21.3圆的对称性 同步课件-2025-2026学年北京版数学九年级上册

21.3 圆的对称性 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 情境引入 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法 ● O 探究归纳 圆的对称性 问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 我们探索发现圆是一个旋转对称图形，绕圆心旋转 180 度还是多少度后，它都能与自身重合， 对称中心即为圆心. . O A B 180° 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. 探究归纳 O α · 剪下一个圆形纸片，把它绕着圆心旋转180°，所得图形与原图形重合吗？把它绕着圆心任意旋转一个角度呢？再将其折叠你发现了什么？由此你得到什么结论？ ◆圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心； 旋转180° ◆圆的旋转不变性：圆是旋转对称图形，具有旋转不变性； ◆圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. · 旋转任意角度 探究新知 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角； 如图，∠AOB就是一个圆心角 再探新知 B A O 判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角？ ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角 ✘ ✘ ✘ ✔ 在同圆中探究 在⊙O中，如果两个圆心角∠AOB=∠COD， 那么，两条弧AB与CD有什么关系？ 两条弦弦AB与弦CD有什么关系？ ⌒ ⌒ O A B D 再探新知 圆心角、弧、弦之间的关系 C 归纳：由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，AB = CD ，弦AB=弦CD ⌒ ⌒ 在等圆中探究 归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，AB = CD ，弦AB=弦CD ⌒ ⌒ 再探新知 圆心角、弧、弦之间的关系 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO´D， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ O ′ O A B C D 总结归纳 圆心角、弧、弦的关系定理及推论 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB=∠COD ② AB = CD ⌒ ⌒ ③ AB = CD 几何语言： ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD ⌒ ⌒ AB = CD 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知一推二 (1) 在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心 O，再任意作出一条直径AB将O沿直径AB折叠，你发现了什么? (2) 再任意作一条直径，重复 (1)中的操作，还有同样的结论吗？ 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴. ●O C D A B E└ 连接OC，OD. 因为OC ＝ OD，OE ⊥ CD， 所以CE ＝ DE. 从而可知点 C与点D关于直线AB对称. 新知归纳 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. （1）直径 （2）垂直于弦 ｝ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 ｛ 已知 结论 ●O C D A B E└ ●O C D A B E└ 如图∵ AB是直径,（直径 ） AB⊥CD, （垂直于弦） ∴CE=DE, （平分弦） ⌒ ⌒ AC =AD, （平分劣弧） ⌒ ⌒ CB=DB. （平分优弧） 新知归纳 符号语言： 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ A B D C O 思 考 A D 例 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，且AD=CE. BE和CE的大小有什么关系？为什么？ ⌒ ⌒ 典例精析 · E B C O 解: BE=CE. 理由： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵ ∠AOD=∠BOE， ∴ AD=BE. 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE. ∴ BE=CE. ⌒ ⌒ · A B C O 例 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明： ∴ AB=AC 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形, AB=BC=AC. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. ∵AB=AC， ⌒ ⌒ 典例精析 归纳小结 弧、弦、圆心角之间的关系． 命题 题设 结论 几何语言 定理 在同圆或等圆中 圆心角相等 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在⊙O中 推论1 弧相等 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 推论2 弦相等 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 ∠AOB=∠A1OB1 AB=A1B1 ∵ ∴ ∠AOB=∠A1OB1 AB=A1B1 ∵ ∴ ∠AOB=∠A1OB1 AB=A1B1 ∵ ∴ 归纳小结 注意 1.强调在同圆或等圆中，该条件不能缺少. 2.三者之间相互转换（知一推二） 3.定理还能推导出其他相等的几何量（扇形或弓形面积，弦心距，弓形高等） 牛刀小试 O A B C D 　如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径. 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º AB=BC=CD=DA(圆心角定理) 学以致用 题型一：证明几何图形相等 例2 如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°. 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵ ， ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 这节课你学到了什么？ 谈谈你的收获吧！ 2. 圆心角 弧 弦定理 1. 圆对称性 课堂小结 轴对称图形 中心对称图形 圆心角相等 弧相等 弦相等 知一推二 同圆或等圆中 旋转不变性 $$