四川省泸州市龙马高中2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

绝密★启用前 2024-2025学年四川省泸州市龙马高中九年级（下）第一次月考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A. B. C. D. 2.经专家测算，北京的网络速度基本上能够保证在  左右，最高峰值时曾达到  ，将  用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.函数中，自变量的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 5.点与点关于轴对称，则点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到个班学生每天的平均睡眠时间单位：小时分别为：，，，，，则这组数据的中位数为(    ) A. B. C. D. 7.关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围(    ) A. B. 且 C. D. 且 8.已知正六边形的边长为，则它的内切圆半径为(    ) A. B. C. D. 9.已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为(    ) A. B. C. D. 11.如图，正方形的边长为，对角线、交于点，点、为边上的三等分点，连接，，分别交于点、，则的长为(    ) A. B. C. D. 12.若函数图象上存在点满足，且为常数，则称点为这个函数的“优和点”例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“优和点”若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.分解因式：______． 14.把一个半径为的圆片，剪去一个圆心角为的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥，那么这个圆锥的高为______． 15.若分式方程的解为非负数，则的取值范围是______． 16.如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接若，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 化简：． 19.本小题分 如图：在中，点为边上的中点，连接，点为线段上的一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． 20.本小题分 某校将举行跳绳比赛，需要购买、两种跳绳已知每根种跳绳的单价比种跳绳的单价少元，元购买种跳绳的数量与元购买种跳绳的数量相等． 求购进一根种跳绳和一根种跳绳各需多少元？ 设购买种跳绳根，若学校计划购买，两种跳绳共根，且购买种跳绳的数量不超过种跳绳的数量的倍，请设计出最省钱的购买方案． 21.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． 求该反比例函数的表达式； 过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若：：，求的长． 是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 22.本小题分 如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端点的仰角为，再从点出发沿斜坡走到点处，测得大树顶端点的仰角为；点到地面的距离是若斜坡的坡度：点，，在同一水平线上求大树的高度结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比 23.本小题分 已知：如图，在中，，，是的直径，于点． 求证：是的切线． 若，，求的长． 在的条件下，求的面积． 24.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点． 直接写出，，三点的坐标； 如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求线段的最大值； 如图，点在线段上点不与点重合，点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 2.【答案】  【解析】解：将  用科学记数法表示为． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.【答案】  【解析】【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【解答】 解：从上面看，是一个矩形． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：已知函数， 则且， 解得：且， 故选：． 根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：点与点关于轴对称， ，， 则点在第三象限． 故选：． 直接利用关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等进而得出答案． 此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，， 所以这组数据的中位数为． 故选：． 根据中位数的定义解答即可． 本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数． 7.【答案】  【解析】解：由题知， 方程可化为． 因为此方程有两个实数根， 所以， 解得． 又因为， 所以的取值范围是：且． 故选：． 利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图，连接、，过点作于， 六边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ，， 边长为的正六边形的内切圆的半径为， 故选：． 连接、，过点作于，根据正六边形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，再根据正弦的定义计算，得到答案． 此题主要考查了正多边形和圆以及特殊角的三角函数值，正确应用正六边形的性质是解题关键． 9.【答案】  【解析】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 关于的不等式组有且只有个整数解，即，，。 ， 故选：． 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：． 首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：四边形是边长为的正方形， ，，， ， 点、为边上的三等分点， ，， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， 故选：． 由正方形的性质得，，，则，因为点、为边上的三等分点，所以，，再证明∽，得，则，再证明∽，得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得： ； 整理得：，； 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 关于的二次方程：，要有唯一解， ，且，解得：，切， ； 由，显然时，等式不成立，可得，即， ； 综上，的取值范围为或． 故选：． 设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意联立关于的二次方程，再求值即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 13.【答案】  【解析】解：原式， 故答案为：． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解可得． 本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解． 14.【答案】  【解析】解：圆锥的底面圆的周长； 设半径为，则有， 解得； 根据勾股定理得到：锥高， 故答案为：． 利用勾股定理得出的值即可，以及把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 15.【答案】且  【解析】【分析】 本题考查了解分式方程和分式方程的解，能根据题意求出关于的不等式是解此题的关键． 先解分式方程，求出方程的解，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】 解：， 方程两边都乘以得：， 解得：， 分式方程的解为非负数， 且， 解得：且， 故答案为且． 16.【答案】  【解析】解：连接，将绕逆时针旋转的，连接，，如图： ，， ， ，，共线， ， 由旋转性质得，， 在≌中 ≌， ， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧， ，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 连接，将绕逆时针旋转的，连接，，证明≌，得，故的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧，求出，可得，由，知，从而可得的最小值为． 本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题． 17.【答案】解： ．  【解析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18.【答案】解：原式 ．  【解析】根据分式的混合运算法则计算即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 19.【答案】证明：， ， 为的中点， ， 在和中 ， ≌， ．  【解析】由已知条件“过点、作及其延长线的垂线”易证两个直角相等；再由是中线知，对顶角与相等，利用“”来证明≌；最后根据全等三角形的对应边相等来证明． 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的判定定理在同一平面内，垂直于同一条线段的两条直线平行证明，然后通过平行线的性质两直线平行，内错角相等求得才能构建是全等三角形≌． 20.【答案】购进一根种跳绳需元，一根种跳绳需元；   最省钱的购买方案为：购买种跳绳根，种跳绳根．  【解析】设购进一根种跳绳需元，则购进一根种跳绳需元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元． 答：购进一根种跳绳需元，一根种跳绳需元； 设购买种跳绳根，种跳绳根，购买两种跳绳共花费元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 购买种跳绳的数量不超过种跳绳的数量的倍， ， 解得：， 当时，取最小值，此时根， 最省钱的购买方案为：购买种跳绳根，种跳绳根． 设购进一根种跳绳需元，则购进一根种跳绳需元，利用数量总价单价，结合元购买种跳绳的数量与元购买种跳绳的数量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即购进一根种跳绳所需费用，再将其代入中，即可求出购进一根种跳绳所需费用； 设购买种跳绳根，种跳绳根，购买两种跳绳共花费元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，由购买种跳绳的数量不超过种跳绳的数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 21.【答案】反比例函数的表达式为．  ；   的坐标为．  【解析】点在直线上， ，则， 点， 点在双曲线上， ， 该反比例函数的表达式为． 由，得， 或， 当时，；时，， 点， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ， ∽， ， ， ． 点在双曲线上， ，且， 在中，，， ； 作点关于轴的对称点，作直线交轴于， 则， 此时最大， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 的坐标为． 待定系数法求解析式即可； 求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证∽，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解； 由题意作点关于轴的对称点，作直线交轴于，此时的值最大． 本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数图象的性质，相似三角的判定和性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识是解题的关键． 22.【答案】．  【解析】解：过点作于点，作于点，如图． 斜坡的坡度：，到地面的距离是，即， ， 设大树的高为， ， 在中， ，，， 在中， ， ， 即， 解得． 经检验：是原方程的根且符合题意． ． 答：大树的高度是． 过点作于点，作于点，设，用含的代数式表示出、，根据列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念． 23.【答案】证明见解析过程；   ；   ．  【解析】证明：如图所示，连接， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； 解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ≌， ，， 在中，， ， 是的直径，， ， ， ， ， ， ； 如图，连接，过点作于，设圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ，， ，， ∽， ，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 如图所示，连接，证明得到，进而推出，由此即可证明是的切线； ：如图所示，连接，根据等边对等角得到，进而推出，证明≌，得到，，解直角三角形求出，根据勾股定理即可得到结论； 连接，过点作于，设圆的半径为，则，利用勾股定理求出，则，证明∽，求出，解直角三角形得到，进而利用勾股定理求出，再根据进行求解即可． 本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24.【答案】，，；   有最大值；  ．  【解析】当时，， ， 当时，， 解得或， ，； 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交直线于点， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值； 设，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 同理可求直线的解析式为， 当时，解得或， ， ， ，， ． 当时，求出，当时，求出，； 过点作轴交直线于点，设，则，再由，得到，当时，有最大值； 设，则，直线与抛物线的交点为，同理可求直线与抛物线的交点为，又由，，即可求． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等面积法求出是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$