精品解析：吉林省长春市绿园区长春市第八十九中学2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题

长春市第八十九中学4月份大练习（7年）数学试卷 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义．掌握一元一次方程的定义是解题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．方程是一元一次方程，故此选项符合题意； C．方程未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．方程不是整式方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 如果，那么下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍成立；或者等式两边同时乘上或者除去同一个数（不为0），等式仍成立，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴不成立，故该选项是错误的； B、∵，∴，故该选项是正确的； C、∵，∴不成立，故该选项是错误的； D、∵，∴不成立，故该选项是错误的，故该选项是错误的； 故选：B． 3. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 是方程的解， ， 解得， 故选：C． 4. 方程，去分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6即可得解． 【详解】解：方程两边同时乘以6得：， 故选：A． 5. 将二元一次方程改写成用含x的代数式表示y的形式，下面正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代入消元法．把x看做已知数，然后移项，求出y即可得到答案． 【详解】解：， 移项得：， 故选：C． 6. 已知a、b满足方程组，则a+b的值为( ) A. 2 B. 4 C. —2 D. —4 【答案】A 【解析】 【分析】观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案. 【详解】， ①+②，得5a+5b=10， 所以a+b=2， 故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得 故选D． 8. 如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为、，根据题意所列的方程组应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，列二元一次方程组，先由折叠的性质得到，再由正方形的性质得到，根据比大可得，据此列出方程组即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 由可得， ∴， ∵，比大， ∴， ∴可得方程组， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 当____时，代数式的值是5． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了已知代数式的值求字母的值，解一元一次方程，先根据题意列式，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，得， 去分母，得， 解得， 故答案为：5． 10. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值及平方的非负数性质，解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，可求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为： ． 11. 若方程的解也是关于的方程的解，则的值为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． 先解一次方程得，根据同解方程的定义得方程的解为，然后把代入此方程求出n． 【详解】解： ， 方程的解也是关于的方程的解， 是方程的解， ， 故答案为：2 12. 若是一元一次方程，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，先根据一元一次方程的定义得出关于m的式子，再求值即可． 【详解】因为是一元一次方程， 所以且， 解得且， 所以． 故答案为：． 13. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用加减法解方程组可得再代入方程求解k即可． 【详解】解： ①+②得： 即 ①-②得： 即 ， 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是同解方程组，理解同解方程组的含义，熟悉二元一次方程组的解法是解本题的关键． 14. 某超市推出如下优惠方案：①购物款不超过 200 元不享受优惠；②购物款超过 200 元但不超过 600 元一律享受九折优惠；③购物款超过 600 元一律享受八折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款 168 元、423 元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款______元． 【答案】510.4 【解析】 【分析】要求她一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是她应付款数即可． 【详解】解：∵， ∴第一次购物显然没有超过200元，即她的实质购物价值只能是168元． 第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470． 第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此均可以按照8折付款： 638×0.8＝510.4（元） 综上所述，她应付款510.4元． 故答案为510.4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是第二次购物的432元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 三、解答题（共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程： （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【小问1详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以，得； 【小问2详解】 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以4，得． 16. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键． （1）运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解． 【小问1详解】 解： ①②得，， 把的值代入②得，， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得，， 解得，， 把的值代入①得，， ∴原方程组的解为． 17. 已知，当时，；当时，． （1）求k、b的值； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，解题关键是掌握解题方法． （1）利用将x和y的对应值代入即可求解． （2）将代入即可求解． 【小问1详解】 由题意，， ∴解得； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴当时，， 解得． 18. 下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边同除以5．得，第五步 任务一：填空：①第三步进行的是______，这一步的依据是______； ②从第 步开始出现错误，具体的错误是______． 任务二：请写出正确的解方程的过程； 任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议______． 【答案】任务一：①移项，等式的基本性质；②三，移项时没有变号； 任务二： 正确的解方程的过程如下： 解： 去分母，得， 去括号，得． 移项，得 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 故答案为：． 任务三：把解方程的结果代入原方程进行检验 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． 任务一：①根据等式的基本性质，进行作答即可；②从第三步开始出错，具体的错误是移项时没有变号； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤进行解答即可； 任务三：根据提高解方程的正确性提出建议即可． 【详解】任务一：填空：①第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：移项，等式的基本性质 ②从第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号． 任务二：略 任务三：建议是把解方程的结果代入原方程进行检验． 故答案为：把解方程的结果代入原方程进行检验 19. 已知是方程组的解，那么的值为多少？ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查方程组的解，根据方程组的解满足方程代入得到新方程组，求出a、b的值，再代入所求代数式即可得到答案． 【详解】解：将代入原方程组得， ， 即：， 由得：，∴; 将代入②得：， 解得：， ∴ ∴． 20. 对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题： （1）求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【小问1详解】 根据题中的新定义得： 【小问2详解】 根据题中的新定义得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能灵活运用有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． 21. 某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．若大长方形的长和宽分别为和，求小长方形的长和宽． 【答案】长米，宽5米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，能够在图形中找到隐含等量关系式是解决问题的关键．设小长方形的长和宽分别为x米、y米，根据图形中隐含的等量关系列出方程组并解之即可得解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为x米、y米， 根据图形可得，， 解得：． 故小长方形的长和宽分别为米，5米． 22. 以下是两张不同类型火车的车票（“”表示动车，“”表示高铁）： 请根据车票中的信息，解答下列问题： （1）两车行驶方向________，出发时刻________（填“相同”或“不同”）； （2）已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ （3）在（2）的条件下，求高铁出发多长时间后，动车在高铁前面处． 【答案】（1）相同，不同 （2）高铁的平均速度是，动车的平均速度是 （3）1.5小时 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键； （1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同，但出发时间分别是与，所以出发时刻不同； （2）设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为，而两车同时到达终点，于是可列方程，解方程即可求出高铁和动车的平均速度； （3）设在高铁出发小时后，动车在高铁前面处，于是可列方程解方程，即可求出高铁和动车的平均速度； 【小问1详解】 解：车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同； 两车出发时间分别是与，所以出发时刻不同； 故答案为：相同，不同． 【小问2详解】 设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为， 则：， 解之得：， ， 答：该高铁的平均速度是，动车的平均速度是． 【小问3详解】 设在高铁出发小时后，动车在高铁前面处， 依题意得：， 解得， 答：高铁出发1.5小时后，动车在高铁前面处． 23. 某服装店用20000元购进甲，乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价，标价如表所示： 类型价格 甲型 乙型 进价（元/件） 40 50 标价（元/件） 60 80 （1）求这两种服装各购进的件数； （2）如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？ 【答案】（1）甲250件；乙200件 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）设种服装购进件，种服装购进件，由总价单价数量，总件数甲的数量+乙的数量，建立方程组求出其解即可； （2）分别求出打折后的价格，总利润=打折后种服装的利润+打折后中服装的利润，求出其解即可． 【小问1详解】 解：设种服装购进件，种服装购进件，由题意，得 ， 解得：． 答：种服装购进250件，种服装购进200件； 【小问2详解】 由题意，得： （元）． 答：全部售完后，服装店共盈利3200元． 24. 材料：在学习绝对值时，我们知道了表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示5和在数轴上对应的两点之间的距离． 若点A，点B在数轴上分别表示数a和数b，则点A，点B之间的距离可表示为． 根据材料内容，完成下面问题： 已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，2，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x． （1）如果点P，点B之间的距离等于1，那么　　； （2）如果，那么　　； （3）若点P以每秒5个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动　　秒时，点P到点E，点F的距离相等． 【答案】（1）1或3； （2） （3）或2 【解析】 【分析】（1）根据题目列式求解即可； （2）分类讨论，根据的范围进行求解即可； （3）设运动t秒时，点P到点E，点F的距离相等，列式求解即可． 【小问1详解】 依题意有，解得：或3． 故答案为：1或3； 【小问2详解】 当时，有，方程无解； 当时，有，解得； 当时，有，方程无解． 故答案为：； 【小问3详解】 设运动t秒时，点P到点E，点F的距离相等，根据题意得：， 解得：，． 故运动或2秒时，点P到点E，点F的距离相等． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，数轴上两点间的距离等，能熟练用绝对值表示数轴上对应的两点之间的距离是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第八十九中学4月份大练习（7年）数学试卷 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 方程，去分母是（ ） A. B. C. D. 5. 将二元一次方程改写成用含x的代数式表示y的形式，下面正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a、b满足方程组，则a+b的值为( ) A. 2 B. 4 C. —2 D. —4 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为、，根据题意所列的方程组应为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 当____时，代数式的值是5． 10. 若，则______． 11. 若方程的解也是关于的方程的解，则的值为__________ 12. 若是一元一次方程，则的值是___________． 13. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，___________． 14. 某超市推出如下优惠方案：①购物款不超过 200 元不享受优惠；②购物款超过 200 元但不超过 600 元一律享受九折优惠；③购物款超过 600 元一律享受八折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款 168 元、423 元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款______元． 三、解答题（共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解下列方程组： （1）； （2）． 17. 已知，当时，；当时，． （1）求k、b的值； （2）当时，求x的值． 18. 下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边同除以5．得，第五步 任务一：填空：①第三步进行的是______，这一步的依据是______； ②从第 步开始出现错误，具体的错误是______． 任务二：请写出正确的解方程的过程； 任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议______． 19. 已知是方程组的解，那么的值为多少？ 20. 对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题： （1）求的值； （2）若，求x的值． 21. 某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．若大长方形的长和宽分别为和，求小长方形的长和宽． 22. 以下是两张不同类型火车的车票（“”表示动车，“”表示高铁）： 请根据车票中的信息，解答下列问题： （1）两车行驶方向________，出发时刻________（填“相同”或“不同”）； （2）已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ （3）在（2）的条件下，求高铁出发多长时间后，动车在高铁前面处． 23. 某服装店用20000元购进甲，乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价，标价如表所示： 类型价格 甲型 乙型 进价（元/件） 40 50 标价（元/件） 60 80 （1）求这两种服装各购进的件数； （2）如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？ 24. 材料：在学习绝对值时，我们知道了表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示5和在数轴上对应的两点之间的距离． 若点A，点B在数轴上分别表示数a和数b，则点A，点B之间的距离可表示为． 根据材料内容，完成下面问题： 已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为，0，2，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x． （1）如果点P，点B之间的距离等于1，那么　　； （2）如果，那么　　； （3）若点P以每秒5个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动　　秒时，点P到点E，点F的距离相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $