精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市东胜区第一中学2024-2025学年下学期八年级第一次月考数学试题

东胜区第一中学初二数学阶段性知识反馈 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中不能再化简的二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中、、所对的边分别是、、，下列条件不能使是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，正方形的面积为13，，，，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图，菱形ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于_________ cm． 10. 如图，在矩形中，，是上的一点，将矩形沿折叠后，点落在边的点上，则的长为_________. 11. 在中，，若点P在边上移动，则的最小值是_______． 12. 如图，在菱形中，是边上一点，且，有下列结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④，其中结论正确的有_______． 三、解答题（共64分） 13. 计算： （1）； （2）； （3）． 14. 如图，是等腰三角形的底边上的高，O是的中点，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求证：四边形是正方形． 15. 如图，四边形是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个四边形花坛，其四个顶点恰好在菱形各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/，请问需投资金多少元？（结果保留根号） 16. 图①是一种手机平板支架放在桌面上，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，若，时，求点到桌面的距离（计算结果精确到个位）（参考数据：，） 17. 请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 18. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东胜区第一中学初二数学阶段性知识反馈 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件，解不等式得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 2. 下列二次根式中不能再化简的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法和乘法，除法运算，根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 在中、、所对的边分别是、、，下列条件不能使是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，灵活运用直角三角形的定义及勾股定理的逆定理是解决问题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴ ， 故是直角三角形； B、∵， 不妨设，，，此时，而， 即，故是直角三角形； C、∵，， ∴ ， 故不是直角三角形； D、∵， 不妨设，，，此时， 即，故是直角三角形； 故选：C． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是解答的关键．根据这些判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法正确，符合题意； D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：A． 7. 如图，已知，，，，分别以的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和为，再求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 以的三条边为直径作半圆， ∴阴影部分的面积之和为 ． 故选：D． 8. 如图，正方形的面积为13，，，，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，证明，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图，菱形ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于_________ cm． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形ABCD的周长为32cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为32cm， ∴，AC⊥BD， ∵E是AD的中点， ∴cm． 故答案是：4． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质，解题的关键是熟记相关性质并灵活运用． 10. 如图，在矩形中，，是上的一点，将矩形沿折叠后，点落在边的点上，则的长为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】首先求出DF的长度，进而求出AF的长度；根据勾股定理列出关于线段AE的方程即可解决问题． 【详解】设AE=x, 由题意得： FC=BC=10，BE=EF=8-x； ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=90°，DC=AB=8， 由勾股定理得： DF2=102-82=36， ∴DF=6，AF=10-6=4； 由勾股定理得： EF2=AE2+AF2， 即（8-x）2= x2+42 解得：x=3， 即AE=3. 故答案为3． 【点睛】该命题以正方形为载体，以翻折变换为方法，以考查勾股定理、全等三角形的性质为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断或解答． 11. 在中，，若点P在边上移动，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，三角形的面积公式等，掌握垂线段最短是解题的关键． 由题意知：当时，最小，过A点作，根据等腰三角形底边三线合一的性质求出长，再利用等面积转换列出等式即可求解． 【详解】解：由题意知：当时，最小， 如图：过A点作， 又， , 由勾股定理得：, , 即, ． 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，是边上一点，且，有下列结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④，其中结论正确的有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】首先连接BD，易证，然后可证得DE=DF，AE=BF，，即可得到是等边三角形，然后可通过等量代换，可证得． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AE，∠ADB=∠ADC，ABCD， ∵∠A=60， ∴∠ADC=120，∠ADB=60， 同理：∠DBF=60， 即∠A=∠DBF， ∴是等边三角形， ∴AD=BD， ∵∠ADE+∠BDE=60，∠BDE+∠BDF=60， ∴∠ADE=∠BDF， 在与中， ， ∴， ∴DE=DF，AE=BF，故①正确； ∵∠EDF=60， ∴是等边三角形，故②正确； ∵∠DEF=60， ∴∠AED+∠BEF=120， 而∠AED+∠ADE=180-∠A=120， ∴∠ADE=∠BEF， 故④正确； ∵AE=BF， 同理BE=CF，但BE不一定等于BF， 故③错误． 综上所述：结论正确的有①②④． 【点睛】本题考查菱形与三角形的综合，涉及的知识点有全等三角形以及等边三角形的判定，正确作出辅助线是顺利解题的关键． 三、解答题（共64分） 13. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先运用完全平方公式和平方差公式计算乘法，再合并同类二次根式即可； （3）先计算负指数幂和绝对值，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 14. 如图，是等腰三角形的底边上的高，O是的中点，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵是等腰三角形底边上的高， ∴，，， ∴D为的中点， 又∵O是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2） 证明：∵是等腰三角形底边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】（1）由是等腰三角形底边上的高，可得，，，即D为的中点，则，证明四边形是平行四边形，由，，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15. 如图，四边形是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个四边形花坛，其四个顶点恰好在菱形各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/，请问需投资金多少元？（结果保留根号） 【答案】需投资金元 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的性质、证明四边形是矩形是解题的关键． 连接，，相交于点O，根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形，求出矩形的边长即可解决问题． 【详解】解，连接，，相交于点O， ∵四边形是菱形，，且其周长为m， ∴m， ， ， ∴是等边三角形， ∴m，， ∵， ∴m，， ∴m， ∴对角线 m，m， ∵E、F、G、H是菱形各边的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴m，m， ∴矩形的面积为()． 即需投资金为(元) 答：需投资金为元． 16. 图①是一种手机平板支架放在桌面上，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，若，时，求点到桌面的距离（计算结果精确到个位）（参考数据：，） 【答案】点到桌面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用； 过点，作，过点作于点，根据可得，然后求出和，在中，解直角三角形求出，然后可得答案． 【详解】解：过点，作，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点到桌面的距离为． 17. 请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： （1）如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （4）请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【答案】（1） （2）2 （3）D （4） 解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； 【小问2详解】 解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． 【小问3详解】 解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； 【小问4详解】 略 18. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意得：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）当时，四边形能够成为菱形； （3）当t为或12时，为直角三角形． 分三种情况： ①当时，如图，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当时，如图4， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则， ∴， ③当不成立； 综上所述：当t为或12时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论． （1）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题． （2）根据（1）的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别确定等量关系列方程可以求出t的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形，理由是：如图， 由（1）得： 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形能够成为菱形； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $