湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学2024—2025学年下学期九年级3月考数学试卷

2024-2025学年湖北省武汉市洪山区卓刀泉中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.窗花在中国的传统节日中扮演着重要的角色，如图是同学们设计的窗花作品，其中为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 3.如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（　　） A. 左视图发生变化 B. 俯视图发生变化 C. 主视图发生改变 D. 三个视图都发生改变 4.兆帕是压强的单位，全称为兆帕斯卡.1帕是指1牛顿的力均匀地压在1平方米的面积上所产生的压强，1兆帕=1000000帕，那么340兆帕换算成帕并用科学记数法表示为（　　） A. 34×107帕 B. 3.4×108帕 C. 0.34×109帕 D. 3.4×109帕 5.下列计算正确的是（　　） A. B. （2a-b）2=4a2-b2 C. （-2ab2）3=-6a3b6 D. 6.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上.若∠OBD=55°，则∠AOB的度数为（　　） A. 105° B. 110° C. 120° D. 130° 7.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.为落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程，甲、乙两名同学从“园艺”、“厨艺”、“陶艺”、“木工”4门课程中随机选择一门学习，则甲、乙两人选择同一门课程的概率是（　　） A. B. C. D. 9.如图，AB、AC是⊙O的弦，D是弧AC的中点，E是AB上的一点，连接DC，DE.若，DC=DE，且∠CDE=90°，则⊙O的半径为（　　） A. B. C. D. 9 10.在如图所示的某函数图象上可以找到n个不同的点：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得x1y1=x2y2=⋯=xnyn≠0，则n的最大值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作______元. 12.反比例函数y=的图象在第一、三象限，则点（k,-3）在第______象限. 13.分式方程的解为______. 14.如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=60cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=37°.当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为______cm.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 15.如图，E是正方形ABCD内一点，∠BEC=90°，连接DE，过点A作DE的垂线，垂足为G，连接CG，若DG=9，GE=4，则CG的长为______. 16.抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＜0）经过（1，1），（m,1）两点，且2＜m＜4.下列四个结论：①c＜0；②若0＜x＜1，则a（x+1）2+b（x+1）+c＞1；③若m=3，c＜-1，在抛物线上有且仅有两个点到x轴的距离等于n（n＞0），则n＞；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞，总有y1＜y2，则2＜m≤，其中正确的是______（填写序号）. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 解不等式组，并求出它的所有整数解的和. 18.(本小题8分) 如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若E，F分别是OA，OC的中点. （1）求证：BE=DF； （2）设，当k= ______时，四边形DEBF是矩形.​ 19.(本小题8分) 《简爱》、《唐诗三百首》、《水浒传》、《儒林外史》是武汉市九年级学生必读名著.卓刀泉中学为了了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查.根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了______名学生，调查所得数据的众数是______部，中位数是______部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为______度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）卓刀泉中学九年级有650名学生，估计至少阅读完2部必读名著的学生有多少名？ 20.(本小题8分) 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD、BC交于点E，且OD⊥BC，过点E作EF⊥AB于点F. （1）求证：CE=EF； （2）若BF=2EF，求的值. 21.(本小题8分) 如图是由小正方形组成的6×6网格，四边形ABCD的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条. （1）在图1中，以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的，画出缩小后的四边形AB1C1D1，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长； （2）在图2中，先在AB上画点F，使得CF=BC，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN是平行四边形. 22.(本小题10分) 一次足球训练中，小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以O为原点建立如图所示直角坐标系. （1）求抛物线的解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球. （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是2.25m,小明需要站在至多距离球门多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离，为争取时间避开防守，他采取吊射（即足球越过最高点下落）的方式射门，他最多可以向球门移动______m.（结果精确到0.1m,参考数据：） 23.(本小题10分) 问题提出如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点（点D不与端点重合），BD＜CD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使∠EFD=∠BAC，直线EF与直线AC交于点G.探究线段CG与DE之间的数量关系. 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当点D为BC的中点时，点A、F、G重合，直接写出此时CG与BE的数量关系为______；线段CG与DE的数量关系为______； （2）再探究一般情形，如图1，求线段CG与DE的数量关系； 延伸应用 （3）如图3，EG与AB交于点H，，AH=6，直接写出CD的长为______. 24.(本小题12分) 已知，抛物线y=-x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C. （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）P是第二象限内对称轴左侧抛物线上一点，连接BP交AC于Q，若S△CPQ=S△CBQ，求点P的坐标； （3）过原点的直线交抛物线于点D、E，过点E的直线y=x+b交抛物线于另一点F，若DF⊥EF，求b的值. 1.【答案】  【解析】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】  【解析】解：由题可知， 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是随机事件． 故选：A． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.【答案】  【解析】解：主视图发生变化，上层的小正方体由原来位于左边变为右边； 俯视图和左视图都没有发生变化， 故选：C． 根据三视图的定义求解即可． 本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 4.【答案】  【解析】解：1兆帕=1000000帕， 340兆帕=340000000帕=3.4×108帕． 故选：B． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5.【答案】  【解析】解：a6b÷a-2=a8b,故选项A错误，不符合题意； （2a-b）2=4a2-4ab+b2，故选项B错误，不符合题意； （-2ab2）3=-8a3b6，故选项C错误，不符合题意； a-6b4÷（-a-5b4）=-，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：过点O作OH⊥MN，如图所示： ∵PD⊥CD， ∴OH∥PD， ∴∠HOB=∠OBD=55°， 根据反射角等于入射角得：∠AOH=∠HOB=55°， ∴∠AOB=∠AOH+∠HOB=110°． 故选：B． 过点O作OH⊥MN，由平行线的性质得∠HOB=∠OBD=55°，再根据反射角等于入射角得∠AOH=∠HOB=55°，由此可得∠AOB的度数． 此题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角的计算，理解反射角等于入射角，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线； B：由作图痕迹可知，OC=OD，OA=OB， 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（SAS）， 同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； C：由作图痕迹可知，∠ACP=∠AOB，CP∥OB， 可得∠CPO=∠POB， 又由图可知CP=OC， ∴∠COP=∠CPO， ∴∠POB=∠COP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； D：由作图痕迹可知，CO=OD，△OCD是等腰三角形， ∴射线OP是CD的垂直平分线， 也是∠AOB的平分线． 故选：D． 根据角平分线的定义即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：将“园艺”、“厨艺”、“陶艺”、“木工”4门课程分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种， ∴甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 故选：B． 列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人选择同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图所示：连接DA，DB，CB，OB，OC， ∵D是弧AC的中点，DC=DE， ∴∠ABD=∠CBD，DA=DC=DE， ∴∠DAE=∠DEA， ∵∠DAE+∠BCD=∠DEA+∠BED=180°， ∴∠BCD=∠BED， ∴△BCD≌△BED（AAS）， ∴BC=BE=，， ∴∠COB=2∠CDB=90°， ∴OB=OC=， 故选：B． 连接DA，DB，CB，OB，OC，根据圆周角、弧、弦的性质证明∠ABD=∠CBD，∠DAE=∠DEA，再根据圆内角四边形的内对角互补，邻补角互补证明∠BCD=∠BED，从而证明△BCD≌△BED，再利用全等三角形的性质求出BC，∠CDB，最后根据圆周角定理求出∠COB，从而求出OB和OC即可． 本题主要考查了圆的有关计算，解题关键是熟练掌握圆周角定理、全等三角形的判定和性质、圆心角、弧和弦的关系． 10.【答案】  【解析】解：由x1y1=x2y2=⋯=xnyn≠0得， 点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）都在同一个反比例函数的图象上． 当反比例函数位于第一、三象限时， 反比例函数图象与此函数的图象最多有8个交点； 当反比例函数位于第二、四象限时， 反比例函数图象与此函数的图象最多有6个交点． 因为8＞6， 所以n的最大值为8． 故选：A． 由x1y1=x2y2=⋯=xnyn≠0，得出这一系列的点在同一个反比例函数的图象上，再对反比例象限位于第一、三象限和二、四象限的情况进行分类讨论即可． 本题主要考查了函数的图象及点的坐标变化规律，能根据题意得出点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）都在同一个反比例函数的图象上是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作-10元． 故答案为：-10． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 12.【答案】  【解析】解：因为反比例函数y=的图象在第一、三象限， 所以k-1＞0， 解得k＞1， 所以点（k,-3）在第四象限． 故答案为：四． 根据所给反比例函数图象在第一、三象限，得出k的取值范围，进而可解决问题． 本题考查反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象和性质及每个象限内点的坐标特征是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：方程两边都乘（x+2）（x-2），得3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2）， 解得：x=10， 检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0， 所以x=10是原方程的解， 即原方程的解是x=10． 故答案为：x=10． 方程两边都乘（x+2）（x-2）得出3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程．熟练掌握该知识点是关键． 14.【答案】  【解析】解：过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，如图， Rt△ACE中，AE=AC×sin37°≈36cm, Rt△BDF中，BF=BD×sin37°≈36cm, ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm, ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10=82cm, 故答案为：82． 过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据锐角三角函数即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案． 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键． 15.【答案】  【解析】解：过点C作CH⊥DE，交DE延长线于点H，延长CH交BE于点F，如图所示： ∵DG=9，GE=4， ∴DE=DG+GE=13， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD=BC， ∵AG⊥DE， ∴∠AGD=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∴∠CDH+∠2=90°， ∴∠1=∠CDH， ∵CH⊥DE， ∴∠AGD=∠DHC=90°， 在△AGD和△DHC中， ， ∴△AGD≌△DHC（AAS）， ∴DG=CH=9， ∵∠BEC=90°， ∴∠3+∠BCE=90°， ∵∠DCE+∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠3， 又∵∠CDE+∠DCH=90°，∠BCF+∠DCH=90°， ∴∠CDE=∠BCF， 在△CDE和△BCF中， ， ∴△CDE≌△BCF（ASA）， ∴CF=DE=13， ∴HF=CF-CH=13-6=4， ∵∠EHF=∠CHE=∠CEF=90°， ∴∠HCE+∠HEC=90°，∠HEF+∠HEC=90°， ∴∠HCE=∠HEF， ∴△CHE∽△EHF， ∴=， ∴EH2=CH•EH=9×4=36， ∴EH=6， 在Rt△CGH中，GH=GE+EH=10，CH=9， 由勾股定理得：CG===． 故答案为：． 过点C作CH⊥DE，交DE延长线于点H，延长CH交BE于点F，则DE=13，证明△AGD和△DHC全等得DG=CH=9，证明△CDE和△BCF全等得CF=DE=13，则HF=4，再证明△CHE和△EHF相似得EH=6，然后在Rt△CGH中，根据GH=10，CH=9，由勾股定理即可得出CG的长． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是已解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解决问题的难点． 16.【答案】  【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＜0）开口向下，经过（1，1），（m,1）两点，且2＜m＜4． ∴1=a（x-1）（x-m）， ∴ax2-a（m+1）x+am=1， ∵-=， ∴m+1=-， ∴ax2+bx+am=1， ∴c=am-1， ∵a＜0，2＜m＜4． ∴c=am-1＜0，故①正确； ∵2＜m＜4， ∴m-1＞1，即（1，1），（m,1）两点之间的距离大于1， 又∵a＜0， ∴x=m+1时，y＞1， ∴若0＜x＜1，则a（x+1）2+b（x+1）+c＞1，故②正确； 由题意可得抛物线开口向下，经过（1，1）和（3，1），可得抛物线的对称轴为直线x=2， ∵抛物线上有且仅有两个点到x轴的距离等于n（n＞0）， ∴n大于顶点纵坐标， ∴n＞4a+2b+c, ∵-=2， ∴b=-4a, ∵a+b+c=1， ∴a-4a+c=1，即c=1+3a, ∴n＞4a-8a+1+3a=1-a, ∵c＜-1， ∵1+3a＜-1， ∴a， ∴1-a＞， ∴n＞，故③正确，符合题意； ∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞，x1＞x2，总有y1＜y2， 又∵， ∴点A（x1，y1）离直线x=较远， ∵2＜m＜4， ∴对称轴， 解得：2＜m≤，故④正确； 故答案为：①②③④． 通过对称轴可判断①；（1，1），（m,1）两点之间的距离大于1，所以若0＜x＜1，则a（x+1）2+b（x+1）+c＞1，判断②；根据抛物线的最大值判断③；根据点A和点B离对称轴的距离判断④． 本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键． 17.【答案】  【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后求出整数解的和即可． 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 18.【答案】  【解析】（1）证明：如图，连接DE，BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE=OA=OC=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． （2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形， 要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF， ∵OE=OA=OC=OF， ∴EF=OE+OF=OA+OC=OA=AC，即AC=2EF， ∴k===2， 故答案为：2． （1）连接DE，BF，先根据平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，再根据线段中点的定义可得OE=OA=OC=OF，然后根据平行四边形的判定可得四边形DEBF是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当BD=EF时，四边形DEBF是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得AC=2EF，由此即可得出k的值． 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 19.【答案】  【解析】（1）本次调查的学生有10÷25%=40（名），调查所得数据的众数是2部，中位数是2部， 扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为360°×=126°； 故答案为：40，2，2，126； （2）阅读1部的人数为40-2-10-8-6=14（人）， 补全条形统计图如图： （3）650×=390（名）， 答：估计至少阅读完2部必读名著的学生有390名． （1）根据阅读2部的人数和所占的百分比即可求出本次调查的学生人数，根据众数和中位数的定义即可求出众数和中位数，用360°乘阅读1部的人数所占的百分比即可求出扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角的度数； （2）计算出阅读1部的人数即可将条形统计图补充完整； （3）用650乘样本中至少阅读完2部必读名著的学生所占的百分比即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数和用样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． 20.【答案】  【解析】（1）证明：连接AC，设OD交BC于点G，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C=90°， 即EC⊥AC， ∵OD⊥BC， ∴根据垂径定理得：BG=CG=BC，弧BD=弧CD， ∴∠BAD=∠CAD， 即AD是∠BAC的平分线， 又∵EC⊥AC，EF⊥AB于点F， ∴CE=EF； （2）解：设EF=a, ∴BF=2EF=2a, 在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE===， 由（1）可知：CE=EF=a, ∴BC=BE+CE=， ∴BG=CG=BC=， ∴GE=BE-BG==， ∴OD⊥BC， ∴∠OGB=∠C=90°， ∴AC∥OD， ∴△DEG∽△AEC， ∴===． （1）连接AC，设OD交BC于点G，则∠C=90°，根据垂径定理得：BG=CG=1/2BC，弧BD=弧CD，进而得∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线，再根据角平分线性质即可得出结论 （2）设EF=a,则BF=2EF=2a,BE=，由（1）可知CE=EF=a,进而得BC=，BG=CG=，继而得GE=BE-BG=，证明AC∥OD得△DEG和△AEC相似，再由相似三角形性质可得的值． 此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，理解圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键． 21.【答案】  【解析】（1）如图1，四边形AB1C1D1即为所求． 在点B的左侧取格点F，使BF：AC=1：4，且BF∥AC，连接CF交AB于点F， 此时△ACE∽△BFE， ∴BE：AE=BF：AC=1：4． ∴AB==5， ∴AE=4，BE=1， ∵AD=CD，BC+BE=AE， ∴DE平分四边形ABCD的周长， 则点F即为所求． （2）如图2，在BC的延长线上取点E，使CE=BC，过点E作AB的垂线，交AB于点F，连接CF， 此时△BEF为直角三角形，CF为直角△BEF斜边上的中线， ∴CF=， 则点F即为所求． 过点C作AB的平行线，交AD于点M，再在点A下方取格点H，使AH=BC且AH∥BC，过点H作AD的平行线HG，交AB于点N，连接MN， 此时四边形BCMN是平行四边形， 则点M，N即为所求． （1）根据位似的性质作图即可；在点B的左侧取格点F，使BF：AC=1：4，且BF∥AC，连接CF交AB于点F，则点F即为所求． （2）在BC的延长线上取点E，使CE=BC，过点E作AB的垂线，交AB于点F，则点F即为所求；过点C作AB的平行线，交AD于点M，再在点A下方取格点H，使AH=BC且AH∥BC，过点H作AD的平行线HG，交AB于点N，则点M，N即为所求． 本题考查作图-位似变换、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22.【答案】  【解析】（1）由题意，抛物线的顶点为（5，3）， ∴可设抛物线为y=a（x-5）2+3． 又∵抛物线过（11，0）， ∴36a+3=0． ∴． ∴所求抛物线为． 又令x=0， ∴y≈0.92＜2.44． ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）由题意，结合（1），∵抛物线的解析式为， 又∵小明的最大起跳高度是2.25m, ∴． ∴x=2或 x=8． ∵小明需要站在抛物线左侧防守， ∴x=2，即小明需要站在离球门距离2m的地方才可能防守住这次射门． （3）由题意，设小华带球向正前方移动bm, ∴移动后的解析式为． 又∵B为（0，2.44）， ∴． ∴b≈7.59或2.4（b≈7.6，舍去）． ∴小华最多可以向球门移动约2.4m. 故答案为：2.4． （1）依据题意，由抛物线的顶点为（5，3），从而可设抛物线为y=a（x-5）2+3，又抛物线过（11，0），故可得解析式，再令x=0，求出y与2.44进行比较可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）的抛物线的解析式为又小明的最大起跳高度是2.25m,从而2.25=-求出x的值即可判断得解； （3）依据题意，设小华带球向正前方移动bm,则移动后的解析式为，再结合B为（0，2.44），求出b的值即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意，学会灵活运用二次函数的性质是关键． 23.【答案】  【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴CG=BC=2BD，∠ABC=60°， ∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴BE=BD，∠ABE=∠ABD=60°， ∴CG=2BE，DE=BE， ∴CG=， 故答案为：CG=2BE，CG=DE； （2）如图1， CG=DE，理由如下： 连接BE，作EH∥BC，交AC于H， 由（1）知， ∠EBD=2∠ABC=120°，∠C=60°， ∴∠EBD+∠C=180°， ∴BE∥AC， ∴四边形BCHE是平行四边形， ∴CH=BE，EH=BC=AB，∠AHE=∠C=∠ABC=60°， ∵∠EFD=∠C=60°， ∴∠C+∠GFD=∠EFD+∠GFD=180°， ∴∠EGH+∠ADC=360°-（∠EGH+∠C）=180°， ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠EGH=∠ADB， ∴△ABD≌△EHG（AAS）， ∴GH=BD=BE， ∴CG=2BE， ∵DE=BE， ∴CG=DE； （3）如图2， 作AW⊥BC于W，作HV⊥AC于V， ∴tan∠ADC=， 设AW=3a,DW=2a, ∴BC=AC=， ∴BW=CW=3a, ∴BD=BW-DW=a, ∴CG=2BE=2a, ∴AG=AC-CG=4a, 在Rt△AHV中，AH=4，∠BAC=60°， ∴AV=4•cos60°=2，HV=4•sin60°=2， 由（2）知， ∠EGC+∠ADC=180°， ∵∠AGH+∠EGC=180°， ∴∠AGH=∠ADC， ∴tan∠AGH=， ∴， ∴， ∴VG=， ∴4a=2+， ∴a=， ∴CD=5a=， 故答案为：． （1）根据等边三角形的性质得出CG=BC=2BD，∠ABC=60°，根据轴对称的性质得出BE=BD，∠ABE=∠ABD=60°，从而CG=2BE，DE=BE，进一步得出结果； （2）连接BE，作EH∥BC，交AC于H，可证得四边形BCHE是平行四边形，△ABD≌△EHG，从而GH=BD=BE，进一步得出结果； （3）作AW⊥BC于W，作HV⊥AC于V，可得出tan∠ADC=，从而设AW=3a,DW=2a,则BC=2a,BE =BD =a,从而得出AG=4a,解直角三角形AHV得出AV和HV，解直角三角形HVG得出VG，进而得出a的值，进一步得出结果． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 24.【答案】  【解析】（1）当y=0时，-x2-x+2=0， 解得：x1=-4，x2=1， ∴A（-4，0），B（1，0）， 当x=0时，y=2， ∴C（0，2）； （2）过点P，Q作PN⊥AB，QM⊥AB于点M，N，则PM∥QN， 设直线AC表达式为y=kx+b, 代入A（-4，0），C（0，2）得：， 解得：， ∴直线AC的表达式为， ∵B（1，0），设P（p,-p2-p+2）， ∴， 解得， ∴直线BP的表达式为y=， 联立直线AC和直线BP的表达式得， 解得：x=， ∴Q（，）， ∵S△CPQ=S△CBQ， ∴， ∵PM∥QN， ∴， ∴=， 整理得：4p2+16p+15=0， 解得：或（在对称轴上，不合题意，舍去）， ∴P（-，）； （3）解：过点F作x轴的平行线，与过点E，D作x轴的垂线，交于点H，G， 设直线DE：y=k1x,与抛物线联立得：， 整理可得：x2+（2k1+3）x-4=0， ∴xD+xE=-2k1-3，xD•xE=-4， ∴， 联立直线与抛物线得：， 整理可得：3x2+13x+6b-12=0， ∴，xE•xF=6b-12， ∴， ∴， ∵DF⊥EF，EH⊥HG，GD⊥HG，∠H=∠G=∠EFD=90°， ∴∠HEF=∠GFD=90°-∠HFE， ∴△HEF∽△GFD， ∴， 则， 代入得， ∴， ∴xD+xF=0， ∴， 整理得：3+13xE+12=0， 解得：xE=-3或xE=-， ∴E（-3，2）或E， 当E（-3，2）时，， ∴b=4； 当E时，×（-）+b=， ∴b=4， 综上所述：b=4． （1）分别令y=0，x=0，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）过点P，Q作PM⊥AB，QN⊥AB于点M，N，则PM∥QN，通过待定系数法求出直线AC和直线BP表达式，联立直线AC和直线BP的表达式，求出交点Q的坐标，再由得到，由PM∥QN，得到，整理求解即可； （3）过点F作x轴的平行线，与过点E，D作x轴的垂线，交于点H，G，设直线DE：y=k1x与抛物线联立整理得：x2+（2k1+3）x-4=0，则xD+xE=-2k1-3，xD•xE=-4，那么xD=-，联立直线y=x+b与抛物线整理得：3x2+13x+6b-12=0，则xE+xF=-，xg•xp=6b-12，那么xF=，故xD+xF=-，易证△HEF∽△GFD，则=，那么代入化简得到xD+xF=0，则---xE=0，整理得：3+13xE+12=0，求出E（-3，2）或E（-，），再代入直线y=x+b即可求解b的值． 本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，面积问题，特殊角度问题，一元二次方程的根与系数的关系，图象与坐标轴交点，综合性强，计算量大． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$