主题3 第7章 热点强化课7 空间几何体内切球与外接球问题(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

　　　空间几何体的内切球问题 ►[命题点1]　等体积法 将空间几何体拆分为以内切球球心为顶点的多个几何体，再利用等体积法求出内切球半径 ，主要用于多面体内切球问题． [例1]　在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，且SA＝3，AB＝4，AC＝5，若球O在三棱锥S­ABC的内部且与四个面都相切(称球O为三棱锥S­ABC的内切球)，则球O的表面积为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． [解析]　因为SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BC， 又BC⊥AB，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB， 所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥SB， 所以△SAB，△ABC，△SAC，△SBC均为直角三角形， 设球O的半径为r，则VS－ABC＝(S△SAB＋S△CAB＋S△SAC＋S△SBC)·r， 而VS­ABC＝×3××3×4＝6，S△SAB＝S△CAB＝SA·AB＝6，S△SAC＝S△SBC＝×3×5＝， 所以·r＝6，解得r＝， 所以球O的表面积为S＝4πr2＝4π×＝. [答案]　C [例2]　已知点O到直三棱柱ABC­A1B1C1各面的距离都相等，球O是直三棱柱ABC­A1B1C1的内切球，若球O的表面积为16π，△ABC的周长为4，则三棱锥A1­ABC的体积为(　　) A． B． C． D． [解析] 　设直三棱柱ABC­A1B1C1的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r， 由题意可知球O的表面积为16π＝4πr2，解得r＝2，∴h＝4， 又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4， ∴连接OA，OB，OC，OA1，OB1，OC1，可将直三棱柱ABC­A1B1C1分成5个棱锥， 即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥， ∴由体积相等可得直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为S△ABCh＝ahr＋bhr＋chr＋2×S△ABCr， 即4S△ABC＝(a＋b＋c)hr＋S△ABC， ∴S△ABC＝4， ∴三棱锥A1­ABC的体积为S△ABCh＝×4×4＝. [答案]　B 　　 球内切多面体问题以球心为顶点，以多面体各面为底进行体积分割，可由公式S多面体表面积·R内切球半径＝V多面体体积来计算内切球半径． ►[命题点2]　独立截面法 主要用于旋转体中，通过独立截面(过球心的截面)，在截面中求出内切球的半径． [例3]　(2025·广东梅州一模)某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球(与圆锥的底面和侧面均相切)的半径为(　　) A． B． C． D． [解析]　 圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R，则AB＝2，CG＝2， 所以AC＝BC＝＝， 又S△ABC＝S△ADB＋S△ADC＋S△BDC， 即×2×2＝×2R＋×R＋×R， 解得R＝＝，即内切球的半径为.故选B. [答案]　B [例4]　棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大值为(　　) A． B．π C．π D．π [解析]　如图， 由题意知球和正四面体A－BCD的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为O，半径为R，空隙处的最大球球心为O1，半径为r，G为△BCD的中心，易知AG⊥平面BCD，E为CD中点，球O和球O1分别与面ACD相切于F和H. 易得BE＝＝3，BG＝BE＝2，AG＝ ＝2， 由VA－BCD＝VO－BCD＋VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD， 可得R＝. 又VA－BCD＝×2××2×2×＝2，S△BCD＝S△ABC＝S△ABD＝S△ACD＝×2×2×＝3， 故R＝，AO1＝AG－GO1＝2－2×－r＝－r，AO＝AG－GO＝2－＝， 又由△AO1H和△AOF相似，可得＝，即＝，解得r＝，即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为4π×2＝.故选A. [答案]　A 　　　空间几何体的外接球问题 ►[命题点1]　补形法(补长方体或正方体) (1)墙角模型(三条线两两垂直) 图示过程 (2r)2＝a2＋b2＋c2(其中r为长方体或正方体的外接球半径). (2)对棱相等模型(补形为长方体) 题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD) 图示过程如下图： [例5]　(2025·安徽模拟)鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A­BCD是一鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，AC⊥CD，且BC＝DC＝3，AB＝4.则三棱锥A­BCD外接球的表面积是(　　) A．25π B．34π C．100π D． [解析]　易得三棱锥A­BCD外接球的直径为AD， 则AD＝＝，故三棱锥A­BCD外接球的半径R＝， 所以S＝4π×＝34π. [答案]　B [例6]　(2025·陕西咸阳一模)已知正四面体S－ABC的外接球表面积为6π，则正四面体S－ABC的体积为(　　) A． B． C． D． [解析]　设外接球半径为R，则S＝4πR2＝6π，解得R＝. 将正四面体S－ABC恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 则正四面体S－ABC的外接球即为正方体的外接球，则正方体的体对角线等于外接球的直径， 故AB××＝，解得AB＝2，正方体棱长为2×＝， 故该正四面体的体积为()3－4×××××＝.故选A. [答案]　A 　　 外接球补形法 (1)墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公式法求解外接球问题； (2)对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公式法求解外接球问题． ►[命题点2]　外接球单面定球心法 [例7]　(2025·安徽芜湖模拟)已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面边长分别为，2，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为(　　) A．9π B．10π C．10π D．20π [解析]　分别取△ABC、△A1B1C1的中心E，F，连接EF，过A作AM⊥A1F， 因为AB＝，由正弦定理得2AE＝，得AE＝1，同理可得A1F＝2，所以A1M＝1， 因为正三棱台ABC－A1B1C1，所以EF⊥平面A1B1C1，EF∥AM， 所以AM⊥平面A1B1C1，所以∠AA1M为侧棱A1A与底面所成的角， 所以AM＝A1M·tan ∠AA1M＝3，所以EF＝AM＝3. 设正三棱台的外接球球心O，因为E为上底面截面圆的圆心，F为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以OA＝OA1＝R，OA2＝AE2＋OE2，OA＝A1F2＋OF2， 即R2＝12＋OE2，R2＝22＋OF2， 当O在EF的延长线上时，可得－＝3，无解； 当O在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得＋＝3，解得R＝， 所以正三棱台ABC－A1B1C1的外接球表面积为S＝4πR2＝20π.故选D. [答案]　D [例8]　(2025·贵州模拟)在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝10，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝15，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________． [解析]　在△ABC中，AB＝BC＝10，∠ABC＝120°， 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝300，所以AC＝10， 设△ABC的外接圆O1的半径为r， 则由正弦定理得2r＝＝，解得r＝10. 结合图形分析： 因为D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝15， 在Rt△ABD中，AD＝AC＝5，BD＝＝5， 又O1B＝r＝10，则圆心O1到D点的距离为O1D＝5， 另设三棱锥P－ABC的外接球球心O到平面ABC的距离为OO1＝d，设外接球的半径为R， 则Rt△O1OB中，O1B2＋OO＝OB2，即102＋d2＝R2， 直角梯形O1OPD中，O1D2＋2＝OP2，即52＋2＝R2， 解得d＝5，R2＝125，所以S＝4πR2＝500π. [答案]　500π 　　 外接球单面定球心法 第一步：选定一个底面(如图中底面三角形ABC)，求出三角形ABC外接圆圆心O1 如图，若△ABC为直角三角形，则外接圆圆心O1在斜边的中点上； ①若△ABC为正三角形，则外接圆圆心O1在重心位置； 若△ABC为普通三角形，则利用正弦定理＝2r，确定出O1的位置； ②第二步：过点O1作出平面ABC的垂线，如图为PO1，则球心O在直线PO1上；③计算：在Rt△AO1O中，利用勾股定理求出外接球半径R. ►[命题点3]　外接球双面定球心法 [例9]　(2025·河南省杞县模拟)在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，当三棱锥P­BCD的体积最大时，三棱锥P­BCD的外接球的表面积为(　　) A．60π B．45π C．30π D．20π [解析]　当三棱锥P­BCD的体积最大值时，平面PBD⊥平面BCD，如图， 取BD的中点为H，连接PH，CH，则PH⊥BD. 设O1，O2分别为△PBD，△BCD外接圆的圆心， O为三棱锥P­BCD的外接球的球心， 则O1在PH上，O2在CH上，且PO1＝2O1H＝PH＝2， 且O2H⊥BD，OO1⊥平面PBD，OO2⊥平面BCD. ∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD， PH⊂平面PBD，PH⊥BD， ∴PH⊥平面BCD，PH∥O2O，同理CH∥O1O， ∴四边形O1OO2H为平行四边形， ∵PH⊥平面BCD，O2H⊂平面BCD， ∴PH⊥O2H，即四边形O1OO2H为矩形． ∴OO2＝O1H＝ CO2＝××6＝2 ， ∴外接球半径R＝＝＝ ， ∴外接球的表面积为4πR2＝60π. [答案]　A [例10]　一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将△AMD，△BMC分别沿MD，MC折起，使MA，MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为(　　) A． B．48π C．81π D． [解析]　如图所示，由图可知在四面体A­CDM中，由正方形ABCD，M为AB的中点，可得MA⊥AD，MA⊥AC，AC∩AD＝A，故MA⊥平面ACD. 将图形旋转得到如图所示的三棱锥M­ACD，其中△ACD为等边三角形，过△ACD的中心O1作平面ACD的垂线l1，过线段MC的中点O2作平面MAC的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记l1∩l2＝O，则O即为三棱锥M­ACD外接球的球心． 设外接球的半径为R，连接OC，O1C，可得O1C＝，OO1＝MA＝1， 在Rt△OO1C中，OC2＝OO＋O1C2＝＝R2， 故该外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝π. [答案]　A 　　 外接球双面定球心法 ①第一步：选定一个底面(如底面三角形ABC)，求出三角形ABC外接圆圆心O1 若△ABC为直角三角形，则外接圆圆心O1在斜边的中点上； 若△ABC为正三角形，则外接圆圆心O1在重心位置； 若△ABC为普通三角形，则利用正弦定理＝2r，确定出O1的位置； ②第二步：过点O1作出平面ABC的垂线； ③第三步：重复上述两步，再做一条垂线； ④第四步：两条垂线的交点为球心O. 学科网（北京）股份有限公司 $$