详解】因为正实数满足，则. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 30．【多选题】（25-26高一上·河南·期中）已知，，且，则（   ） A．的最大值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式判断A；利用基本不等式求解最值判断B；利用“1”的变换，结合基本不等式判断CD. 【详解】对于A，，，，当时等号成立， 所以的最大值为4，故A正确； 对于B，，，，当即时等号成立， 所以的最小值为2，故B正确； 对于C，， 当即时等号成立，的最小值为1，故C错误； 对于D，， 当即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD 考点07 基本不等式中因式分解/反解带入法 31．【多选题】（25-26高一上·浙江·期中）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的最小值为8 C．的最小值是 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】对于A，，又，可判断，对于BCD，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，故A正确， 由，得，由A，，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确， 由，令， 得，解得， 即，当且仅当时，取等号，C错误； ， 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 32．【多选题】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 33．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 34．（25-26高一上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 35．【多选题】（25-26高一上·山东淄博·期中）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对A，直接使用基本不等式，构造出关于的基本不等式，解出即可即可判断；对BC，用表示出，从而减少变量，再结合基本不等式即可判断；对D，直接使用基本不等式，再整体代入即可判断. 【详解】对A，因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为8，A正确； 对B，由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； 对C，，结合，解得，则， ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时取等号，即时等号成立， 此时取得最小值，D错误． 故选：ABC. 考点08 解不含参数的一元二次不等式 36．（25-26高一上·湖南·期末）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【详解】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 37．（24-25高一上·北京·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法，求出结果即可. 【详解】有题意可得，解得，即解集为， 故选：B. 38．（2025高三上·江苏南通·专题练习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项通分，转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】，可得， 即为，且，可得 故选：C 39．（25-26高一上·陕西汉中·月考）集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，根据补集和交集的概念计算. 【详解】， 所以或， 所以. 故选：C. 40．（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 考点09 解含参数的一元二次不等式 41．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 42．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较两根的大小后可得不等式的解集. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，故， 解原不等式得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 43．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 44．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数，． (1)若，求的解集； (2)解关于x的不等式：． 【答案】(1)R； (2)答案见解析 【分析】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【详解】（1）时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； （2），即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 45．（23-24高一下·辽宁·期末）（1）解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6 【分析】（1）由得，根据与1的大小分类讨论即可求解； （2）由已知得，利用韦达定理得，进而得，令，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）， 当，即时， ，      当，即时，无解， 当，即时， ， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 考点10 一元二次不等式在R上恒成立与有解问题 46．（24-25高二下·上海·期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集列不等式即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为：. 47．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 48．（25-26高一上·广西河池·月考）关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，由不等式恒成立进行求解． 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 综上所述的取值范围为． 故选：D． 49．（25-26高三上·江苏连云港·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 50．（24-25高一上·重庆·期末）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 考点11 一元二次不等式在区间上恒成立问题 51．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 52．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，找到二次函数的对称轴，讨论对称轴在题中区间内，由对称轴求得函数最小值，由最小值建立不等式，解得实数的取值范围.讨论对称轴不在题中区间内，由单调性求得函数最小值，由最小值建立不等式，求得实数的取值范围,从而求得实数取值范围. 【详解】令， 则函数关于对称， 当时，即时， 则， 即，则，即 ∴. 当时，即时， 函数在上单调递增， 即恒成立， ∴. 综上所述. 故选：A. 53．（24-25高一上·云南文山·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 54．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 55．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 考点12 一元二次不等式与基本不等式综合问题 56．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 57．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 58．（22-23高一上·河北衡水·期中）若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式可得的最小值，结合该值，再解出与有关一元二次不等式即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即恒成立，故， 即，解得或. 故选：B. 59．（23-24高一上·河北沧州·月考）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再借助不等式有解求出范围. 【详解】由，且，得， 当且仅当，即时取等号，依题意，，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D 60．（24-25高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换 ，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 考点13 三个“二次”的关系 61．【多选题】（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 62．【多选题】（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 63．【多选题】（23-24高三上·福建龙岩·期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】根据题意可得，，，从而可对A、C项判断，由是方程的根，可对B项判断，将化简为并结合一元二次不等式可对D项判断. 【详解】对于A项：由题意可知，，和1是方程的两根，可得，，所以，，即故A项正确． 对于B项：因为是方程的根，所以，故B项错误． 对于C项：由A项知：，即，因为，得：，故C项正确. 对于D项：不等式即，化简得，解得或，故D正确. 故选：ACD. 64．【多选题】（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 函数开口向下，有最大值，A正确； 又，函数值即B正确； 又是关于的二次方程的两根，则， 所以，则C错误； 不等式即为，即， 解得或，，D正确. 故选：ABD. 65．【多选题】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案. 【详解】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $