9.2 有关几何体的外接球、内切球问题讲义-2026届高三数学一轮复习

§9.2 有关几何体的外接球、内切球问题 方法提炼 研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心. 1. 定义法 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可. (1) 正棱锥求外接球 正棱锥的顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上. 1　 正三棱锥：设正三棱锥的棱长，外接球的半径. 2　 正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 (2) 双外心 解题思路： 和的外接圆圆心，分别记为和． 分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． 取的中点为，连接，则． 在四边形中，， 所以四点共圆，且为直径. 在中使用正弦定理，得， 在中使用余弦定理，有， 所以. 在中，，且（为三棱锥的外接球半径），.所以. (3) 直棱锥外接球 为的外心，小圆的半径，， (4) 共斜边的三棱锥求外接球 AC的中点为球心O，. 2. 补形法 (1) 正方体的棱长为，球的半径为，若球为正方体的外接球，则；若球为正方体的内切球，则；若球与正方体的各棱相切，则. 如图，正四面体可以补形成正方体 正四面体的外接球的半径，内切球的半径，其半径之比(为该正四面体的棱长). (2) 若长方体的共顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.常见的可以补形成长方体的三棱锥： ①三条侧棱互相垂直的三棱锥（墙角模型） ②四个面均是直角三角形的三棱锥 ③对棱相等的三棱锥 ④有三个面为直角三角形的三棱锥 3. 截面法 与球截面有关的解题策略：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. (1) 圆锥的外接球(侧棱相等的三棱锥可补形成圆锥） ，解出． (2) 圆柱的外接球（直三棱柱可补形成圆柱） 由对称性可知球心的位置是圆柱上、下底面圆心连线的中点，下底面的半径为，（为圆柱的高），则． (3) 在圆锥中，内切球半径等于其最大轴截面三角形的内切圆半径.设底面圆半径为，圆锥的高为，则利用等面积法可得内切球半径或（为圆锥轴截面三角形的面积和周长）. (4) 对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径. 4. 等体积法 先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中为几何体内切球的半径，为几何体的体积，为几何体的表面积． 【例1.1.】 半球形容器内放有三个半径均为1的玻璃球，三球两两相切且均与容器内壁和容器沿口所在平面相切，则半球形容器的半径为 . 【例1.2.】 （多选）空间中有一个球体和一个棱长为2的正方体，正方体有且仅有两个面所在的平面与球体相切，又有且仅有两个顶点在球面上，则满足条件的球体的半径可以是（   ）. A．1 B．2 C． D． 【例1.3.】 （多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【例1.4.】 已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【例1.7.】 已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【例1.8.】 一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 【例1.9.】 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.10.】 现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.11.】 如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【例1.12.】 （多选）已知两个无公共点且半径为1的球，若在两球球面上各存在两点，使得这四点恰为某正四面体的四个顶点，则（    ） A．该正四面体棱长可以为2 B．该正四面体棱长可以为 C．两球球心间的距离可以为 D．两球球心间的距离的最大值为 【例1.13.】 已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【例1.14.】 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1.15.】 在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 【例1.16.】 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上，，，则三棱锥体积的最大值为 ． 【例1.17.】 已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为 . 【例1.18.】 四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【例1.19.】 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，求该正方体的棱长的最大值． 【例1.20.】 已知圆柱的体积为，轴截面的面积为，若圆锥可以在该圆柱内部任意转动，则圆锥体积的最大值为 . 【例1.21.】 如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例1.22.】 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【例1.23.】 （多选）如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（    ） A．C是椭圆的一部分 B．C是抛物线的一部分 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．“楔形体”的体积V满足 【例1.24.】 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【例1.25.】 已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【例1.26.】 已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（    ） A．36 B．42 C．48 D．24 【例1.27.】 已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D．  【例1.28.】 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【例1.29.】 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 【例1.30.】 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例1.31.】 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 【例1.32.】 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【例1.33.】 工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（    ） A．7 B． C． D． 【例1.34.】 已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 . 【例1.35.】 如图，某圆台形木质零件的上底面圆的半径为3，下底面圆的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆为底面、为顶点的圆锥，为增加该材料的利用率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是（参考数据：）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例1.36.】 在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， 两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例1.37.】 （多选）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 【强化训练】 1. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 2. 在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3. 设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（   ） A． B． C． D． 4. 已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5. 已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6. 已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（   ） A． B． C． D． 7. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8. 棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 9. 已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10. （多选）在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（    ） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 11. （多选）约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（    ）    A．共有15条棱 B．表面积为 C．高为 D．外接球的体积为 12. （多选）已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为，点满足，则（   ） A．当时，圆锥的体积为 B．当时，从点绕圆锥一周到达点的最短长度为 C．当时，顶点和两条母线构成的截面三角形的最大面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 13. 已知某圆锥的母线与底面所成角为，其内切球的表面积为，则该圆锥的外接球的体积为 . 14. 已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ． 15. 已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 . 16. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题： ①平面截得球的截面面积最小值为； ②球的表面积是圆柱的表面积的； ③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为． 其中所有正确的命题序号为 . 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(1) 圆锥的外接球(侧棱相等的三棱锥可补形成圆锥） ，解出． (2) 圆柱的外接球（直三棱柱可补形成圆柱） 由对称性可知球心的位置是圆柱上、下底面圆心连线的中点，下底面的半径为，（为圆柱的高），则． (3) 在圆锥中，内切球半径等于其最大轴截面三角形的内切圆半径.设底面圆半径为，圆锥的高为，则利用等面积法可得内切球半径或（为圆锥轴截面三角形的面积和周长）. (4) 对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径. 4. 等体积法 先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中为几何体内切球的半径，为几何体的体积，为几何体的表面积． 【例1.1.】 半球形容器内放有三个半径均为1的玻璃球，三球两两相切且均与容器内壁和容器沿口所在平面相切，则半球形容器的半径为 . 【答案】 【详解】由题意可设三个小球的球心分别为，，， 三球心在容器沿口所在平面上的投影分别为，，， 则得到一个底面边长为2，高为1的正三棱柱， 由球的对称性知半球的球心为的中心，则， 在中，，， 可得， 得半球的半径为. 故答案为：. 【例1.2.】 （多选）空间中有一个球体和一个棱长为2的正方体，正方体有且仅有两个面所在的平面与球体相切，又有且仅有两个顶点在球面上，则满足条件的球体的半径可以是（   ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】ACD 【详解】当如图时，    易知球的半径为1； 当如下图时，    设球的半径为， 球与正方体相切于两点， 且过顶点，为的中点，连接 的延长线交平面于点，连接， 根据对称性及球体、正方体的特点，易知， 则，， 而，故，解得,表示球心在正方体内外两种情况. 故选：ACD 【例1.3.】 （多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 【例1.4.】 已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设圆锥的底面圆半径，则， 解得 ，于是圆锥的高. 设该圆锥内切球的球心为点，由对称性可知点在高线上， 设该圆锥内切球半径为， 因圆锥的轴截面为等腰三角形，故其面积为， 解得 . 故选： A 【例1.5.】 在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面， 由对称性知其内切球球心在上，到的距离相等为球的半径，设其为， 因为是直角，所以是正方形，即， 由得，即，解得， 球体积为． 故选：C． 【例1.6.】 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高， 若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离， 所以，即，可得， 故外接球的表面积为. 故选：A 【例1.7.】 已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外），所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设的内切圆的圆心为， 切、、于、、， 因为为等边三角形，所以、、分别为、、的中点， 设与交于点，的边长为，则，，， 则圆锥与其内切球表面的交线为（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆， 所在的平面将圆锥分成上下两部分，此时上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 所以上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 所以所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为. 故选：B 【例1.8.】 一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ． 【答案】 【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体， 作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以， ，，又，所以， 即表面积为． 故答案为： 【例1.9.】 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 【例1.10.】 现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于该正方体棱长为2，故其外接球的半径为， 这个正四面体棱长的最小时，正四面体内切球的半径为. 设正四面体棱长为，其高为， 根据等体积法知：，解得. 故选：D. 【例1.11.】 如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 【例1.12.】 （多选）已知两个无公共点且半径为1的球，若在两球球面上各存在两点，使得这四点恰为某正四面体的四个顶点，则（    ） A．该正四面体棱长可以为2 B．该正四面体棱长可以为 C．两球球心间的距离可以为 D．两球球心间的距离的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，当正四面体棱长可以为2时，此时两球心在分别在弦中点处， 连接，因为正四面体棱长2，所以， 则，所以此时两球一定有交点，故A错误； 在正四面体中，设分别为弦中点，边上为， ，则， 对于B，棱长为时，此时，， 所以存在两个半径为1的球无公共点，故B正确； 对于CD，令， 则 其中， ，当取等，所以CD正确； 故选：BCD. 【例1.13.】 已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球的半径为，三棱锥的表面积为， 则， 解得， 又由，且， 可得， 设在底面内的射影为， 因为在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交，，于点G，T，H， 如图所示，则也是正三棱锥，球即为该三棱锥的内切球， 又因为， 设球的半径为，则，所以， 所以. 故选：B. 【例1.14.】 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 【例1.15.】 在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接， 因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点， 则由球的性质可知，平面， 设外接球半径为, 是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形, , 在中勾股定理可知, 则在中利用余弦定理可得， ,，则，得， 所以的最小值为1，外接球体积最小值为. 故选：C. 【例1.16.】 已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上，，，则三棱锥体积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，而， 则，解得，设到面的距离为，而， 如图，我们作出符合题意的三棱锥，连接， 若三棱锥的体积最大，则同时最大即可， 由三角形面积公式得， 由余弦定理得， 则， 得到， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 故，则， 解得，即，故面积取得最大值为， 由题意得球的半径为2，，设球心到面的距离为， 由勾股定理得，则到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 而，故，则直线与平面所成角为， 因为三棱锥的各顶点均在半径为2的球球面上， 所以，而，而， 故是以为顶点的等腰直角三角形，得到， 当面垂直于平面时，点到平面的距离最大， 最大距离为， 故三棱锥体积的最大值为． 故答案为： 【例1.17.】 已知正四棱锥的底面边长为3，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】方法一：由题意得，球为正四棱锥的内切球. 如图①所示，设底面中心为O，过P作与垂直的平面，则该平面与球的交线为圆，过作与PC垂直的平面，该平面与球的交线也为圆，球上两圆的交点即为点Q.因为两圆都关于平面对称，且两圆有且只有一个交点，故点Q也在平面上，即点Q在PO上.M，N分别为，的中点，分别作平面，平面截正四棱锥的截面，如图②③所示. 设球的半径为，球心为，. 在图②中，因为， 所以.所以， 又.所以， 则有，即. 在图③中，， 故， 因为现与均相切， 故，故，即， 球的半径.球的表面积. 故答案为：. 方法二：连接AC，BD，设交点为O，如图建立以O为原点的空间直角坐标系. 因底面边长为3，则，设. 则，，. 因，则，又， 则，则，所以为定值， 因球面上仅有一点满足且，则为球体与线段PO的交点， 则，则球体半径为. 注意到正四棱锥体积为：，其中为四棱锥表面积， 如图，取BC中点为F，连接OF，PF，则. 则，则 又正四棱锥体积为：，则 . 则，则球体表面积为：. 故答案为：. 【例1.18.】 四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为, 则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，， 由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，， 所以，所以四棱锥表面积为， 由，即， ∴，则的长为. 故选：B. 【例1.19.】 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，求该正方体的棱长的最大值． 【答案】 【详解】设外接球的半径为，则，． 设正六棱锥的底面边长为，则，， 即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2． 正六棱锥的底面积． 侧面面积． 正六棱锥的体积． 设正六棱锥的内切球的半径为， 则． ． 设正方体的棱长为，则，． 正方体的棱长的最大值为． 【例1.20.】 已知圆柱的体积为，轴截面的面积为，若圆锥可以在该圆柱内部任意转动，则圆锥体积的最大值为 . 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 由圆柱的体积为，得，即①， 又圆柱的轴截面面积为，所以，即②， 联立①②解得，， 又，则圆柱的内部可放球的最大直径为. 若圆锥可以在该圆柱内部任意转动，则圆锥在该球的内部， 则圆锥体积取最大值时，圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在球面上， 设此时圆锥的底面半径为，高为，球心为，又球的半径为， 则， 其中，所以此时圆锥的体积，， 所以， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时， 故答案为：. 【例1.21.】 如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，圆柱底面半径，母线长， 所以圆柱的表面积. 故选：C 【例1.22.】 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 【例1.23.】 （多选）如图，在圆柱中，AB，CD为圆的两条直径，CE，DF是两条母线，且．用平面ABE和平面ABF截这个圆柱所得中间部分称为“楔形体”，记平面ABE与圆柱侧面的交线为曲线C，则（    ） A．C是椭圆的一部分 B．C是抛物线的一部分 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．“楔形体”的体积V满足 【答案】ACD 【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切， 又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点， 过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线， 同是上面球的切线，可得， 则， 由椭圆的定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确,B错误； 因为是直径，可得圆柱的外接球即为三棱锥的外接球， 故外接球的球心在上，且为的中点， 设外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确； 圆柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以“楔形体”的体积V小于， “楔形体”的体积V大于半个圆柱的体积， 所以“楔形体”的体积V满足，故D正确. 故选：ACD. 【例1.24.】 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 【例1.25.】 已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设球的半径为球与正三棱柱的各个面均相切 正三棱柱的高为，底面边长为. 设正三棱柱上，下底面的中心分别是是的中点，连接交于， 则到平面的距离 .又. 所得截面圆半径， 故选：A. 【例1.26.】 已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（    ） A．36 B．42 C．48 D．24 【答案】A 【详解】设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形， 因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，即， 不妨设该正六棱柱的高为h，则且，r取两者之中的较小者， 由点M到A，B，C，D，E，F的距离均为2，得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心， 因此正六棱柱的外接球半径， 若，则，； 若，则，， 于是当时，取得最小值，正六边形的面积为， 所以该正六棱柱的体积为. 故选：A 【例1.27.】 已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径， 设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得， 所以，所以. 故选：D．    【例1.28.】 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 【例1.29.】 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设圆台的上下底面的中心为， 上下底面的半径分别为，一条母线为， 因为展开图扇环的面积为，故， 而半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切， 故，且， 故且，故， 故圆台的体积为 故选：B. 【例1.30.】 正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 【例1.31.】 已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上， 连接并延长交于，连接并延长交AB于D， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，C=CD=，则， 设正三棱台的外接球的半径, 得，解得，即. 故选：B.    【例1.32.】 已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，正四棱台，分别为上下底面的中心. 由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为，，则. 又因为该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，可知，得，即正四棱台的高为. 又上底面的面积，下底面的面积， 则该四棱台的体积为. 故选：B. 【例1.33.】 工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则，． 设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则． 设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得或， 即或， 解得． 故选：D． 【例1.34.】 已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 . 【答案】 【详解】如图，记正四棱台的上底面的中心为， 过作平面于，则点在上， 记半球与分别相切于点，由正四棱台和球的结构特征知，为的中点， 由，得，记半球半径为， 则， 于是， 在中，，解得， 所以半球的表面积为. 故答案为： 【例1.35.】 如图，某圆台形木质零件的上底面圆的半径为3，下底面圆的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆为底面、为顶点的圆锥，为增加该材料的利用率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是（参考数据：）（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意可知， 所以四边形为矩形，则，所以， 所以，即为等边三角形， 所以内切圆的半径为， 即满足要求的球的半径为， 过点作，垂足为， 则四边形为矩形，所以， 显然在以为圆心，半径为的圆周上运动，作出截面图，如图， 在中，， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以满足题意的球至多有个. 故选：B. 【例1.36.】 在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， 两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，所以，由翻折的不变性可知，翻折后的图形如图所示， 设点在轴上的投影为，易知平面， 连接，，所以.点在轴上的投影为， 在中，由勾股定理得， 所以在中，易得， 在中，由余弦定理得，， 即，解得，所以. 所以是一个顶角为，腰长为的等腰三角形， 将其绕直线旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体， 其轴截面如图所示， 则在该轴截面中和为边长为的等边三角形， 则该旋转体内切球的半径即为菱形内切圆的半径， 由等面积法可得， 即，解得， 因此该旋转体内切球的表面积为. 故选：C. 【例1.37.】 （多选）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由题意得，可以只分析正四棱锥，易得正四棱锥的高为， 侧面正三角形的高为，设内切球的半径为，则由面积法可得，解得， 所以表面积为，故A正确； 对于B选项，正八面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，， 因此，故B错误； 对于C选项，取中点， ， 而点到的距离为， 因此的最小值为，最大值为， ， 代入数据可得的范围是，故C正确； 对于D选项，设球心为， 由球的几何性质可知，当与球相切时，最大， 此时为锐角，如下图所示： 易知，，， 则， 所以，D对. 故选：ACD. 【强化训练】 1. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，在中，，且， 由余弦定理得， 设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即 再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为， 在直角中，可得， 所以球的表面积为. 故选：B.    2. 在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 3. 设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，分别为该四棱锥外接球、内切球半径， 由题可知球心在高上， ，， 过球心做面垂线，垂足为， 则点在的中线上（为中点），且， 则，， 在中，边上的高为， 所以，， 故选：D． 4. 已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图. 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为. 故选：A. 5. 已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，正四棱台的高为， 其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示. 不妨设O距离下底面距离为x，则， 解得，即正四棱台下底面中心即为球心， 则外接球的直径为，表面积为， 故选:C. 6. 已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，取底面的中心为，可得平面， 又因为，可得，所以正四棱锥的外接球为以为球心， 以为半径的球，设到平面的距离为，由， 可得，解得， 设侧面所在平面被球所截的圆的半径为，则， 所以，所以该截面面积为， 故选：B. 7. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 8. 棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D 9. 已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设在底面的投影为，连接并延长交于，易知E为中点， 正四面体的棱长为， 则由正四面体的特征知，， 正四面体的高为. 当正四面体内接于球时，即时，最小， 此时，得. 当球与正四面体的每条棱都相切时，即，最大， 因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等， 所以当球与正四面体的每条棱都相切时， 借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点， 且球心到正四面体的顶点的距离为， 利用勾股定理可得，得. 故正四面体的棱长的取值范围为. 故选：A. 10. （多选）在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（    ） A．表面积为 B．体积为 C．外接球的半径为 D．内切球的半径为 【答案】BCD 【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为， 两个等腰三角形的面积为， 所以四面体的表面积为，故A错误； 取的中点，由等边三角形的性质可得：， 由于平面，所以平面， 由此可得等腰三角形面积为， 所以四面体的体积为，故B正确； 设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确； 由两个等边三角形的外心分别为，可得， 过分别作两个平面平面的垂线，相交于点， 根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心， 由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上， 则有，即， 又因为，所以， 所以外接球半径为，故C正确； 故选：BCD. 11. （多选）约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（    ）    A．共有15条棱 B．表面积为 C．高为 D．外接球的体积为 【答案】ACD 【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，A选项正确； 台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1， 表面积为，B选项错误； 上底面正三角形在下底面正六边形内的投影为， 则点是正六边形的中心，也是的中心，   和都是正三角形，是的中心， 由棱长为1，则， 所以台塔的高，C选项正确； 设上底面正三角形的外接圆圆心为，则半径， 下底面正六边形的外接圆圆心为，则半径，    设台塔的外接球半径为，， 则有或，解得， 所以，台塔的外接球体积，D选项正确. 故选：ACD 12. （多选）已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为，点满足，则（   ） A．当时，圆锥的体积为 B．当时，从点绕圆锥一周到达点的最短长度为 C．当时，顶点和两条母线构成的截面三角形的最大面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 【答案】ABD 【详解】由题意，圆锥的侧面积，所以. 对于A，当时，，由勾股定理可得圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确； 对于B，当时，，将圆锥侧面展开如图2，则， 圆锥底面周长为，设，则，即， 在中，根据余弦定理可得，， 则，所以从点绕圆锥一周到达点的最短长度为，故B正确； 对于C，当时，，设，则，所以， 设圆锥的两条母线构成的夹角为，则，其中， 所以当时，顶点和两条母线构成的截面三角形取得最大面积为，故C错误； 对于D，当时，，由勾股定理可得圆锥的高，设圆锥的内切球球心为，半径为， 过点作于点，由三角形相似可得，即，得， 设棱长为的正四面体其外接球半径为，则正四面体的高为，则有，整理可得. 因为正四面体的棱长为，则，所以正四面体在圆锥内可以任意转动，故D正确. 故选：ABD. 13. 已知某圆锥的母线与底面所成角为，其内切球的表面积为，则该圆锥的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】如图，由题意可知，圆锥的轴截面PAB是一个顶角为的等腰三角形， 设内切球球心为O，半径为，连接AO，则， 由，得，即， 又， 在中，，所以，所以， 所以， 由圆锥的结构特征可知，其轴截面的外接圆的半径等于该圆锥外接球的半径， 则，则， 所以该圆堆的外接球的体积. 故答案为： 14. 已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则， 所以，． 设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为， 则． 设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得， 所以或， 即或， 解得，所以三棱台的外接球的表面积为．    故答案为： 15. 已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【详解】设外接圆的圆心为，半径为. 由正弦定理，在正中，，，则. 因为，所以，即，解得. 已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得. 当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离. 根据正三角形面积公式，可得. 根据三棱锥体积公式，可得. 故答案为：. 16. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题： ①平面截得球的截面面积最小值为； ②球的表面积是圆柱的表面积的； ③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为． 其中所有正确的命题序号为 . 【答案】①③ 【详解】对于①，过点在平面内作，垂足为点，如下图所示： 易知，，， 由勾股定理可得， 则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面时，取最大值，即， 所以，， 所以平面截得球的截面面积最小值为，①对； 对于②，因为球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以球与圆柱的表面积之比为，②错； 对于③，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为， 则，，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以，， 所以，， 因此，，③对. 故答案为：①③. 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