辽宁省大连市第八十中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连八十中八年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.下列计算中，结果错误的是（　　） A. += B. 5-2=3 C. ÷= D. （-）2=2 3.点M（4，-3）关于原点对称的点的坐标为（　　） A. （-4，3） B. （-4，-3） C. （4，-3） D. （-3，4） 4.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD，下列说法不一定正确的是（　　） A. ∠ABD=∠ADB B. △ABC≌△ADE C. ∠DAC=∠CAB D. AE=AC 5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为（　　）cm2. A. 36 B. 18 C. 81 D. 27 6.我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c.下列各组数中，满足a,b,c关系的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，7，8 C. 3，4，5 D. 5，10，13 7.根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A. ​​​​​​​ B. C. ​​​​​​​ D. 8.阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 已知：如图1，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点. 求证：DE∥BC，且. 证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，… 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图2，先证明ADECFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形. 乙：如图3，连接DC，AF.先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形. 下列判断正确的是（　　） A. 甲思路正确，乙思路错误 B. 甲思路错误，乙思路正确 C. 甲、乙两人思路都正确 D. 甲、乙两人思路都错误 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A. AB=BE B. C. △ACE是等腰三角形 D. 10.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF.点P是EE的中点，连接CP，DP，AP，若AE=AF，∠CPD=α，则∠PAB的度数为（　　） A. α-45° B. 135°-α C. 2α-135° D. 180°-α 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥数轴，AB=1个单位长度，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是______. 12.计算的结果等于______. 13.如图，三角形OAB绕点O逆时针旋转75°到三角形OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD= ______. 14.如图，菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则CD边上的高AE= ______. 15.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F.若AE=15，CF=5，则AF的长是______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分) 计算： （1）； （2）. 17.(本小题8分) 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO=CO．求证：四边形AECF是平行四边形． 18.(本小题8分) 为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m．求出该空地的面积． 19.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=50°.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△DBE，使点E落在边AB上，连接AD，求∠ADE的度数. 20.(本小题8分) 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》.中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索OA的长度. 21.(本小题10分) 数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为54cm2，长、宽、高的比为6：3：1. （1）计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）把这个长方体的高的值在数轴上表示出来； （3）连接AC′，则AC′的长度是______cm.（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线） 22.(本小题12分) 综合与探究 【问题情境】四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E. 【猜想证明】（1）如图1，过点A作AF⊥CD于点F.求证：AE=AF； 【深入探究】（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H. ①如图2，当AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N.猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当GH与CD垂直时，GH分别与AD，CD交于点M，N.若AB=10，BE=8，画出相应图形并求出NH的长. 23.(本小题13分) 实践操作 在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原. 初步思考 （1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）. 当点P与点A重合时，∠DEF= ______°；当点E与点A重合时，∠DEF= ______°； 深入探究 （2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD的边长. 拓展延伸 （3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）.在折叠过程中，是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由. ​ 1.【答案】  【解析】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误； B、原式=3，所以B选项的计算正确； C、原式==，所以C选项的计算正确； D、原式=2，所以D选项的计算正确． 故选：A． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 本题考查了二次根式的混合计算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3.【答案】  【解析】解：由M（4，-3）关于原点对称的点N的坐标是（-4，3）， 故选：A． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 4.【答案】  【解析】解：由条件可知△ABC≌△ADE，AB=AD，AE=AC， ∴∠ABD=∠ADB． 但∠DAC不一定等于∠CAB． 故选：C． 根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，AB=AD，AE=AC，即可得到答案． 本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图， 由勾股定理可得：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形E的面积，正方形C的面积+正方形D的面积=正方形F的面积，正方形E的面积+正方形F的面积=正方形G的面积， ∴正方形A，B，C，D的面积之和=92=81cm2， 故选：C． 以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理的几何意义可直接解答． 本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 6.【答案】  【解析】解：∵a2+b2=c2， ∴A中、42+52≠62，故不符合题意； B中，52+72≠82，故不符合题意； C中，32+42=52，故符合题意； D中，52+102≠132，故不符合题意； 故选：C． 根据勾股定理即可得到结论． 本题主要考查勾股定理的证明，解题的关键是求出a2+b2的值． 7.【答案】  【解析】解：A、∵AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、∵∠ACB=∠DAC=40°， ∴AD∥BC， ∵AB=CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； D、∵∠ACB=∠CAD=40°， ∴AD∥BC， ∵∠ABD=∠BDC=35°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：C． 依据题意，根据平行四边形的判定定理逐个进行分析即可判断得解． 本题主要考查了平行四边形的判定，解题时要熟练掌握平行四边形的判定定理． 8.【答案】  【解析】解：甲：∵E是AC的中点， ∴AE=CE， 在ADE和CFE中， ∴ADECFE（SAS）， ∴AD=CF，∠A=∠ECF， ∴AB∥CF， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD， ∴BD=CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DE∥BC，BC=DF， ∵DE=DF， ∴DE=BC，故甲的思路正确； 乙：∵E是AC的中点， ∴AE=CE， ∵EF=DE， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD∥CF，AD=CF， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD， ∴BD=CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DE∥BC，BC=DF， ∵DE=DF， ∴DE=BC，故乙的思路正确； 故选：C． 甲：证ADE​​​​​​​CFE（SAS），得AD=CF，∠A=∠ECF，则AB∥CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE∥BC，BC=DF，即可解决问题； 乙：证四边形ADCF是平行四边形，得AD∥CF，AD=CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE∥BC，BC=DF，即可解决问题． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，BO=DO=BD， ∵CE∥BD，DC∥BE， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴CE=BD=AC， ∴OB=CE， ∴△ACE是等腰三角形， 故选：D． 由矩形形的性质可得AO=CO=AC，AC=BD，通过证明四边形DBEC是平线四边形，可得BD=CE=AC，得出OB=CE，△ACE是等腰三角形，即可求解． 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接AP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DAB=∠ADC=∠ADF=∠BCD=90°，AB=AD， 在Rt△ABE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠BAE=∠DAF，AE=AF． ∴∠DAF+∠EAD=∠EAF=90°． ∵AE=AF，点P是EE的中点， ∴AP=EF，AP=EP， ∴∠PEA=∠PAE=45°， ∴CP=PF=EF， ∴AP=CP， 在△APD与△CPD中， ， ∴△APD≌△CPD（SSS）， ∴∠DAP=∠DCP，∠ADP=∠CDP，∠APD=∠CPD=α． ∵∠ADC=90°， ∴∠CDP=∠ADP=45°， ∴∠DAP=∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=135°-α， ∴∠PAB=∠BAD-∠DAP=90°-135°+α=α-45°， 故选：A． 根据正方形的性质证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），△APD≌△CPD（SSS），根据三角形内角和定理，即可解决问题． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．综合运用以上知识点是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：∵AB⊥数轴， ∴∠OAB=90°， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴OA=3， ∵AB=1， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 根据题意求出，即可得到答案． 本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：==18， 故答案为：18． 先根据平方差公式计算被开方数，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：∵三角形OAB绕点O逆时针旋转75°到三角形OCD的位置，∠AOB=45°， ∴∠AOC=75°，∠COD=∠AOB=45°， ∴∠AOD=∠AOC-∠COD=75°-45°=30°， 故答案为：30°． 利用旋转的性质可得∠AOC=75°，∠COD=∠AOB=45°，然后利用角的和差列式计算即可． 本题考查旋转的性质，结合已知条件求得∠AOC，∠COD的度数是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由条件可知，，AC⊥BD， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 先根据菱形的性质求出CD长，然后根据解题即可． 本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 15.【答案】  【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC，∠B=DAB=90°， ∴∠BAF+∠FAD=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠FAD+∠ADE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（ASA）， ∴BF=AE=15， ∵CF=5， ∴BC=BF+CF=20， ∴AB=BC=20， 在Rt△ABF中，AB=20，BF=15， 由勾股定理得：AF==25． 故答案为：25． 先证明△BAF和△ADE全等得BF=AE=15，则AB=BC=20，然后在Rt△ABF中，由勾股定理即可求出AF的长． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 16.【答案】  【解析】（1） =3-+2 =； （2） =12-4+1-12+18 =19-4． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后计算加减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO=EO，再由AO=CO，即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 18.【答案】  【解析】连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 19.【答案】  【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=50°， ∴∠ABC=180°-∠C-∠BAC=40°． 由旋转的性质，可得AB=DB，∠BAC=∠BDE=50°，∠ABC=∠DBE=40°， ∴， ∴∠ADE=∠BDA-∠BDE=20°． 由旋转得BA=BD，通过等腰三角形及直角三角形可求∠ADE度数． 此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角． 20.【答案】  【解析】解：设OA=OB=x尺， ∵EC=BD=5尺，AC=1尺， ∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺， 在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺， 根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102， 整理得：8x=116， 即2x=29， 解得：x=14.5， 则秋千绳索的长度为14.5尺． 设OA=OB=x尺，用x表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 21.【答案】  【解析】（1）设：长方形的高为x cm,则长为6x cm,宽为3x cm. 根据题意，得：6x•3x=54， ∴x=． ∴6x=6，3x=3． 答：长方形的长、宽、高分别为6cm、3cm、cm； （2）如图所示： （3）AC′2=（6）2+（3）2+（）2=138（cm）， ∴AC′=cm, 答：AC′的长度是cm, 故答案为：． （1）设每一份为x,列方程即可解决； （2）根据题意在数轴上表示出3即可； （3）利用勾股定理即可得到结论． 本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22.【答案】  【解析】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE=AF； （2）解：①线段CH与MD的数量关系是：CH=MD，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D， 由旋转的性质得：AB=AH，∠B=∠H， ∴AH=AD，∠H=∠D， 在△AHM和△ADC中， ， ∴△AHM≌△ADC（ASA）， ∴AM=AC， ∴AH-AC=AD-AM， ∴CH=MD； ②依题意有以下两种情况： （ⅰ）当点N在线段CD上时，过点A作AP⊥CD于点P，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AP⊥CD， ∴∠AEB=∠APD=90°， 在△ABE和△ADP中， ， ∴△ABE≌△ADP（AAS）， ∴AE=AP， 在Rt△ABE中，AB=10，BE=8， 由勾股定理得：AE==6， ∴AP=6， ∵GH⊥CD，AP⊥CD， ∴∠APD=∠PNG=90°， 由旋转的性质得：∠G=∠AEB=90°，HG=BE=8， ∴∠APD=∠PNG=∠G=90°， ∴四边形APNG是矩形， ∴NG=AP=8， ∴NH=HG-NG=8-6=2； （ⅱ）当点N在DC的延长线上时，过点A作AK⊥CD于点K，如图2所示： 由旋转的性质得：GH=BE=8，AG=AE=6，AB=AH=10，∠B=∠H， ∠AGH=∠AEB=90°， 同理可证明：△ABE≌△ADK（AAS）， ∴AK=AE=6， ∵GH⊥CD，AK⊥CD，∠AGH=∠AEB=90°， ∴∠GNK=∠AKN=∠AGN=90°， ∴四边形AGNK是矩形， ∴NG=AK=6， ∴NH=NG+GH=6+8=14． 综上所述：线段NH的长度为2或14． （1）根据垂直的定义得到∠AEB=∠AFD=90°，根据菱形的性质得到∠B=∠D，AB=AD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AE=AF； （2）①根据菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，再由旋转的性质得AB=AH，∠B=∠H，则AH=AD，∠H=∠D，由此可判定△AHM和△ADC全等，则AM=AC，进而可得出线段CH与MD的数量关系；②分以下两种情况进行讨论：（ⅰ）当点N在线段CD上时，过点A作AP⊥CD于点P，证明△ABE和△ADP全等得AE=AP=6，再证明四边形APNG是矩形得NG=AP=88，由此可得NH的长；（ⅱ）当点N在DC的延长线上时，过点A作AK⊥CD于点K，同理证明△ABE和△ADK全等得AK=AE=6，再证明四边形AGNK是矩形得NG=AK=6，由此可得NH的长，综上所述即可得出答案． 此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，图形的旋转变换及其性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，图形的旋转变换及其性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 23.【答案】  【解析】初步思考 （1）当点P与点A重合时，如图1， ∴EF是AD的中垂线， ∴∠DEF=90°， 当点E与点A重合时，如图2， 此时∠DEF=∠DAB=45°， 故答案为：90，45； 深入探究 （2）当点E在AB上，点F在DC上时，如图3， ∵EF是PD的中垂线， ∴DO=PO，EF⊥PD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB， ∴∠FDO=∠EPO， ∵∠DOF=∠EOP， ∴△DOF≌△POE（ASA）， ∴DF=PE， ∵DF∥PE， ∴四边形DEPF是平行四边形， ∵EF⊥PD， ∴▱DEPF为菱形， 当AP=时，设菱形的边长为x,则AE=-x,DE=x, 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD2+AE2=DE2， ∴32+（-x）2=x2， ∴x=， ∴时的菱形EPFD的边长为：； 拓展延伸 （3）存在， 情况一：如图4，连接EM， ∵DE=EP=AM， ∴△EAM≌△MPE（HL）， 设AE=x,则AM=DE=3-x,则BM=x+1， ∵MP=EA=x,CP=CD=4， ∴MC=4-x, ∴（x+1）2+32=（4-x）2， 解得：x=； 情况二，如图5， ∵DE=EP=AM， ∴△GAM≌△GPE（AAS）， 设AE=x,则DE=3-x,则AM=PE=DE=3-x,MP=AE=x, 则MC=MP+PC=x+4，BC=3，BM=7-x, ∴（7-x）2+32=（x+4）2， 解得：x=， 综上，线段AE的长为：或． 初步思考（1）当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，∠DEF=90°，当点E与点A重合时，此时∠DEF=∠DAB=45°； 深入探究（2）当点E在AB上，点F在DC上时，EF是PD的中垂线，DO=PO，EF⊥PD，四边形ABCD是矩形，△DOF≌△POE（ASA），DF=PE，四边形DEPF是平行四边形，EF⊥PD▱DEPF为菱形，当AP=时，设菱形的边长为x,则AE=-x,DE=x,由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，进而求得AP； 拓展延伸（3）情况一：DE=EP=AM，△EAM≌△MPE，设AE=x,则AM=DE=3-x,则BM=x+1，（x+1）2+32=（4-x）2，求得AE；情况二，DE=EP=AM，△GAM≌△GPE，设AE=x,则DE=3-x,则AM=PE=DE=3-x,MP=AE=x,（7-x）2+32=（x+4）2，求得AE． 本题考查三角形全等，折叠，矩形的性质综合题，解题的关键是是对问题的分类讨论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$