辽宁省抚顺市新宾县白家中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

绝密★启用前 2024-2025学年辽宁省抚顺市新宾县白家中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，为非零有理数，，则下列大小关系一定成立的是 A. B. C. D. 2.中国是瓷器的故乡，中国发展史的一个重要组成部分是陶瓷发展史．如图是宋朝汝窑的一个瓷碗，则它的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.下列中国能源企业的图案是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨将数据万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 7.某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮秒，黄灯亮秒，红灯亮秒循环显示．小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是(    ) A. B. C. D. 8.我国古代数学著作九章算术卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出元，则余元；若每人出元，则少元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有人合买，这件物品元，则根据题意列出的二元一次方程组为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知关于的分式方程无解，则的值为        ． 12.如图所示是轰炸机机群的一个飞行队形，如果其中两架轰炸机的平面坐标分别表示为和，那么轰炸机的平面坐标是______． 13.如图，已知，和相交于点，：：，则 ______． 14.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，是抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点且平行于轴的直线交直线于点，则当时，的值是______． 15.如图，中，，，，点是边上一动点，将沿边翻折得到，当与的重叠部分为直角三角形时，则的长是______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.某农场急需铵肥吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司、，公司有铵肥吨，每吨售价元；公司有铵肥吨，每吨售价元，汽车每千米的运输费用单位：元千米与运输重量单位：吨的关系如图所示． 根据图象求出关于的函数解析式包括自变量的取值范围； 若农场到公司的路程是农场到公司路程的倍，农场到公司的路程为千米，设农场从公司购买吨铵肥，购买吨铵肥的总费用为元总费用购买铵肥费用运输费用，求出关于的函数解析式为常数，并向农场建议总费用最低的购买方案． 四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：； 解方程：． 18.本小题分 学校准备购进一批节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元． 求一只型节能灯和一只型节能灯的售价各是多少元； 学校准备购进这两种型号的节能灯共只，并且型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 19.本小题分 某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年天中随机抽取了天的空气质量指数数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：  指数  质量等级  天数天    优    良      轻度污染    中度污染      重度污染    以上  严重污染   统计表中______，______扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占______； 补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？ 据调查，严重污染的天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议． 20.本小题分 如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东方向上． 分别求出与，与之间的距离和如果运算结果有根号，请保留根号． 已知距观测点处海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？参考数据：， 21.本小题分 如图，中，直径弦于，于，交于，连． 求证：；  若，，求的半径． 22.本小题分 【问题初探】 如图，在▱中，，垂足为，点为边的中点，连接，． 求证：． 甲同学的证明思路是：延长，交于点如图，利用全等和直角三角形斜边中线的性质可证出． 乙同学的证明思路是：取的中点，连接交于点如图，证出平分，，即可证出． 请选择一名同学的证明思路，写出证明过程． 【类比分析】 如图，在▱中，点为边的中点，连接，将沿折叠，点落在▱内处，连接并延长交于点求证：． 【拓展应用】 如图，将▱沿过点的直线折叠，点的对应点为，使于点，折痕交边于点，交边于点，若▱的面积为，，，求四边形的面积． 23.本小题分 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． 求函数的“平衡函数”的函数表达式； 如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标； 点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． 若点与点重合，求的值； 若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式； 在的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，，，当为的中点时，请直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了有理数大小比较，特例法是解题的一种方法． 根据有理数大小比较的方法即可求解． 【解答】 解：、当，，时，，不符合题意； B、当，，时，，不符合题意； C、当，，时，，不符合题意； D、因为，所以，符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：从正面看，可得图形如下： 故选：． 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3.【答案】  【解析】解：不是中心对称图形，故不符合题意； 不是中心对称图形，故不符合题意； 不是中心对称图形，故不符合题意； 是中心对称图形，故符合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案． 本题考查了中心对称图形的识别，解本题的关键在熟练掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合，那么这个图形叫中心对称图形． 4.【答案】  【解析】解：，所以运算错误； B.，所以运算正确； C.，所以运算错误； D.与不是同类项，所以不能合并计算，所以运算错误． 故选：． 分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果． 此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图， 由题意得：， ，， ， ． 故选：． 由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 本题主要考查矩形的性质，解答的关键是明确互余的两角之和为，互补的两角之和为． 6.【答案】  【解析】解：万， 故选：． 将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：小明一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率为， 故选：． 直接由概率公式求解即可． 此题考查的是概率公式，熟记概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由题意可得：， 故选：． 根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9.【答案】  【解析】解：，，， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， 故选：． 由，，，得，，再根据旋转的性质可推出为等边三角形，从而得到． 本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值， 根据点的对称性，，则为最小， 故ED， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：负值已舍去， 故选：． 如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，即，即可求解． 本题考查的是动点图象问题，涉及正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 11.【答案】或  【解析】解：， 去分母得：， ， 当，即时，整式方程无解，分式方程也无解； 当，即时，整式方程有唯一解，但是或分式方程无解， 当时，， 当时不存在． 或时分式方程无解． 故答案为：或． 首先去掉分母，然后讨论整式方程无解条件，接着讨论整式方程有解但是分式方程无解条件，由此求出的值． 本题主要考查了分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；整式方程有解但是分式方程产生增根． 12.【答案】  【解析】解：因为和， 所以可得点的坐标为， 故答案为：． 根据和的坐标以及与的关系进行解答即可． 此题考查坐标问题，关键是根据和的坐标以及与的关系解答． 13.【答案】：  【解析】解：， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ：：， 故答案为：：． 由，证明∽，则，得，再由∽，得，即可求得：：． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，由：：，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得是解题的关键． 14.【答案】或或或  【解析】解：当时，，则， 点的横坐标为，轴， ，， ， ， ， ， 当，整理得，解得， 当，整理得，解得，． 综上所述，的值为或或或． 故答案为或或或． 先利用一次函数解析式求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设，，则可利用两点间的距离公式得到，，然后利用得到，讨论：或，然后分别解一元二次方程即可得到的值． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程． 15.【答案】或  【解析】解：由折叠的性质得：≌， ，， 当时，如图： ，，， ， ，即：， 解得：， ，， ，即：， 解得：； 当时，如图： 由图得：， 故答案为：或． 根据直角三角形的性质求解． 本题考查了翻折变换，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】解：当时，设，把代入得，解得，所以； 当，设，把，代入得，解得，所以； ， ， 当时，到公司买吨，到公司买吨，费用最低； 当时，到公司或公司买一样； 当时，到公司买吨，到公司买吨，费用最低．  【解析】利用待定系数法分别求出当和当时，关于的函数解析式； 由于，则到公司的运输费用满足，到公司的运输费用满足，利用总费用购买铵肥费用运输费用得到，然后进行整理，再利用一次函数的性质确定费用最低的购买方案． 本题考查了一次函数的应用：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 17.【答案】   ，．  【解析】解：原式， ， ； 解： ， ， 解得，． 先代入三角函数值、计算绝对值和乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18.【答案】解：设一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元， 根据题意，得：， 解得：， 答：一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元； 设购进型节能灯只，总费用为元， 根据题意，得：， ， 随的增大而减小， 又，解得：， 而为正整数， 当时，， 此时， 答：当购买型灯只，型灯只时，最省钱．  【解析】设一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元，根据：“只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元”列方程组求解即可； 首先根据“型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 19.【答案】；；． 估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：天， 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共天； 补全统计图： 建议不要燃放烟花爆竹．答案不唯一  【解析】解：，， 空气质量等级为“良”的天数占：． 故答案为：，，； 见答案； 见答案． 由占，即可求得的值，继而求得的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比； 首先由补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案； 提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等． 此题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 20.【答案】 解：如图，作， 由题意得：，， 设海里， 在中，； 在中， ， 解得：． ． 在中，，，则． 过点作于点， 设，则， ， 解得：， ． 答：与之间的距离为海里，与之间的距离为海里． 由可知，海里， ， 所以巡逻船沿直线航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．  【解析】作，设海里，则海里．根据，求得的值后即可求得的长；过点作于点，同理求出的长； 作于点，根据的长和的度数求线段的长后与比较即可得到答案． 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答． 21.【答案】证明：与是同弧所对的圆周角， ， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ； 解：，， ， 又， 设，则，，， 连结，则， 是直角三角形，，，， ，解得， ．  【解析】先根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质得出，故可得出，由全等三角形的判定定理得出≌，故可得出结论； 先根据垂径定理求出的长，设，则，，，连结，则，在中根据勾股定理可得出的值，进而得出结论． 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 22.【答案】证明：甲同学的思路：如图，分别延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，， 为的中点， ， ≌， ， 即为的中点， ， ， ， ， ； 乙同学的思路：如图，取的中点，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， 为的中点，为的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， 垂直平分， ； 证明：如图，由翻折可知：，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ， ； 解：如图，过点作于点，过点作于点， 平行四边形的面积为，， ， ． ，， ， ， 四边形为矩形， ，， 将平行四边形沿过点的直线折叠，点的对应点为， ，，． ． ， ， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 四边形的面积 ．  【解析】甲同学的思路：如图，分别延长，相交于点，证明≌，得为的中点，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；乙同学的思路：如图，取的中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，得，然后证明垂直平分，即可解决问题； 由翻折可得，，证出，得四边形为平行四边形，得出； 利用平行四边形的面积公式求得线段，利用矩形的判定与性质得到，利用折叠的性质得到；利用平行四边形的性质，勾股定理求得，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，则可得，利用折叠的性质得到，再利用四边形的面积解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形面积的求法． 23.【答案】解：当时，称函数为函数的“平衡函数”，， 函数的“平衡函数”的函数表达式为， 即； 点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点， 设点，则点， ，点在点的下方， ， 整理得，， 解得，， 点的坐标为或； 由题意得点的坐标为， 点的坐标为， 点与点重合， ， 解得； 当，即时，点在点的上方， ， ； 当，即时，点在点的下方， ， ； 综上，； 如图，把代入得，， 解得，， 即点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， 解得，， 点的横坐标为， 点为的中点， ， 整理得，， 解得．   【解析】根据“平衡函数”的定义解答即可； 设点，则点，根据题意可得，解方程即可求解； 由题意得点的坐标为，点的坐标为，即得，解方程即可求解； 分和两种情况根据三角形的面积公式解答即可求解； 画出函数图象，求出点、、的横坐标，再根据中点坐标公式列出方程即可求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查了新定义函数，求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，理解函数的新定义是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$