专题4.1 成比例线段（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题4.1 成比例线段 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 情景引入 1 知识点（一）两条线段的比 2 【题型1】利用“两条线段的比”求值或比值 2 知识点（二）成比例线段 2 【题型2】“成比例线段”的判断 2 知识点（三）比例基本性质 3 【题型3】利用“比例基本性质”求值 3 知识点（四）比例基本性质推论——比例中项 3 【题型4】利用“比例中项”求值 3 知识引入 4 知识点（五）比例基本性质推论——合比性质 4 【题型5】利用“合比性质”求值 4 知识引入 4 知识点（六）比例基本性质推论——等比性质 5 【题型6】利用“等比性质”求值 5 知识点（七）黄金分割 5 【题型7】利用“黄金分割”求值 5 二．同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 9 【中考真题6题】 11 一．知识梳理与题型分类精析 情景引入 在实际生活中,我们经常会看到许多形状相同的图片，如图1，图2，图3，这些图片形状有什么特点？ 图1 图2 图3 解答：这三个图形是形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的. 知识点（一）两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或写成.其中，线段,分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么，或.两条线段的比实际上就是两个数的比. 【题型1】利用“两条线段的比”求值或比值 【例题1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知，那么代数式的值是 ． 【变式2】（2024·河北·期末）若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 知识点（二）成比例线段 四条线段如果与之比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 【题型2】“成比例线段”的判断 【例题2】（21-22九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． （1）求和； （2）线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是 ． 【变式3】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 知识点（三）比例基本性质 如果，那么. 如果（都不等于0），那么. 【题型3】利用“比例基本性质”求值 【例题3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）若，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点（四）比例基本性质推论——比例中项 如果，即（）那么就叫和的比例中项. 如果，即（）那么；反之，若（都不等于0），则. 【题型4】利用“比例中项”求值 【例题4】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于 ． 【变式2】（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，且b是a，c的比例中项，则等于（   ） A．1∶3 B．1∶2 C．2：3 D．2∶1 知识引入 如果，你能得出，吗？ 证明： 由此我们得到比例基本性质一个结论 知识点（五）比例基本性质推论——合比性质 如果，那么. 【题型5】利用“合比性质”求值 【例题5】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）若，则的值是 ． 知识引入 已知线段,,,,...,,是成比例线段，如果，你能得出 吗？ 证明：设 则， 由此我们又得到比例基本性质一个结论 知识点（六）比例基本性质推论——等比性质 如果，那么. 【题型6】利用“等比性质”求值 【例题6】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【变式1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 知识点（七）黄金分割 黄金分割定义：一个点把一条线段分成两条线段，使得较长线段和整条线段的比等于较短线段与较长线段之比，则这种分割称为黄金分割，分割点为线段的黄金分割点。如图点把线段分割成和（）,若（）则点为线段黄金分割点。 黄金比：设线段，较长部分则较短部分,得，整理得 解得：（负值舍去） 【题型7】利用“黄金分割”求值 【例题7】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期末）黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点和点均为线段的黄金分割点，，则 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 3．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列各线段的长度成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北石家庄·三模）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题 7．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）若，则 ． 8．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）点B把线段分成两部分，如果，那么 ． 9．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）已知一条线段能与，，这三条线段组成成比例线段，这条线段的长可以是 ．（写出一个即可） 10．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则 ． 11．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为 ． 12．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是 ．（结果保留一位小数） 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. （1）求，，的值； （2）若线段是线段和的比例中项，求的值. 15．（24-25九年级上·浙江·假期作业）对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由． 16．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，已知直线．      （1）请用圆规和无刻度直尺，根据以下步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①过点作的垂线； ②在的垂线上截取（点在上方）； ③连接； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作弧，交于点； （2）如图2，点在线段上，且，若，则称点是线段的一个黄金分割点．在（1）的条件下，证明：点是线段的一个黄金分割点． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 7．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则 ． 8．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）在一幅比例尺为的地图上，育才小学到少年宫的距离是3厘米，实际距离应该是 千米． 9．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 10．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）已知为的三边，且，则 ． 11．（22-23九年级下·四川内江·期中）已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，线段上的点，分别满足关系式，，．若，则线段的长为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知线段，满足． （1）求的值； （2）当线段是的比例中项且时，求的值． 15．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？    16．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 2．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 3．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 4．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：      5．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为 ． 6．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 成比例线段 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 情景引入 1 知识点（一）两条线段的比 2 【题型1】利用“两条线段的比”求值或比值 2 知识点（二）成比例线段 3 【题型2】“成比例线段”的判断 3 知识点（三）比例基本性质 5 【题型3】利用“比例基本性质”求值 6 知识点（四）比例基本性质推论——比例中项 7 【题型4】利用“比例中项”求值 7 知识引入 9 知识点（五）比例基本性质推论——合比性质 9 【题型5】利用“合比性质”求值 9 知识引入 11 知识点（六）比例基本性质推论——等比性质 11 【题型6】利用“等比性质”求值 11 知识点（七）黄金分割 13 【题型7】利用“黄金分割”求值 13 二．同步练习 16 【基础巩固（16题）】 16 【能力提升（16题）】 24 【中考真题6题】 34 一．知识梳理与题型分类精析 情景引入 在实际生活中,我们经常会看到许多形状相同的图片，如图1，图2，图3，这些图片形状有什么特点？ 图1 图2 图3 解答：这三个图形是形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的. 知识点（一）两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或写成.其中，线段,分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么，或.两条线段的比实际上就是两个数的比. 【题型1】利用“两条线段的比”求值或比值 【例题1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】44 【分析】本题主要考查了线段的比，熟练掌握线段的比是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，线段的比，设，则，代入计算即可，熟练掌握等比性质是解题的关键． 解：设， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·河北·期末）若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解． 解：， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 知识点（二）成比例线段 四条线段如果与之比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 【题型2】“成比例线段”的判断 【例题2】（21-22九年级·全国·假期作业）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm． （1）求和； （2）线段，AB，，BC是成比例线段吗？ 【答案】（1），；（2）线段，AB，，BC是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果； （2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 解：（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm． ∴＝＝ ，＝＝ （2）由（1）知＝＝ ，＝＝； ∴＝， ∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段． 【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知A、B两地的实际距离是，量得两地在地图上的距离是．若在该地图上量得A、C两地间的距离是，则A、C两地间的实际距离是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了比例尺“比例尺就是图上长度与实际长度的比”，熟练掌握比例尺的定义是解题关键．先求出比例尺，再根据比例尺的定义求解即可得． 解：由题意得：比例尺为， 则、两地间的实际距离是， 故答案为：480． 【变式3】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 知识点（三）比例基本性质 如果，那么. 如果（都不等于0），那么. 【题型3】利用“比例基本性质”求值 【例题3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 解：A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）若，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 解：A、， ， 故A选项不符合题意； B、， ， 故B选项不符合题意； C、， ， ， 故C符合题意； D、， ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 知识点（四）比例基本性质推论——比例中项 如果，即（）那么就叫和的比例中项. 如果，即（）那么；反之，若（都不等于0），则. 【题型4】利用“比例中项”求值 【例题4】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】（1）线段的长为18，线段的长为12；（2）线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 解：（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段的长等于，则，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可． 解：设线段的长等于，则， ∵是与的比例中项， ∴， 解得（负根已舍去） 即线段的长等于， 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）若，且b是a，c的比例中项，则等于（   ） A．1∶3 B．1∶2 C．2：3 D．2∶1 【答案】B 【分析】由b是a，c的比例中项，根据比例中项的定义可得：，再结合即可解答． 解：∵b是a，c的比例中项 ∴ ∵ ∴，即 故选B 【点拨】本题主要考查了比例线段、比例中项的定义等知识点，解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识引入 如果，你能得出，吗？ 证明： 由此我们得到比例基本性质一个结论 知识点（五）比例基本性质推论——合比性质 如果，那么. 【题型5】利用“合比性质”求值 【例题5】（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等式的性质及比的性质运算，运用等式的基本性质两边加1，可证；还可以运用比例的性质求解． 解：方法一：证明：， ， ， ． 方法二：证明：， ． ， ， ． ， 方法三：证明：， ． ， ， ． ． 【变式1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 知识引入 已知线段,,,,...,,是成比例线段，如果，你能得出 吗？ 证明：设 则， 由此我们又得到比例基本性质一个结论 知识点（六）比例基本性质推论——等比性质 如果，那么. 【题型6】利用“等比性质”求值 【例题6】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 【变式1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论． 当时，利用比的等比性质求解；当时，则，再代入求值即可． 解：①当时，由等比性质可得： 即：； ②当时，则， ∴， 所以k的值是2或， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 知识点（七）黄金分割 黄金分割定义：一个点把一条线段分成两条线段，使得较长线段和整条线段的比等于较短线段与较长线段之比，则这种分割称为黄金分割，分割点为线段的黄金分割点。如图点把线段分割成和（）,若（）则点为线段黄金分割点。 黄金比：设线段，较长部分则较短部分,得，整理得 解得：（负值舍去） 【题型7】利用“黄金分割”求值 【例题7】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识． （1）按照作图步骤作出图形即可； （2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论． 解：（1）如图，即为所求， （2）证明：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点P是线段的黄金分割点． 【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期末）黄金分割比广泛存在于艺术、自然、建筑等领域．例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，枫叶的叶脉长为，B为线段上一点，且满足，则称点B为线段的黄金分割点，若的长度为，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，从而可得，即可解答． 解：根据黄金分割的性质可得：， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点和点均为线段的黄金分割点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可求得，再求出，再进一步求解即可． 解：点和点均为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质．利用内项之积等于外项之积进行判断． 解：A．由可得，与已知不符，不合题意； B．由可得，与已知不符，不合题意； C．由可得，与已知不符，不合题意； D．由可得，与已知相符，符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 3．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列各线段的长度成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段就叫做成比例线段.根据比例的基本性质，可以检验是否存在两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积的情况，若存在则成比例． 解：A、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； B、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； C、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； D、由于，则，，，四条线段的长度成比例，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例中项．根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 解：∵线段，，线段是a，b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）， ∴线段的长是3， 故选：D． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割的含义． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， 而， ∴． 故选：A． 6．（2025·河北石家庄·三模）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度、比例性质，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得．又， 则． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广西来宾·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了比例的性质，掌握设k法是解题的关键．通过条件可设，再代入求解即可． 解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）点B把线段分成两部分，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程．设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 解：设， ∵，且， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）已知一条线段能与，，这三条线段组成成比例线段，这条线段的长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足，则是成比例的线段是解题的关键． 根据成比例的线段的定义进行判断作答即可． 解：设这条线段为d， 根据题意可以是：， ∴， ∴ ， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键． 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 解：线段c是线段a，b的比例中项， ， ，， ， 而， 故答案为： 11．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例，黄金分割比；引入参数，按三条线段的比例关系与，求出线段b的长度，再按黄金分割比求出分割后的较长线段． 解：：b：＝3：2：4， 令，，， ， ， 解得：， ， 将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度=． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是 ．（结果保留一位小数） 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．根据邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分，列式计算即可． 解：根据题意，相邻两片叶子之间的夹角是： 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知三条线段，，满足，且. （1）求，，的值； （2）若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 解：（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 15．（24-25九年级上·浙江·假期作业）对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据，即可求解． 解：∵在中，是斜边上的高线， ∴， ∴， ∴ ， ∴是一组比例线段． 16．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1，已知直线．      （1）请用圆规和无刻度直尺，根据以下步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①过点作的垂线； ②在的垂线上截取（点在上方）； ③连接； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作弧，交于点； （2）如图2，点在线段上，且，若，则称点是线段的一个黄金分割点．在（1）的条件下，证明：点是线段的一个黄金分割点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据尺规作图的方法求解即可； （2）设线段，则，根据勾股定理表示出，，，然后代入和证明即可． 解：（1）如图所示，    （2）设线段，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴点是线段的一个黄金分割点． 【点拨】本题考查了尺规作图，勾股定理，二次根式的运算，黄金分割点等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知的比例关系设出参数，再将其代入所求式子进行计算． 解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 解：A、， 长分别为，，，的四条线段是成比例线段，符合题意； B、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、， 长分别为，，，的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果，则．由，b、d、f均为正数，可得：，，，，，再结合比例的性质逐项分析即可． 解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解． 通过设，根据黄金矩形性质表示出的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出． 解：如图： 设， 四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，则， ，而， ，又， ， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解决此题的关键． 将变形为，再代入求值即可． 解：∵， ∴ ∴，． 故答案为：． 8．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）在一幅比例尺为的地图上，育才小学到少年宫的距离是3厘米，实际距离应该是 千米． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查比例尽，由分析条件可知：比例尺已知，图上距离已知，根据，可用图上距离÷比例尺求出实际距离（厘米数），实际距离，再把所得实际距离（厘米数）除以进率化成千米数即可. 解：， 故答案为：1.8 9．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）已知为的三边，且，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了比例线段，依据，即可得出，再根据a、b、c为的三边，可得，进而得到． 解：∵， ∴，，， 可得， ∴， ∵a、b、c为的三边， ∴， ∴． 故答案为：1． 11．（22-23九年级下·四川内江·期中）已知非负实数a，b，c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求． 解：设，则 ∴． ∵a，b，c为非负实数， ∴； 解得：． ∴当时，S取最小值，当时，S取最大值． ∴，． ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，线段上的点，分别满足关系式，，．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据题意易得均为黄金分割点，根据黄金分割点的定义进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 解：（1）解：设，则， ． （2）设，则， ， ， 解得， ，， ． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知线段，满足． （1）求的值； （2）当线段是的比例中项且时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了比例线段，代数式求值，能根据题中所给等式，用b表示出a进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用b表示a，再进行计算． （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 又∵线段是的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 15．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？    【答案】 【分析】根据题意，得到，代入比例式计算即可． 解：根据题意可知，，宽，， 由， 得 即 ∴ 开平方，得， （舍去）． 【点拨】本题考查了比例式的计算，求算术平方根，熟练掌握比例式的计算是解题的关键． 16．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见分析；（2）见分析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见分析 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 解：（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质即可得出结果． 解：等式两边乘以，得， 故选：A． 【点拨】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键． 2．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 二、填空题 3．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 解：∵， ∴． 故答案为：4 4．（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：      【答案】 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 5．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 2 / 30 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