第一章 有理数重难点检测卷-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

第一章 有理数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南常德·模拟预测）已知，那么的最小值是（   ） A． B． C．0 D．2025 4．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D．4 6．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）下列关于有理数加减法表示正确的是（    ） A．，，并且，则 B．，，并且，则 C．，，并且，则 D．，，并且，则 7．（2025·湖南常德·模拟预测）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，的绝对值相等，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·湖南益阳·阶段练习）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且）如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确说法的有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 9．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南益阳·模拟预测）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量210度以下，每度价格元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价元 月用电量350度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为（元）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（   ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档， A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）大于 的数是正数，小于 的数是负数． 12．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期末）我们学过、、、这四种运算，现在规定“”是一种新的运算，表示：，如：，那么 ． 14．（2025·湖南株洲·模拟预测）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是 ． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）一个动点从数轴上的原点出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点……点按此规律移动，则移动20次后到达的点在数轴上表示的数是 ． 16．（2025七年级上·湖南娄底·模拟预测）用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在 涂黑． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）把下列各数对应的序号填入相应的图内． ①13，②，③，④0，⑤，⑥ 0.32，⑦ 19．（2025七年级上·湖南益阳·模拟预测）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 20．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 21．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 22．（24-25七年级上·湖南岳阳·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 23．（2025七年级上·湖南常德·模拟预测）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 24．（24-25七年级上·湖南常德·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 25．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法解答即可，解题的关键是熟练掌握有理数的分类方式，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：、是负分数，故不符合题意； 、既不是正整数也不是负整数，故不符合题意； 、是负整数，符合题意； 、是正整数，故不符合题意； 故选：． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故选C． 3．（2025·湖南常德·模拟预测）已知，那么的最小值是（   ） A． B． C．0 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，正确得出是解题的关键； 根据绝对值的特点可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值是0； 故选：C． 4．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，以及相反数，根据数轴得出数轴上点表示的数为，结合相反数的定义：只有符合不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：数轴上点表示的数为， 则的相反数是2， ∴数轴上点表示的数的相反数是2， 故选A． 5．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法则是解题的关键．把除法转化为乘法，再利用多个因数相乘的法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：B． 6．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）下列关于有理数加减法表示正确的是（    ） A．，，并且，则 B．，，并且，则 C．，，并且，则 D．，，并且，则 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减、绝对值性质等知识，根据题中各选项条件，结合有理数加减运算法则及绝对值性质验证即可得到答案，熟记有理数加减运算法则、绝对值性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：A、，，并且，则，选项错误，不符合题意； B、，，并且，则，，选项错误，不符合题意； C、，，并且，则，，选项错误，不符合题意； D、，，并且，则，选项正确，符合题意； 故选：D． 7．（2025·湖南常德·模拟预测）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，的绝对值相等，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是绝对值、实数的性质、实数与数轴，解题关键是找到数轴上原点的位置． 根据题意推得、、、后，对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：依图得：，且，又， ，，，， ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确． 故选：D． 8．（23-24七年级上·湖南益阳·阶段练习）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且）如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确说法的有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同即可． 【详解】解：①， （2）； 故①是正确的； ②，这几种分解中4和6的差的绝对值最小， ， 故②是错误的； ③，其中3和9的差的绝对值最小， ， 故③是错误的； ④是一个整数的平方， ∴设n＝a2（a为整数）， ∵a和a的差为绝对值最小的数0， ∴， 故④是正确的． 正确的有①④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了新定义“最佳分解”，读懂题目信息，理解“最佳分解”的定义是解题的关键． 9．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，，，，四张卡片分别代表一种运算，例如，经过顺序的运算，可列式为： ，经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为． 故选：A． 10．（2025·湖南益阳·模拟预测）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量210度以下，每度价格元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价元 月用电量350度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为（元）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（   ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档， A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，分别计算出用电量为210度和用电量为350度时的电费即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当时，小华家的用电量在第一档，故（1）正确； ∵， ∴当时，小华家的用电量在第二档，故（2）正确； ∴当时，小华家的用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）大于 的数是正数，小于 的数是负数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对正数、负数的认识，正确理解正负数的定义是解题的关键． 根据正数、负数的意义，大于的正数是正数，小于的数是负数即可求解． 【详解】解：大于的正数是正数，小于的数是负数， 故答案为：，． 12．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期末）我们学过、、、这四种运算，现在规定“”是一种新的运算，表示：，如：，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后再计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：0． 14．（2025·湖南株洲·模拟预测）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较及新定义的理解，理解题意是解题关键，根据新定义结合有理数的大小比较即可求解． 【详解】解：根据题意得：数组中所有的逆序为“”，“”，“”，“” ，“” ，“”， ∴数组的逆序数是6， 故答案为：6． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）一个动点从数轴上的原点出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点……点按此规律移动，则移动20次后到达的点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，从而可求在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵， ∴， ∴移动20次后到达的点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 16．（2025七年级上·湖南娄底·模拟预测）用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在 涂黑． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方的运用，掌握有理数乘方运算是关键，根据题意得到乘方运算方法，结合图形计算即可． 【详解】解：图2学生识别为五年级，则第一行数字表示的序号； 图2中，则，即； 因为只能为0或1，只有当时，的值为1； 所以，也就是要在涂黑， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）把下列各数对应的序号填入相应的图内． ①13，②，③，④0，⑤，⑥ 0.32，⑦ 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是有理数的分类，根据有理数分类方法填入相应的图中即可． 【详解】解：正有理数有：①13，⑤，⑥0.32； 负有理数有：②，③，⑦， 19．（2025七年级上·湖南益阳·模拟预测）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 20．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 【答案】(1)35 (2) (3)，（算式不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的最值和写出所求的式子． （1）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字的乘积最大值； （2）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字相除的商的最小值； （3）本题方法不限，算对即可，注意必须是相同四个数字的不同算式得到结果是24． 【详解】（1）解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 则乘积的最大值是：． 故答案为：35； （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小， 则商的最小值是：． 故答案为：； （3）解：由题意可得：或． 21．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82 (2)存在，2或6或 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 22．（24-25七年级上·湖南岳阳·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 23．（2025七年级上·湖南常德·模拟预测）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 24．（24-25七年级上·湖南常德·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7； (2) (3)①，3；②1025156 【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 25．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟； (2)①小明不能按照计划到家，理由见解析；②见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为：（元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 方案一：出租车＋便民自行车，最少时间18分钟，费用14元 方案二：公交车＋出租车，时间20分钟，费用13元 方案三：出租车＋公交＋便民自行车，时间20.5分钟，费用14元 方案四：公交车＋便民自行车，时间最少21.5分钟，费用4元 方案五：出租车＋公交＋走路，时间最少24.5分钟，费用13元 方案六：出租车，时间14分钟，费用19元； 方案七：公交车，时间25.5分钟，费用3元； 学科网（北京）股份有限公司 $$