精品解析：吉林省长春市博硕学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

长春博硕学校 2024-2025学年度下学期七年级第一次阶段练习 数学试卷 一、选择题（共8小题．满分24分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此即可判断． 【详解】A、最高次数是2，不是一元一次方程，选项错误； B、是一元一次方程，选项正确； C、含有2个未知数，不是一元一次方程，选项错误； D、含有2个未知数，且最高次数是2，不是一元一次方程，选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 2. 已知x＝3是关于x的方程x﹣a＝2的解，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程，得到关于a的方程，解关于a的方程即可得到答案． 【详解】解：将代入方程得：，得， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解可以将解代入方程求出其他未知数的值． 3. 方程组用代入法消去后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组．依据代入消元法，即可得出结论． 【详解】解：将代入， 消去y后所得到的方程是， 去括号，得． 故选：D． 4. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想．方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故选：A． 5. 已知和是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项的意义先求出，的值，然后再代入式子进行计算即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，，解得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的意义是解题的关键． 6. 下列变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质．等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，当时，则，故本选项不符合题意； B、若，当时，则，故本选项不符合题意； C、若，当时，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60斤，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？【 】 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程：．故选A． 8. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为、，且甲乙容器等高，甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了，则甲的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设高都为h，根据水的容积相等可列方程80×h=100×(h−8). 解得h=40， 所以甲的容积为40×80=3200， 故选C. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 已知方程，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等式的基本性质将原式变形即可．本题主要考查了用代入法解二元一次方程组，熟练掌握用代入法解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 【详解】∵， ∴． 故答案为： 10. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是根据绝对值的非负性求出m，n；根据绝对值的非负性求出m，n，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程，解题关键是熟练掌握加减消元法． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得， 将代入可得， ． 故答案为：． 12. 若是关于的一元一次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，指数是1，系数不等于0列方程解答即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：2． 13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 【答案】八 【解析】 【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可. 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%， 解得：x=8． 故商店应打八折． 故答案为：八． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法． 14. 如图所示，甲从A点以66m/min的速度，乙从B点以76m/min的速度，同时沿着边长为100m的正方形按A→B→C→D→A…的方向行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的______边上．（用大写字母表示） 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得：乙第一次追上甲时所走的路程＝甲走的路程＋3×100，设所用的时间为x min，由此等量关系可列方程，则可求出追到时的时间，再求出路程．根据路程计算沿正方形所走的圈数，即可得出结论． 【详解】解：设乙第一次追上甲时，所用的时间为xmin，依题意得：76x＝66x＋3×100 解得：x＝30， ∴乙第一次追上甲时，甲所行走的路程为：30×66＝1980m， ∵正方形边长为100m，周长为400m， ∴当乙第一次追上甲时，将在正方形AD边上． 故答案为：AD． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是要求出它们相遇时的路程，然后根据路程求沿正方形所行的圈数，即可知道在哪一边上． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程： （1）． （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1即可； 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1得：， 【小问2详解】 解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1得：． 16. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②，得， ∴， 把代入①，得， ∴； 【小问2详解】 解：， ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∴． 17. 以下是欣欣解方程：的解答过程： 解：去分母，得，．．① 去括号，得，．．．．．．．．② 移项，合并同类项得：．．．．．．③ 解得：．．．．．．．．．．④ （1）欣欣的解答过程从第 步开始出错（写序号即可）； （2）请你完成正确的解答过程． 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程， （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【小问1详解】 第①步去分母时，方程右边的1没有乘以6， ∴欣欣的解答过程从第①步开始出错； 【小问2详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 18. 今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 【答案】用60张卡纸做底面 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面．根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做底面，用张卡纸做侧面． 根据题意，得 解得 答：用60张卡纸做底面． 19. 已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入，得 ， 解得 20. 对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义． （1）根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可， （2）首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可； 【小问1详解】 【小问2详解】 ，， ， ． 21. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组； 分别把给出的方程组的解代入到没有看错的方程中求出a、b的值，得到原方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组为， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为． 22. 某市出租车的收费标准如下表所示： 行驶里程x（千米） 收费标准 不超过3千米 起步价8元 超过3千米不超过10千米的部分 每千米2元 超过10千米的部分 每千米3元 （停车等待时间每2分钟收费1元） （1）若小明乘坐出租车行驶了8千米，中间无停车等待，他应付车费_______； （2）若小红付了31元车费，中间无停车等待，她乘坐出租车行驶了多少千米？ （3）若小刚乘坐出租车从甲地到乙地共行驶了15千米，途中因为有事停车等待了6分钟，那么小刚应付多少车费？ 【答案】（1） （2）千米； （3）元 【解析】 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用和一元一次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是关键． （1）根据题意直接列式计算即可； （2）先判断行驶距离超过10千米，再方程并解方程即可； （3）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， （元）； 故答案为： 【小问2详解】 当行驶10千米时，需付费（元）； ∵， ∴小红乘坐出租车行驶的距离超过了10千米， 设小红乘坐出租车行驶的距离为千米， 则， 解得 即小红付了31元车费，她乘坐出租车行驶了千米； 【小问3详解】 由题意可得，（元） 答：小刚应付元车费 23. 把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程“”化为，其“完美值”为． （1）“雅系二元一次方程”的“完美值”是______； （2）是“雅系二元一次方程“”的“完美值”，求m的值； （3）“雅系二元一次方程（，k是常数）”存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x=1 （2）m=-6 （3）当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=． 【解析】 【分析】（1）由已知得到式子x=-5x+6，求出x即可； （2）由已知可得x=3x+m，将x=3代入即可求m； （3）假设存在，得到x=kx+1，所以（1-k）x=1，当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=． 【小问1详解】 解：由已知可得，x=-5x+6， 解得x=1， ∴“雅系二元一次方程”y=-5x+6的“完美值”为x=1； 【小问2详解】 解：由已知可得x=3x+m， ∵x=3， ∴m=-6； 【小问3详解】 解：若“雅系二元一次方程”y=kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”， 则有x=kx+1， ∴（1-k）x=1， 当k=1时，不存在“完美值”， 当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键． 24. 如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． （1）如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； （2）如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； （3）如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 【答案】（1）； （2） （3）当为秒或秒或秒时重叠部分面积为 【解析】 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的知识，解题的关键根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式，根据题意，进行解答，即可． （1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即． 【小问1详解】 解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动 ∴当时，表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为单位长度时，， ∴． 【小问3详解】 解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 当，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校 2024-2025学年度下学期七年级第一次阶段练习 数学试卷 一、选择题（共8小题．满分24分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 已知x＝3是关于x的方程x﹣a＝2的解，则a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 方程组用代入法消去后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 已知和是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 下列变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60斤，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？【 】 A. B. C. D. 8. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为、，且甲乙容器等高，甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了，则甲的容积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 已知方程，用含x的代数式表示y，则________． 10. 若，则_________． 11. 已知，则_____． 12. 若是关于的一元一次方程，则________． 13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 14. 如图所示，甲从A点以66m/min的速度，乙从B点以76m/min的速度，同时沿着边长为100m的正方形按A→B→C→D→A…的方向行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的______边上．（用大写字母表示） 三．解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程： （1）． （2）； 16. 解二元一次方程组： （1）； （2）． 17. 以下是欣欣解方程：的解答过程： 解：去分母，得，．．① 去括号，得，．．．．．．．．② 移项，合并同类项得：．．．．．．③ 解得：．．．．．．．．．．④ （1）欣欣的解答过程从第 步开始出错（写序号即可）； （2）请你完成正确的解答过程． 18. 今年是长春博硕学校十年校庆，筹备期间，七年级同学承担了制作六面体灯笼的任务、制作一个灯笼需要用2个底面和4个侧面．现共有120张卡纸，已知一张卡纸可以制作10个底面或者20个侧面，为了使制作的底面和侧面刚好配套，用于制作底面的卡纸应该有多少张？ 19. 已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 20. 对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． （1）求的值； （2）若，求的值． 21. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 22. 某市出租车的收费标准如下表所示： 行驶里程x（千米） 收费标准 不超过3千米 起步价8元 超过3千米不超过10千米的部分 每千米2元 超过10千米的部分 每千米3元 （停车等待时间每2分钟收费1元） （1）若小明乘坐出租车行驶了8千米，中间无停车等待，他应付车费_______； （2）若小红付了31元车费，中间无停车等待，她乘坐出租车行驶了多少千米？ （3）若小刚乘坐出租车从甲地到乙地共行驶了15千米，途中因为有事停车等待了6分钟，那么小刚应付多少车费？ 23. 把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程“”化为，其“完美值”为． （1）“雅系二元一次方程”的“完美值”是______； （2）是“雅系二元一次方程“”的“完美值”，求m的值； （3）“雅系二元一次方程（，k是常数）”存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由． 24. 如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． （1）如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； （2）如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； （3）如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $