空间几何体的外接球与内切球讲义-2026届高三数学一轮复习

空间几何体的外接球与内切球 课前学习任务 一、必备知识 1.补形法适用的三种常见三棱锥： ①墙角模型——三条棱两两垂直，如图(1)； ②鳖臑模型——四个面都是直角三角形，如图(2)； ③对棱相等模型——三组对棱分别相等，如图(3). 图(1) 图(2) 图(3) 2.单面定球心法 步骤：(1) 定一个面外接圆圆心：如图(1)，在三棱锥P-ABC中，选中底面三角形ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理2r＝定外心). (2) ①侧棱相等的三棱锥——如图(1)，PO1⊥底面ABC，则球心一定在直线PO1上(注意不一定在线段PO1上)；在直线PO1上取球心O，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OO，可计算出球半径R. 图(1) ②侧棱垂直于底面的棱锥——如图(2)，过△ABC的外接圆圆心O1作底面ABC的垂线，球心O在垂线上，过球心O向PA作垂线，垂足为M，则有MA＝OO1＝h，OM＝O1A＝r.计算球半径R：利用OA＝R＝＝OP＝，求出h，从而求出R. 图(2) 3. 内切球等体积法 如图，在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下： VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PBC＋VO-PCD＋VO-PAD＋VO-PAB，即VP-ABCD＝S四边形ABCD·r＋S△PBC·r＋S△PCD·r＋S△PAD·r＋S△PAB·r，可求出r. 4. 内切球独立截面法 (1) 画出过球心和切点的大圆的截面图； (2) 在截面中，找到和球半径相关的直角三角形； (3) 利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径． 课堂核心考点 考点一 长方体切割体的外接球 例1　(1) (墙角模型)在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为(　　) A. π　 B. 2π　 C. 3π　 D. 4π (2) (鳖臑模型)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为(　　) A. 10π B. 25π　 C. 50π D. 100π (3) (对棱相等模型)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，若沿对角线AC将△ABC折起到△ACB′的位置，使得B′D＝，则此时三棱锥B′-ACD的外接球的体积是___________________． 考点二 柱体的外接球 例2　(1)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(　) A. 4π B. 6π　 C. 8π D. 10π (2) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为(　　) A. 72π B. 114π　 C. 136π D. 144π 考点三 锥体的外接球 例3　(1) 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为(　　) A. B. 　 C. 10π D. 5π (2) 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A. 3π　 B. 4π　 C. 9π　 D. 12π 考点四 台体的外接球 例4　(1) 在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(　　) A. 3∶4 B. 1∶2　 C. 3∶8 D. 3∶10 (2) (多选)某正四棱台的上、下底面边长分别为3和4，若该正四棱台所有的顶点均在表面积为100π的球面上，则该正四棱台的体积可能为(　　) A. B. 　 C. D. 考点五 几何体的内切球 例5　(1) (等体积法)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是(　) A. 　 B. 　 C. 　 D. (2) (独立截面法)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝4r1＝4，则圆台的体积与球的体积之比为(　　) A. B. 　 C. D. 课后提升练 1. 若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　) A. 4π　 B. 12π　 C. 8π　 D. 32π 2.已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为(　　) A. 5π　 B. 12π　 C. 20π　 D. 80π 3. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别是3和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是(　　) A. 100π　 B. 128π　 C. 144π　 D. 192π 4. (2025·连云港期中)已知圆锥的母线长为13，侧面积为65π，则该圆锥的内切球的表面积为(　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 5. 已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 6. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一球面上，若AB＝3，AC＝AA1＝2，∠BAC＝，则此球的表面积为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 32π 7. (2025·邯郸期中)已知球M的直径PQ＝4，A，B，C是球M球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P-ABC的体积为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 8. 已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，则该球的表面积是_________________. 9. 已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上)，若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为(5＋3)π，则球O的体积为___________________． 10. 已知球O内切于正四棱锥P-ABCD，PA＝AB＝2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则·的取值范围为___ 答案解析 课堂核心考点 例1　(1) A　【解析】 设AB，AC，AD的长分别为a，b，c，由题意得解得因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为棱长的长方体的体对角线长就是该三棱锥的外接球的直径，所以R＝×＝，故所求外接球的体积为×＝π. (例1(2)) (2) D　【解析】 三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，把三棱锥PABC补成一个长方体，如图所示．所以长方体的外接球即是三棱锥PABC的外接球．因为PA＝8，AC＝6，可得长方体的外接球的半径为R＝×＝5，所以球O的表面积为S＝4π×52＝100π. (3) 　【解析】 如图(1)，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，则AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝9＋16－12＝13，所以AC＝.如图(2)，在三棱锥B′ACD中，B′C＝AD＝4，B′A＝CD＝3，AC＝B′D＝，故可将三棱锥B′ACD补成一个长方体，如图(3)，则故2(a2＋b2＋c2)＝38.由题意可知三棱锥B′ACD的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为r，则r＝＝，故外接球的体积为. 图(1) 　图(2) 　图(3) (例1(3)) 例2　(1) C　【解析】 由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝＝，故该球的表面积为4πr2＝8π. (例2(2)) (2) C　【解析】 由题意可得三棱柱的上、下底面为直角三角形，如图，取上、下底面直角三角形斜边的中点O1，O2，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心O为上、下底面的外接圆圆心的连线O1O2的中点，连接AO.由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，则r＝AO2＝5，则R＝AO＝＝，故该直三棱柱外接球的表面积为4πR2＝136π. 例3　(1) B　【解析】 因为三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，设底面三角形ABC的外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R.由正弦定理得2r＝＝＝，可得r＝，所以R＝＝＝，则所求外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝. (例3(1)) 　　(例3(2)) (2) B　【解析】 如图，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD.设球的半径为R，则＝，解得R＝2，可得AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，所以AD＝3.因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＝∠BCD.又因为∠ADC＝∠BDC，所以△ACD∽△CBD，所以＝，所以CD＝＝.因此，这两个圆锥的体积之和为π·CD2·(AD＋BD)＝×π×3×4＝4π. (例4(1)) 例4　(1) C　【解析】 令外接球的半径为2R，依题意O2A＝2R，O2B＝2R，O1B＝R.如图，过点B作BC⊥O2A，则O2C＝O1B＝R，所以AC＝O2C＝R，又BC＝O1O2＝＝R，所以AB＝＝2R，所以圆台的侧面积S1＝(2πR＋2π×2R)×2R＝6πR2，球的表面积S2＝4π×(2R)2＝16πR2，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为S1∶S2＝(6πR2)∶(16πR2)＝3∶8. (2) BD　【解析】 设外接球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5.设上底面正方形ABCD的中心为M，下底面正方形EFGH的中心为N.如图(1)，若球心在正四棱台的内部，连接OA，OE，AM，EN，OM，ON，则MN为正四棱台的高，OA＝OE＝5，可得AM＝AC＝×＝3，同理NE＝4.由勾股定理得OM＝＝＝4，ON＝＝＝3，可得正四棱台的高h＝MN＝4＋3＝7，正四棱台的体积V＝×(18＋32＋)×7＝.如图(2)，若球心在正四棱台的外部，可得正四棱台的高h＝OM－ON＝4－3＝1，所以正四棱台的体积V＝×(18＋32＋)×1＝. 图(1) 　图(2) (例4(2)) 例5　(1) C　【解析】 如图，过点P作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接OA.因为AB＝6，所以OA＝3，所以OP＝＝＝，则四棱锥PABCD的体积V＝×62×＝12，四棱锥PABCD的表面积S＝6×6＋×6××4＝84.设四棱锥PABCD内切球的半径为r，内切球的球心为O′，由V＝VO′ABP＋VO′BCP＋VO′CDP＋VO′ADP＋VO′ABCD，可得V＝S·r，即12＝×84r，解得r＝，故四棱锥PABCD内切球的表面积是4πr2＝. (例5(1)) 　　(例5(2)) (2) B　【解析】 如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底面分别切于点O1，O2，r1＝1，r2＝4.注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，从而△AO2O∽△OO1D，设球的半径为r，故r2＝r1r2＝4.设圆台体积为V1，球体积为V2，则＝＝＝＝. 课后提升练 1. A　【解析】 设正四面体的棱长为a，由题意可知4×a2＝8，解得a＝2，所以正四面体的棱长为2.如图，将正四面体放在一个正方体中，则正方体的棱长为2，体对角线长为2.因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球的半径R＝，则外接球的体积为V＝πR3＝4π. (第1题) 　　 (第4题) 2. C　【解析】 设长方体的长、宽、高分别为a，b，2，所以长方体的体积为V＝2ab＝16，解得ab＝8.设长方体的外接球的半径为R，所以2R＝，即4R2＝a2＋b2＋4≥2ab＋4＝20，即R≥，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以Rmin＝，所以其外接球表面积的最小值为S＝4πR2＝20π. 3. A　【解析】 由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，下底面所在平面截球所得圆的半径是4，则在轴截面中由几何知识得＋＝1或－＝1，解得R2＝25，故所求球的表面积是S＝4πR2＝4π·25＝100π. 4. C　【解析】 设该圆锥底面圆半径为r，高为h，根据题意有πrl＝13πr＝65π，所以r＝5，h＝12.如图，设其内切球半径为R，所以＝⇒＝，解得R＝，所以内切球的表面积S＝4πR2＝4π·＝. 5. C　【解析】 如图(1)，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处．设球O与母线AB切于点M，所以OM⊥AB，所以OM＝OO1＝OO2＝2，所以△AOO1≌△AOM，所以AM＝r1，同理BM＝r2，所以AB＝r1＋r2＝3r1.如图(2)，在轴截面中，过A作AG⊥BO2，垂足为G，则BG＝r2－r1＝r1，AG＝O1O2＝4，所以AG2＝AB2－BG2，即16＝(3r1)2－r＝8r，所以r1＝，所以r2＝2，所以该圆台的体积为×(2π＋8π＋4π)×4＝. 图(1) 　　 图(2) (第5题) (第6题) 6. B　【解析】 如图，设△ABC的外心是O1，△ABC外接圆半径O1B＝r.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝，可得BC＝＝＝.由正弦定理知2r＝＝，可得△ABC外接圆半径r＝.设三棱柱外接球的球心为O，半径为R，则OO1＝AA1＝1.在Rt△OBO1中，R＝OB＝＝，故此球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝. 7. B　【解析】 设球心为M，等边三角形ABC截面小圆的圆心为O(也是等边三角形ABC的中心).由于△ABC是等边三角形，∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，所以PQ⊥平面ABC，P在平面ABC的投影即O，也即等边三角形ABC的中心，且PO⊥平面ABC，则PO⊥OC.因为PQ是直径，所以∠PCQ＝90°.所以PC＝4cos 30°＝2，PO＝2cos 30°＝3，OC＝2sin 30°＝.由于O是等边三角形ABC的中心，所以OC＝CH，所以等边三角形ABC的高CH＝，AC＝÷sin 60°＝3，所以三棱锥PABC的体积为V＝×PO×S△ABC＝×3×(×3×3×)＝. (第7题) 　　 (第8题) 8. 20π　【解析】 过△ABD的中心E作平面ABD的垂线，过△BCD的中心F作平面BCD的垂线，两垂线交于点O，连接OD.依据题中条件可知，O为四面体ABCD的外接球球心．因为AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2，所以DF＝2，OF＝1，则OD＝＝，即外接球半径为，则该球的表面积为4π()2＝20π. 9. 　【解析】 设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为r1和r2，则圆台侧面积为S＝π(r1＋r2)l＝π(1＋2)l＝3πl，上、下底面面积分别为π和4π.由圆台表面积为(5＋3)π，得l＝，所以圆台高h＝＝＝1.设球O半径为R，圆台轴截面ABCD为等腰梯形，且AB＝4，CD＝2，高为1.如图，作OM⊥AB于点M，设OM＝x，由r＋h2＝2<r，则球心O在圆台外部，则有解得x＝1，R＝，所以球O的体积为. (第9题) 　　 (第10题) 10. [0，2]　【解析】 如图，令H是正四棱锥PABCD底面正方形中心，则PH⊥平面ABCD，而AH＝，则PH＝＝，正四棱锥PABCD的体积V＝×22×＝，正四棱锥PABCD的表面积S＝4××22＋22＝4(＋1).显然球O的球心O在线段PH上，设球半径为r，则V＝Sr，即r＝＝.在△POA中，∠PAO<45°＝∠APO，于是OA>OP.又EF是球O的一条直径，因此·＝(＋)·(－)＝2－2＝2－2，显然OH≤QO≤AO，则(·)min＝0，(·)max＝AO2－OH2＝AH2＝2，所以·的取值范围为[0，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$