精品解析：广东省阳江市教育集团2024-2025学年上学期九年级11月月考数学试卷

2024-2025学年广东省阳江市教育集团九年级（上）月考 数学试卷 试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 2. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 菱形 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 4. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（    ） A. B. C. D. 6. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 7. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（　　） A. 20 B. 15 C. 18 D. 12 9. 如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为_______． 12. 如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 13. 在中，已知，是锐角，若，则的度数为________． 14. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为________．（参考数据：） 15. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 7 分，共 21 分） 16. 计算： 17. 如图，在△ABC中，，，，求AB的长． 18. 有甲、乙、丙三张完全相同的卡片，小明在其正面各写上一个方程，如图，然后将这三张卡片背面朝上洗匀． （1）从中随机抽取一张，求抽到方程没有实数根的概率； （2）从中随机抽取一张，记下方程后放回，再随机抽取一张，请用列表或面树状图的方法，求抽到的方程都有实数根的概率． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 20. 在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题: “今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”用今天的话说，大意是:如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木(即点D在直线AB上)，求小城的边长. 21. 如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 五、解答题（三）（共 2 题，27 分） 22. 在△ABC中，，BE是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值．请你写出求解过程． （2）如图2，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值． 23. 如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． （1）连接，求的度数； （2）求证：与相切； （3）点在弧上，，交于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省阳江市教育集团九年级（上）月考 数学试卷 试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 【答案】A 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 2. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【详解】解：A、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角相等，故两个等边三角形一定相似，此选项符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意； C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意； D、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义． 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解方程即可 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：B 4. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 5. 在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系．根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，，、、所对的边分别为、、， ∴，，，， ∴，，，，只有C符合题意， 故选：C． 6. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 7. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（　　） A. 20 B. 15 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为20， ∴的面积为15． 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键． 9. 如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式．据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切，于点， 连接，， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可估计钉尖朝上的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】解：∵钉尖朝上的频率稳定在0.75附近， ∴估计钉尖朝上的概率为． 12. 如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 在中，已知，是锐角，若，则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．根据绝对值和偶次方的非负性可得：，，从而可得，，进而可得，，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为________．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题通过设每天“遗忘”的百分比为，依据“两天不练丢一半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定的值．本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵ ， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为． 故答案为：． 15. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 7 分，共 21 分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值． 17. 如图，在△ABC中，，，，求AB的长． 【答案】AB=9+4. 【解析】 【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=9，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D． ∵在Rt△CDA中，∠A=30°， ∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cos30°=9， ∵在Rt△CDB中， ∴BD===4． ∴AB=AD+DB=9+4. 【点睛】本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键． 18. 有甲、乙、丙三张完全相同的卡片，小明在其正面各写上一个方程，如图，然后将这三张卡片背面朝上洗匀． （1）从中随机抽取一张，求抽到方程没有实数根的概率； （2）从中随机抽取一张，记下方程后放回，再随机抽取一张，请用列表或面树状图的方法，求抽到的方程都有实数根的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式分别判断三个方程根的情况，再运用概率公式求解即可； （2）画出树状图展示所有9种等可能的结果，找出恰好抽到两个方程都有实数根的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）方程有实数根，则> 甲方程： ∴甲方程没有实数根； 乙方程： ∴乙方程有实数根 丙方程： ∴丙方程有实数根 所以，抽到方程没有实数根的概率； （2）画树状图： 共有9种等可能的结果，其中恰好抽到两个方程都有实数根的结果数为4， 所以恰好抽到两个方程都有实数根的概率=． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）的直径是 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 20. 在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题: “今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”用今天的话说，大意是:如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木(即点D在直线AB上)，求小城的边长. 【答案】小城的边长为250步. 【解析】 【分析】设小城的边长为x步，利用Rt△AHD∽Rt△ACB可得比例关系，代入相关数据即可计算. 【详解】设小城的边长为x步，根据题意，Rt△AHD∽Rt△ACB， 因为有，即，去分母并整理，得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284(不合题意，舍去)， 故小城的边长为250步. 【点睛】本题考查相似三角形的实际运用. 21. 如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】（1）1：2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论． （2）根据求解即可． 【小问1详解】 由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： ． ∴． ∴，ED与母线AD长之比为 【小问2详解】 ∵ ∴ 答：加工材料剩余部分的面积为 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 五、解答题（三）（共 2 题，27 分） 22. 在△ABC中，，BE是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值．请你写出求解过程． （2）如图2，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值． 【答案】（1），过程如下： ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有，．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 23. 如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． （1）连接，求的度数； （2）求证：与相切； （3）点在弧上，，交于点，若，求的长． 【答案】（1）； （2） 证明：由（）知：是等边三角形， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点， ∴， 即为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴−， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． （3）． 【解析】 【分析】（1）连接、，利用弧中点及垂直条件得出是的垂直平分线，进而得到，判定为等边三角形，得出． （2）由（）知是等边三角形，结合垂直条件推出是垂直平分线，得到角的关系，再通过计算证明，结合是半径，证得与相切． （3）利用垂直及弧中点条件得，结合推出是等腰直角三角形，再结合前面得出的角的度数，在直角三角形中利用三角函数及角的关系计算出的长． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵是的中点，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是的直径，弦于点， ∴是中点，即为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）可知， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 由（）知， ∴−， 在中，，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（弧、弦、垂直平分线的关系等）、等边三角形的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质及三角函数的应用，熟练掌握圆的相关性质、等边三角形和切线的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $