精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

集宁二中2024-2025学年第二学期阶段性质量检测 八年级数学 （分值100分 时间90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A x＞﹣3且x≠0 B. x＞﹣3 C. x≥﹣3 D. x≠﹣3 4. 平行四边形中一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ） A. 4cm和6cm B. 20cm和30cm C. 6cm和8cm D. 8cm和12cm 5. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　） A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm 6. 如果，那么化简（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在矩形纸片中，已知，叠纸片使点B落在对角线上的点F处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 9. 计算的结果是_______． 10. 如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（　　） A. 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm 12. 若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则_______． 三、计算题（本大题共2小题，共10分） 13. 计算： （1）． （2） 四、解答题（本大题共5小题，共54分） 14. 已知a＋＝1＋，求a2＋的值． 15. 若，化简． 16. 如图，一架长梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 17. 已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 18. 在四边形中，，点P从点A出发，沿折线方向以速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段方向以的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）求的长； （2）当四边形为平行四边形时，求四边形周长； （3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集宁二中2024-2025学年第二学期阶段性质量检测 八年级数学 （分值100分 时间90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】A、∵32+42=52， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42， ∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞﹣3且x≠0 B. x＞﹣3 C. x≥﹣3 D. x≠﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不为0列式计算即可． 【详解】解：∵函数y＝， ∴，解得：x＞﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查函数基本知识，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件． 4. 平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ） A. 4cm和6cm B. 20cm和30cm C. 6cm和8cm D. 8cm和12cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断． 【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断： A．三条线段为2cm，3cm，10cm， 根据三角形的三边关系可知： ∵2+3＜10， ∴不能构成三角形，不符合题意； B．三条线段为10cm，10cm，15cm， ∵10+10＞15， ∴ 能构成三角形，符合题意； C．三条线段为3cm，4cm，10cm， ∵3+4＜10， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； D．三条线段为4cm，6cm，10cm， ∵ 4+6＝10， ∴ 不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】主要考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，要掌握平行四边形的构造，一边与两条对角线的一半构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断． 5. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　） A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm 【答案】D 【解析】 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图： ， 在中， 根据勾股定理得： ， 所以它爬行的最短路程为． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于把圆柱侧面展开去构建直角三角形. 6. 如果，那么化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 由，可得，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】， ， ． 故选：D． 7. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案． 【详解】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：，即 则点A表示的数为 故答案为D 【点睛】本题考查勾股定理及两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键． 8. 如图所示，在矩形纸片中，已知，叠纸片使点B落在对角线上的点F处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据矩形的性质和翻折的性质，推出，利用勾股定理求出，设，利用勾股定理列方程求的值即可． 【详解】四边形矩形，， ，， 是翻折而成， ，，， ，， 由勾股定理得， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得． ． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 9. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC=2DE=5，AC∥DE， AC2+BC2=52+122=169， AB2=132=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵AC∥DE， ∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC垂直平分线， ∴DC=BD， ∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18， 故答案为18． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（　　） A 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵平行四边形ABCD ∴OA+OB=（BD+AC）=9cm 又∵△AOB的周长为13cm， ∴AB=CD=4cm， 又∵CD：DA=2：3， ∴BC=AD=6cm 故选A． 12. 若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 三、计算题（本大题共2小题，共10分） 13. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先把除法化为乘法运算，再计算即可； （2）先计算二次根式的乘除运算，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（本大题共5小题，共54分） 14. 已知a＋＝1＋，求a2＋的值． 【答案】 【解析】 【分析】直接把原等式的两边平方，化简后即可求解. 【详解】∵， ∴a2＋ ＝－2 ＝(1＋)2－2 ＝9＋2. 15. 若，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度； （2）如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】（1） （2）梯子的底端B在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 17. 已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析. 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得，再结合平行四边形对角线互相平分即可得出结论； （2）由，即可得出四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论. 小问1详解】 证明：∵，是的中点， ， 在和中， ， ∴， ． 又∵在平行四边形中，， ∴， 【小问2详解】 当时，四边形是矩形， 理由：∵， 四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形， 18. 在四边形中，，点P从点A出发，沿折线方向以的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段方向以的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）求的长； （2）当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； （3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16cm；（2）；（3）秒或秒 【解析】 【分析】（1）过作于，得出平行四边形，求出，根据勾股定理求出即可； （2）根据平行四边形的对边相等得出方程，求出即可； （3）分为三种情况，根据题意画出符合条件的所有图形，根据三角形的面积得出方程，求出符合范围的数即可． 【详解】解：（1）如图1， 过作于， 在四边形中，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ； （2）如图2， 当四边形平行四边形时，， 即， 解得， 此时，，， 所以； 即四边形的周长是； （3）当在上时，如图3， 即， ， 解得； 当在上时，如图4，即， ，、 此方程没有实数解； 当在上时： 若点在点的右侧，如图5，即， ， 解得，不合题意，应舍去； 若在的左侧，如图6，即， ， 解得； 综上所述，当秒或秒时，的面积为． 【点睛】本题考查了梯形性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$