精品解析：辽宁省沈阳市法库县东湖第二初级中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

东湖二中2024—2025学年度八年级下学期第一次质量检测 数学试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于110次，但不少于70次，若表示小明每分钟跳绳的次数，则用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 有下列说法： ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ②三边长为，，3的三角形为直角三角形； ③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10； ④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 7. 八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是等腰三角形，，，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 10. 若关于的不等式组的整数解恰有4个，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 12. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 13. 如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为_____． 14. 关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于且的方程有整数解，则符合条件的所有整数的和是________． 15. 如图，已知四边形中，为的垂直平分线，，，，点E是边上一点，若，则线段______． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式：．并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组． 17. 已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 综合与运用 阅读理解：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“友好方程”是________；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围． 19. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 20. 某超市为了促销，推出了普通会员与会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购商品给予8折优惠，会员的收费方式是：缴纳会员费30元，所购商品给予7折优惠，小明计划在促销活动期间，在这个超市购买元的商品，则小明选择哪种购买方式花费的费用较少？ 21. 如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 22. 一次函数的图象经过点、，且和一次函数的图象交于点C，如图所示． （1）填空：不等式的解集是　　 （2）若不等式的解集是，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线上一动点．且在点C上方，当时，求点P的坐标． 23. 中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当时，请直接写出线段的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东湖二中2024—2025学年度八年级下学期第一次质量检测 数学试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于110次，但不少于70次，若表示小明每分钟跳绳的次数，则用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于110次，但不少于70次”，即可列出关于x的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加减一个数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘除一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：， ， 故A选项符合题意，D选项不符合题意， 当时，则， 即， 故B选项不符合题意， ∵ ∴ ∴ 故C选项不符合题意， 故选A． 3. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 4. 有下列说法： ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ②三边长为，，3的三角形为直角三角形； ③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10； ④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形以及等边三角形的性质分别进行分析，从而确定正确的个数即可． 【详解】解：①符合等边三角形的推论；故此选项正确； ②因为（）2＝（）2＋32所以该三角形为直角三角形；故此选项正确； ③因为当其两腰均为2时，两边之和等于第三边不符合三角形三边关系，故其周长只能为10；故此选项正确； ④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形；故此选项错误； 所以正确的有3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了学生对等腰三角形的性质，三角形三边关系及等边三角形的判定等知识点的综合运用能力，掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系及等边三角形的判定是解题关键． 5. 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据数轴可知x的取值为：，把各个选项的解的集合写出，进行比较就可以得到． 【详解】解：依题意得这个不等式组的解集是：． A、解集是：无解，故本选项不符合题意； B、解集是：，故本选项不符合题意； C、解集是：，故本选项不符合题意； D、解集是：，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式组解集的表示方法．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右、<向左． 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 7. 八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 8. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出A点坐标，再通过函数图象求得符合条件的x的范围． 【详解】解：∵点A在函数的图象上，A点纵坐标为2， ∴在函数中，令y=2，解得x=1，即A点坐标为． 由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方， 即当时，不等式成立， ∴不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，以及一次函数与不等式的关系，求出A点坐标，运用数形结合的思想求得不等式的解集，是解题的关键． 9. 如图，已知是等腰三角形，，，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质及坐标与图形的性质．以点为圆心，为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点为圆心，为半径的圆与坐标轴有三个交点；以为底，与坐标轴有两个点，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴有三个交点，，； 以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴有三个交点，，； 以为底，与坐标轴有两个点， ∵，， ∴， ∵，即， 解得， ∴， 综上，满足条件的点有6个． 故选：C． 10. 若关于的不等式组的整数解恰有4个，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据已知条件，原一元一次不等式组的整数解恰有4个，确定该不等式组解集的公共解集，进而求得的取值范围． 【详解】解： 解①得： 解②得： 不等式整理得， 不等式组的解集为： 关于的不等式组的整数解恰有4个，即、0、1、2； ． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、不等式的解集等知识，解题的关键是熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 12. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14. 关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于且的方程有整数解，则符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组；不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，根据一元一次方程有整数解确定出整数的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得： ∵方程 解得： ∵为整数解，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知四边形中，为的垂直平分线，，，，点E是边上一点，若，则线段______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点M，理由垂直平分线的性质以及勾股定理，，，利用三角形的面积公式可得的面积，进而得出，进而求出的面积，从而得出的面积，据此可得的长，根据，可得E为的中点，由此可得的长，进而得出的长，然后根据勾股定理解答可得的长． 【详解】解：过点D作于点M， ∵为的垂直平分线， ， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于O， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴E为的中点， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积，正确作出辅助线并掌握勾股定理是解答本题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式：．并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组． 【答案】（1），数轴见解答；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 求得解集，在数轴上表示即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为 1 ，得． 在数轴上表示这个解集如图所示 ． （2）， 由得； 由得． 所以原不等式组的解集为． 17. 已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 综合与运用 阅读理解：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“友好方程”是________；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式组的解集，解一元一次不等式组； （1）分别解一元一次方程，根据不等式组的解集以及新定义，即可求解； （2）先解一元一次不等式组，得出，根据新定义可得，解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：①，解得：， ②，解得：， ③，解得：， 由得原不等式组的解集为：， 不等式组的“友好方程”是：①③， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解： 由①得：，解得：， 由②得：，解得：， ， 把代入得： 解得：， 的取值范围． 19. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；；小 （2）当时， （3）可以；的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； 【小问2详解】 解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； 【小问3详解】 解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 20. 某超市为了促销，推出了普通会员与会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购商品给予8折优惠，会员的收费方式是：缴纳会员费30元，所购商品给予7折优惠，小明计划在促销活动期间，在这个超市购买元的商品，则小明选择哪种购买方式花费的费用较少？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据推出的普通会员与会员两种销售方式，可用含x的代数式表示出选择普通会员的收费方式花费的费用及选择VIP会员的收费方式花费的费用，分，及三种情况，求出x的取值范围或x的值，此题得解． 【详解】解：根据题意得：选择普通会员的收费方式花费的费用为元，选择会员的收费方式花费的费用为元， 若，则， ∴当时，选择普通会员的收费方式花费的费用较少； 若，则， ∴当时，选择购买方式花费的费用相同； 若，则， ∴当时，选择VIP会员的收费方式花费的费用较少， 答：当时，选择普通会员的收费方式花费的费用较少；当时，选择购买方式花费的费用相同；当时，选择VIP会员的收费方式花费的费用较少． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出选择两种购买方式花费的费用是解题的关键． 21. 如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）17.5 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 22. 一次函数的图象经过点、，且和一次函数的图象交于点C，如图所示． （1）填空：不等式的解集是　　 （2）若不等式的解集是，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线上一动点．且在点C上方，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象及题意可直接进行求解； （2）由题意可知点C的横坐标为1，直线的解析式为，然后可得点坐标； （3）过点P作轴于点H，由（1）（2）易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由图象及一次函数的图象经过点、，可得：当时，则该不等式的解集为； 故答案为； 【小问2详解】 解：由不等式的解集是可知点C的横坐标为1，由题意得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点H，如图所示： 由（2）可知，代入一次函数得：， ∴， ∴一次函数， 把代入一次函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、二次根式的运算、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、二次根式的运算、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 23. 中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当时，请直接写出线段的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）过点C作交于点E，证明是等边三角形，得到，证明得到，进而可得结论； （2）过点C作交于点F，同理，证明是等腰直角三角形，得到，证明得到，进而可得结论． 【小问1详解】 证明：过点C作交于点E，如图①， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点C作交于点F，如图②， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $