精品解析：山东省泰安市新泰市宫里镇初级中学（五四学制）2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

八年级下册数学第一次阶段检测 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列说法中不正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 正方形的四条边都相等 2. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 4. 把式子中根号外的移到根号内，结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子有意义，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 6. 已知是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 7. 能使等式成立的x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．测得，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 10. 如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 11. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 12. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 14. 若，，则的值为______． 15. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是______． 16. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为________． 18. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____，_____ 三、解答题 19. 计算 （1）； （2） （3） （4） 20. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求下列各式的值： ① ② 21. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 22. 如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 25. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接 （1）【感知】如图①，过点A作交于点F．则与的数量关系是____________． （2）【探究】如图②，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册数学第一次阶段检测 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列说法中不正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 正方形的四条边都相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的性质，菱形的判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，仅说四边形错误，故A错误； B、菱形沿对角线对称（轴对称），绕中心旋转重合（中心对称），故B正确； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，这是菱形判定定理，故C正确； D、正方形四条边相等，是基本性质，故D正确． 故选：A． 2. 如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 3. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 4. 把式子中根号外的移到根号内，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴， 故选：C． 5. 若式子有意义，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平面直角坐标系中各象限点的特征；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴. ∴点在第四象限 故选：D 6. 已知是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】解：，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故选：D． 7. 能使等式成立的x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：D． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．测得，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形．根据等宽结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形，        ，，， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定等知识点，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵， ∴平行四边形是矩形，A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），B正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴平行四边形是正方形，C正确，不符合题意； ∵或，四边形是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形是菱形，D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即得． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 11. 如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 菱形， ， 菱形的周长为40， ， ， 菱形的面积， ， 故选B． 12. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【详解】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=AB， ∵AD=AB， ∴AE=AD， 又∠ABE=∠AHD=90° ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE=DH， ∴AB=BE=AH=HD， ∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠AED=∠CED，故①正确； ∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE=∠AED， ∴OE=OH， ∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°， ∴∠OHD=∠ODH， ∴OH=OD， ∴OE=OD=OH，故②正确； ∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°， ∴∠EBH=∠OHD， 又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45° ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH=HF，HE=DF，故③正确； 由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF， ∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确； ∵AB=AH，∠BAE=45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选C． 【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由数轴得，a>2且a<5， 所以a-5<0，a-2>0， 原式=5-a+a-2=3． 故答案为：3 14. 若，，则的值为______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查因式分解，二次根式的运算．提公因式因式分解，结合平方差公式进行二次根式的运算求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：70． 15. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 故答案为：16． 16. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当有最小值时，取最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 18. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____，_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 三、解答题 19. 计算 （1）； （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简，再进行二次根式的加减计算； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算； （3）分别进行乘法计算和化简绝对值，再进行加减计算； （4）分别利用平方差公式计算，求算术平方根和求负整数指数幂，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求下列各式的值： ① ② 【答案】（1），；（2）①；②12 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可； （2）由题意可得：，再把①②整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） 当时， 原式； （2）， ， ① ； ② ． 21. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 又， ； ， 四边形是矩形， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再加上即可证明结论； 【详解】略 22. 如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 23. 如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得到，再证明得到，则，再根据矩形周长计算公式得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 25. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接 （1）【感知】如图①，过点A作交于点F．则与的数量关系是____________． （2）【探究】如图②，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接．若，求的长． 【答案】（1） （2）①证明：过点作于， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②2 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，证明即可得出结论； （2）①同（1）的方法判断出，即可得出结论；②利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知，，连接， ，点是的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $